Selettore di velocità con velocità iniziale inclinata

[lorenzo1234567]

In un esercizio si ha un protone che si muove inizialmente con velocità $v_0$ lungo la retta di
equazione y = x che entra dal foro A ed esce dal foro E (vedi figura). Il campo magnetico è presente solo nel primo quadrante. Chiede di determinare il modulo della velocità $v_0$ affinchè il protone esca dalla regione di campo magnetico passando da E.





Finché la velocità iniziale $v_0$ è diretta solo lungo x non ho alcun problema, è un moto circolare uniforme con raggio $R=d/2$ e la forza di Lorentz che agisce da forza centripeta.
In questo esercizio però non capisco che considerazioni possiamo fare sul raggio e in particolare non mi è assolutamente chiara la soluzione che prende come centro del raggio di circonferenza un punto che non si trova sull'asse y. Perché si deve/può prendere un punto non sull'asse y? Come si trova questo punto? Come si può trovare il nuovo raggio $R'$ del moto circolare che compie il protone?
Le osservazioni che posso fare sono che l'angolo compreso tra $vec(v_0)$ e l'asse x/y è 45° e che il moto è circolare uniforme da quando entra in A ed esce in E.

Soluzione:
$R'cos(45°)=d/2$

[RenzoDF]

Scusa ma non capisco quale sia il tuo dubbio, la forza sulla carica e quindi l'accelerazione sulla stessa e di conseguenza il raggio di curvatura sono normali a B e v ($\vec f=q\cdot \vec v \times \vec B$); tracciate queste due normali nel punto di entrata e di uscita della carica, avremo nella loro intersezione il centro della circonferenza che contiene quell'arco e di conseguenza, detto $\alpha$ l'angolo di entrata, avremo in generale

$R'cos(\alpha)=d/2$

Allorché $\alpha$ tende a zero, ovvero ad una entrata normale a y, in centro tenderà al punto medio del segmento AE.

[lorenzo1234567]

Penso il problema sia dal punto di vista geometrico. Questo ragionamento che fai tu non l'ho mai usato e non lo capisco troppo.
Prendiamo il caso facile: $vec(v_0)= v_0hat(x)$. Il centro della circonferenza è esattamente a d/2 (ad intuito ed immaginandomi il moto circolare uniforme), per cui $R=d/2$.

Ragionandoci posso capire che il centro della circonferenza è l'intersezione delle normali in punti diametralmente opposti. Da ciò quindi trovo che il centro della circonferenza non è più sull'asse y ma traslato "indietro" e posto all'intersezione delle rette dirette come la forza di Lorentz (normale) in A e B.
A questo punto però, geometricamente, come so che il raggio $R'$ moltiplicato per $cos(45°)$ è proprio pari a d/2?

[RenzoDF]

Usando una semplice regola trigonometrica?

[lorenzo1234567]

"RenzoDF":Usando una semplice regola trigonometrica?

Provo a riformulare: SE la coordinata y del centro della circonferenza (ottenuta con l'intersezione delle rette normali nei punti A ed E) è pari a d/2, torna che $R'cos(45°)=d/2$. Ma chi mi dice che quel SE sia verificato?

[RenzoDF]

Nel quadrante interessato dal campo magnetico la traiettoria è un arco di circonferenza e il segmento AE la corda associata, visto che il centro della circonferenza giace sempre sull'asse di una corda, quel SE è verificato