Semplice domanda su dinamica del punto materiale
Supponiamo di avere un corpo puntiforme di massa $m$ poggiato su una superficie orizzontale. Supponiamo inoltre di applicare al corpo una forza diretta verso l' alto $\vec F$ tale da sollevare il corpo. Dunque $F>mg$.
Inoltre sappiamo che quando il corpo arriva ad una certa quota $y_0$, la forza $\vec F$ che fino ad quell' istante aveva spinto il corpo "cessa di esistere" e il corpo è lasciato a se stesso. La domanda è: quanto deve essere il modulo di $\vec F$ tale che il nostro corpo continui ad andare verso l' alto fino ad arrivare ad una quota $y_1>y_0$, diciamo arbitraria. Mi spiego meglio: quello che vogliamo è che il corpo continui ad andare verso l' alto, anche per un tratto infinitesimo.
L' esperienza quotidiana ci dice che se non spingiamo un corpo "abbastanza forte" verso l' alto, esso non si distaccherà dalla nostra mano e quindi non continuerà il suo moto verso l' alto. Secondo il mio ragionamento, invece, supponendo che il corpo sia puntiforme e che non ci sia attrito dell' aria, posso dire che il corpo continua a salire qualunque sie la forza che gli applichiamo. Cioè che non c'è alcuna condizione sul modulo della forza da applicare. Ovviamente, quanto più piccola sarà la forza applicata al corpo, tanto più il tratto percorso dal corpo (in assenza della forza) sarà vicino a zero, ma pur sempre diverso da 0.
Il corpo, una volta arrivato alla quota $y_0$, avrà una velocità che chiamiamo $v_0$. A questo punto, se poniamo l' istante $t_0=0$ quando il corpo arriva a $y_0$, l' equazione del moto è:
$y(t) = y_0 +v_0 t + 1/2g t^2 $ che ha un massimo per $ (v_0 / g) = t $, che è sempre diverso da zero, purchè $v_0$ sia diverso da zero.
Tutto questo perchè nella risoluzione di un problema che brevemente adesso esporrò mi si chiede qualcosa riguardo a quello che ho detto sopra. La situazione è questa:
Una sbarretta imperniata in A e libera di oscillare in B grazie ad una molla che in figura è a riposo. Al centro dell' asta è presente una massa puntiforme (di colore rosso). Mi si chiede: quanto deve essere l' ampiezza delle oscillazioni in B tale che la massa si distacchi dalla sbarretta?
Mi verrebbe da dire che non esiste nessuna condizione sull' ampiezza minima di oscillazione perchè la massa di distacca ogniqualvolta la sbarretta giunge all' estremo superiore dell' oscillazione.
Mentre il mio libro dice che la condizione è che l' accelerazione dell' asta sia superiore a $g$. Illuminatemi
Inoltre sappiamo che quando il corpo arriva ad una certa quota $y_0$, la forza $\vec F$ che fino ad quell' istante aveva spinto il corpo "cessa di esistere" e il corpo è lasciato a se stesso. La domanda è: quanto deve essere il modulo di $\vec F$ tale che il nostro corpo continui ad andare verso l' alto fino ad arrivare ad una quota $y_1>y_0$, diciamo arbitraria. Mi spiego meglio: quello che vogliamo è che il corpo continui ad andare verso l' alto, anche per un tratto infinitesimo.
L' esperienza quotidiana ci dice che se non spingiamo un corpo "abbastanza forte" verso l' alto, esso non si distaccherà dalla nostra mano e quindi non continuerà il suo moto verso l' alto. Secondo il mio ragionamento, invece, supponendo che il corpo sia puntiforme e che non ci sia attrito dell' aria, posso dire che il corpo continua a salire qualunque sie la forza che gli applichiamo. Cioè che non c'è alcuna condizione sul modulo della forza da applicare. Ovviamente, quanto più piccola sarà la forza applicata al corpo, tanto più il tratto percorso dal corpo (in assenza della forza) sarà vicino a zero, ma pur sempre diverso da 0.
Il corpo, una volta arrivato alla quota $y_0$, avrà una velocità che chiamiamo $v_0$. A questo punto, se poniamo l' istante $t_0=0$ quando il corpo arriva a $y_0$, l' equazione del moto è:
$y(t) = y_0 +v_0 t + 1/2g t^2 $ che ha un massimo per $ (v_0 / g) = t $, che è sempre diverso da zero, purchè $v_0$ sia diverso da zero.
Tutto questo perchè nella risoluzione di un problema che brevemente adesso esporrò mi si chiede qualcosa riguardo a quello che ho detto sopra. La situazione è questa:
Una sbarretta imperniata in A e libera di oscillare in B grazie ad una molla che in figura è a riposo. Al centro dell' asta è presente una massa puntiforme (di colore rosso). Mi si chiede: quanto deve essere l' ampiezza delle oscillazioni in B tale che la massa si distacchi dalla sbarretta?
Mi verrebbe da dire che non esiste nessuna condizione sull' ampiezza minima di oscillazione perchè la massa di distacca ogniqualvolta la sbarretta giunge all' estremo superiore dell' oscillazione.
Mentre il mio libro dice che la condizione è che l' accelerazione dell' asta sia superiore a $g$. Illuminatemi
Risposte
Vediamo che cosa posso dirti.
Supponiamo che vuoi lanciare verso l'alto una pallina, che tieni sul palmo della mano, spostando con una certa rapidità la mano verso l'alto, cioè dando un impulso. Supponiamo che il moto della mano verso l'alto sia traslatorio, parallelo alla verticale.
Quando succede che la pallina abbandona la mano ?
Assumi un asse $z$ verticale verso l'alto , e supponi che sia $z = z(t)$ l'equazione del moto della mano. Se chiami $F$ la forza che la mano esercita sulla pallina, devi avere che :
$m(d^2z)/(dt^2) = F - mg $
da cui : $F = mg + m(d^2z)/(dt^2) $.
Perciò, finchè la mano si muove verso l'alto di moto accelerato risulta $(d^2z)/(dt^2) > 0 $ , la forza rimane $F>0$ e la pallina non abbandona la mano. Se però il moto è ritardato , cioè $(d^2z)/(dt^2) < 0 $, la forza F può diventare nulla o negativa : la pallina lascia la mano quando $F = 0$ , cioè quando :
$mg + m(d^2z)/(dt^2) = 0 $ , cioè : $ (d^2z)/(dt^2) = -g $ .
Se il moto della mano fosse armonico (fai su e giù per un po') e cioè : $ z = k*cos (\omegat + \phi) $ , la pallina lascia la mano per il valore $z = g/\omega^2$ , il che è possibile solo se $g/\omega^2 < k $ .
Supponiamo che vuoi lanciare verso l'alto una pallina, che tieni sul palmo della mano, spostando con una certa rapidità la mano verso l'alto, cioè dando un impulso. Supponiamo che il moto della mano verso l'alto sia traslatorio, parallelo alla verticale.
Quando succede che la pallina abbandona la mano ?
Assumi un asse $z$ verticale verso l'alto , e supponi che sia $z = z(t)$ l'equazione del moto della mano. Se chiami $F$ la forza che la mano esercita sulla pallina, devi avere che :
$m(d^2z)/(dt^2) = F - mg $
da cui : $F = mg + m(d^2z)/(dt^2) $.
Perciò, finchè la mano si muove verso l'alto di moto accelerato risulta $(d^2z)/(dt^2) > 0 $ , la forza rimane $F>0$ e la pallina non abbandona la mano. Se però il moto è ritardato , cioè $(d^2z)/(dt^2) < 0 $, la forza F può diventare nulla o negativa : la pallina lascia la mano quando $F = 0$ , cioè quando :
$mg + m(d^2z)/(dt^2) = 0 $ , cioè : $ (d^2z)/(dt^2) = -g $ .
Se il moto della mano fosse armonico (fai su e giù per un po') e cioè : $ z = k*cos (\omegat + \phi) $ , la pallina lascia la mano per il valore $z = g/\omega^2$ , il che è possibile solo se $g/\omega^2 < k $ .
"navigatore":
Vediamo che cosa posso dirti.
Supponiamo che vuoi lanciare verso l'alto una pallina, che tieni sul palmo della mano, spostando con una certa rapidità la mano verso l'alto, cioè dando un impulso. Supponiamo che il moto della mano verso l'alto sia traslatorio, parallelo alla verticale.
Quando succede che la pallina abbandona la mano ?
Assumi un asse $z$ verticale verso l'alto , e supponi che sia $z = z(t)$ l'equazione del moto della mano. Se chiami $F$ la forza che la mano esercita sulla pallina, devi avere che :
$m(d^2z)/(dt^2) = F - mg $
da cui : $F = mg + m(d^2z)/(dt^2) $.
Perciò, finchè la mano si muove verso l'alto di moto accelerato risulta $(d^2z)/(dt^2) > 0 $ , la forza rimane $F>0$ e la pallina non abbandona la mano. Se però il moto è ritardato , cioè $(d^2z)/(dt^2) < 0 $, la forza F può diventare nulla o negativa : la pallina lascia la mano quando $F = 0$ , cioè quando :
$mg + m(d^2z)/(dt^2) = 0 $ , cioè : $ (d^2z)/(dt^2) = -g $ .
Se il moto della mano fosse armonico (fai su e giù per un po') e cioè : $ z = k*cos (\omegat + \phi) $ , la pallina lascia la mano per il valore $z = g/\omega^2$ , il che è possibile solo se $g/\omega^2 < k $ .
Perfetto, grazie!
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