Segno reazione vincolare asse di rotazione
Buonasera, nell'esercizio riportato sotto si chiede, tra le tante cose, di calcolare la reazione vincolare \( \overrightarrow{ N } \) esercitata dall'asse di rotazione. Nella soluzione l'equazione cardinale scomposta lungo gli assi x e y è la seguente:
\( \begin{cases} N_x + T = 0 \\ N_y - Mg = 0 \end{cases} \)
Io invece l'ho scritta così (cambia solo un segno):
\( \begin{cases} -N_x + T = 0 \\ N_y - Mg = 0 \end{cases} \)
Il segno del risultato numerico ottenuto usando l'equazione della soluzione mi torna, ma come è scritto il sistema invece no (e in generale il segno delle reazioni vincolari non "tradizionali" lo sbaglio sempre). Il mio ragionamento è: la tensione $T$ è rivolta come l'asse x (segno $+$) per cui $N_x$ dovrà essere della parte opposta, da cui il segno meno (se l'asse x fosse stato al contrario i segni si sarebbero invertiti ma non sarebbe cambiato niente). E questo è lo stesso ragionamento che applico in ogni esercizio quando c'è da scrivere la 1° eq. cardinale/2° legge di Newton. Lungo y idem, però lì per qualche motivo torna: la forza peso è rivolta verso il basso, quindi segno meno, mentre la reazione vincolare $N_y$ sarà verso l'alto per compensare, quindi segno positivo. Perché nell'equazione lungo l'asse y si mette il segno meno mentre nell'equazione proiettata lungo l'asse x no (anche se le forze sono opposte)?
Capisco che appunto con il mio sistema il risultato numerico non sarebbe coerente (verrebbe $N_x > 0$, cioè nello stesso verso della tensione) ma non capisco il motivo per cui dovrei mettere il segno positivo sia alla tensione $T$ che alla reazione vincolare $N_x$.
Testo esercizio:
Un disco rigido omogeneo di raggio R e massa M è disposto su un piano verticale. Esso può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso perpendicolare al disco e passante per un punto O ad esso appartenente, posto a distanza r dal centro (vedi figura). Il disco viene poi collegato nel punto A tramite un filo inestensibile e privo di massa a una parete verticale. Si osserva che il sistema è in equilibrio quando il filo è in posizione orizzontale e il segmento OC forma un angolo β con la verticale.
\( \begin{cases} N_x + T = 0 \\ N_y - Mg = 0 \end{cases} \)
Io invece l'ho scritta così (cambia solo un segno):
\( \begin{cases} -N_x + T = 0 \\ N_y - Mg = 0 \end{cases} \)
Il segno del risultato numerico ottenuto usando l'equazione della soluzione mi torna, ma come è scritto il sistema invece no (e in generale il segno delle reazioni vincolari non "tradizionali" lo sbaglio sempre). Il mio ragionamento è: la tensione $T$ è rivolta come l'asse x (segno $+$) per cui $N_x$ dovrà essere della parte opposta, da cui il segno meno (se l'asse x fosse stato al contrario i segni si sarebbero invertiti ma non sarebbe cambiato niente). E questo è lo stesso ragionamento che applico in ogni esercizio quando c'è da scrivere la 1° eq. cardinale/2° legge di Newton. Lungo y idem, però lì per qualche motivo torna: la forza peso è rivolta verso il basso, quindi segno meno, mentre la reazione vincolare $N_y$ sarà verso l'alto per compensare, quindi segno positivo. Perché nell'equazione lungo l'asse y si mette il segno meno mentre nell'equazione proiettata lungo l'asse x no (anche se le forze sono opposte)?
Capisco che appunto con il mio sistema il risultato numerico non sarebbe coerente (verrebbe $N_x > 0$, cioè nello stesso verso della tensione) ma non capisco il motivo per cui dovrei mettere il segno positivo sia alla tensione $T$ che alla reazione vincolare $N_x$.
Testo esercizio:
Un disco rigido omogeneo di raggio R e massa M è disposto su un piano verticale. Esso può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso perpendicolare al disco e passante per un punto O ad esso appartenente, posto a distanza r dal centro (vedi figura). Il disco viene poi collegato nel punto A tramite un filo inestensibile e privo di massa a una parete verticale. Si osserva che il sistema è in equilibrio quando il filo è in posizione orizzontale e il segmento OC forma un angolo β con la verticale.
Risposte
In generale le reazioni vincolari di vincoli come questi [nota]Diverso è il caso della reazione normale di un piano che ha senso solo in una direzione[/nota] le puoi orientare come credi. Se alla fine il risultato sarà positivo vorrà dire che avevi scelto il verso giusto. Se il risultato sarà negativo vuol dire che il verso va invertito.[nota]Per certi versi è lo stesso approccio che si adotta quando ad esempio si mettono le correnti incognite in un circuito e si scrivono le equazioni risolutive[/nota]
"ingres":
In generale le reazioni vincolari di vincoli come questi le puoi orientare come credi. Se alla fine il risultato sarà positivo vorrà dire che avevi scelto il verso giusto. Se il risultato sarà negativo vuol dire che il verso va invertito
Qui mi sorgono altre 2 domande. Se non erro chi ha scritto la soluzione ha ipotizzato il verso della reazione vincolare (lungo l'asse x) concorde con la tensione e poi ha ottenuto un risultato negativo, il che significa che era diretto nel verso opposto. Ma fare ciò in questo caso è lecito? Perché mi sembra impossibile che possa esistere una situazione di equilibrio in cui la reazione vincolare è concorde nel verso con l'unica altra forza presente. Come farebbero a compensarsi?
Infine, se non specificassi \( \overrightarrow{N} = (-N_x, N_y) \) sarebbe sbagliato/incompleto? Oppure sarebbe comunque chiaro che intendevo rivolgere la componente x di \( \overrightarrow{N} \) nel verso opposto all'asse x avendo inserito il segno discorde tra $T$ e $N_x$ nella prima equazione cardinale proiettata lungo l'asse x?
Per la prima domanda la risposta è SI è lecito, perché l'importante è che le equazioni siano poi scritte coerentemente. La soluzione (con il suo segno) ne deriverà di conseguenza.
Per la seconda domanda, è sempre meglio fare un diagramma con le forze e il verso ipotizzato. Evita errori e chiarisce come si intendono i versi.
Per la seconda domanda, è sempre meglio fare un diagramma con le forze e il verso ipotizzato. Evita errori e chiarisce come si intendono i versi.
Qui c’è il solito, insuperabile (a quanto pare) scoglio delle differenze che ci sono tra un vettore, il componente di un vettore secondo un asse orientato, la componente del vettore secondo lo stesso asse, e il modulo del vettore. Bisogna ficcarsi bene nella testa queste differenze, altrimenti si rischia di rimanere con dei dubbi insuperabili e di sbagliare.
Prima di tutto, questo è un problema di Statica, quindi lascia stare la seconda legge della dinamica di Newton. Poi, è essenziale definire chiaramente gli assi cartesiani e i loro orientamenti (nel piano o nello spazio, se occorre il terzo asse; ma questo è un problema piano, quindi l’asse $z$ non occorre).
Tenuto conto che le forze, incluso le reazioni vincolari, sono rappresentabili come vettori [nota]il calcolo vettoriale è stato inventato per semplificare le cose, una equazione vettoriale sostituisce tre equazioni scalari[/nota], e orientato l’asse orizzontale $x$ verso sinistra , la reazione $vecN$ ha il componente $vecN_x$ che deve soddisfare l’equilibrio alla traslazione orizzontale , per cui deve essere :
$vecN_x +vecT = vec0 $
da cui : $vecN_x = - vecT$
e proiettando questa sull’asse $x$ si ottiene la relazione corretta tra le componenti : $-N_x = T$
Questa va bene anche se, per ghiribizzo, avessimo orientato l’asse $x$ verso sinistra anziché verso destra, ottenendo: $N_x = -T$ . Insomma è chiaro che il vettore $vecN_x $ ha orientamento opposto a la vettore $vecT$ .
Per quanto riguarda il componente $vecN_y$ , l’equazione vettoriale di equilibrio alla traslazione verticale è :
$vecN_y + vec P =vec0 $
e il ragionamento è analogo a quello precedente. Tu scrivi :
E perche la forza peso “ha segno meno” ? Chi te lo ha detto ? Stai automaticamente e tacitamente assumendo l’asse $y$ orientato verso l’alto. E se io scegliessi l’asse $y$ orientato verso il basso, il peso sarebbe positivo ? Che cosa sarebbe positivo ? I vettori non sono né positivi né negativi, questa è una prerogativa “ delle componenti” del vettore.
Sembra pignoleria tirata all’accesso, ma non lo è.
Prima di tutto, questo è un problema di Statica, quindi lascia stare la seconda legge della dinamica di Newton. Poi, è essenziale definire chiaramente gli assi cartesiani e i loro orientamenti (nel piano o nello spazio, se occorre il terzo asse; ma questo è un problema piano, quindi l’asse $z$ non occorre).
Tenuto conto che le forze, incluso le reazioni vincolari, sono rappresentabili come vettori [nota]il calcolo vettoriale è stato inventato per semplificare le cose, una equazione vettoriale sostituisce tre equazioni scalari[/nota], e orientato l’asse orizzontale $x$ verso sinistra , la reazione $vecN$ ha il componente $vecN_x$ che deve soddisfare l’equilibrio alla traslazione orizzontale , per cui deve essere :
$vecN_x +vecT = vec0 $
da cui : $vecN_x = - vecT$
e proiettando questa sull’asse $x$ si ottiene la relazione corretta tra le componenti : $-N_x = T$
Questa va bene anche se, per ghiribizzo, avessimo orientato l’asse $x$ verso sinistra anziché verso destra, ottenendo: $N_x = -T$ . Insomma è chiaro che il vettore $vecN_x $ ha orientamento opposto a la vettore $vecT$ .
Per quanto riguarda il componente $vecN_y$ , l’equazione vettoriale di equilibrio alla traslazione verticale è :
$vecN_y + vec P =vec0 $
e il ragionamento è analogo a quello precedente. Tu scrivi :
Lungo y idem, però lì per qualche motivo torna: la forza peso è rivolta verso il basso, quindi segno meno, mentre la reazione vincolare Ny sarà verso l'alto per compensare, quindi segno positivo. Perché nell'equazione lungo l'asse y si mette il segno meno mentre nell'equazione proiettata lungo l'asse x no (anche se le forze sono opposte)?
E perche la forza peso “ha segno meno” ? Chi te lo ha detto ? Stai automaticamente e tacitamente assumendo l’asse $y$ orientato verso l’alto. E se io scegliessi l’asse $y$ orientato verso il basso, il peso sarebbe positivo ? Che cosa sarebbe positivo ? I vettori non sono né positivi né negativi, questa è una prerogativa “ delle componenti” del vettore.
Sembra pignoleria tirata all’accesso, ma non lo è.
"Shackle":
E perche la forza peso “ha segno meno” ? Chi te lo ha detto ? Stai automaticamente e tacitamente assumendo l’asse $y$ orientato verso l’alto. E se io scegliessi l’asse $y$ orientato verso il basso, il peso sarebbe positivo ? Che cosa sarebbe positivo ? I vettori non sono né positivi né negativi, questa è una prerogativa “ delle componenti” del vettore.
Nell'esercizio gli assi cartesiani erano fissati (asse x rivolto verso destra e asse y rivolto verso l'alto), per cui, credo, le equazioni dovessero essere scritte per forza in quella maniera. Se erano lasciati a scelta avrei dovuto disegnarli, altrimenti si rimaneva ambigui (che penso fosse ciò che intendevi).
Nell'esercizio gli assi cartesiani erano fissati (asse x rivolto verso destra e asse y rivolto verso l'alto),
Ho letto e riletto il testo, e non ho trovato alcuna indicazione sull’ orientamento degli assi. Questo è il motivo per cui è opportuno riportare sempre integralmente il testo dell’esercizio dato. Comunque, dalla equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale è chiaro che i due vettori sono orientati in versi opposti, così come i due vettori che danno l’equilibrio alla traslazione verticale.
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