Segno prodotto scalare
Il libro dal quale sto studiando propone un'applicazione del teorema dell'energia cinetica in un esempio sul pendolo semplice.Dice che il lavoro si riduce al solo lavoro della forza peso (scusate ma non so scrivere i vettori) $\int_{A}^{B} mg ds$ e che il prodotto scalare della forza peso con lo spostamento elementare è $mg*ds=-mgdy$ ed è negativo in quanto la proiezione di $ds$ nella direzione della forza è $-dy$. Ma se il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti, in questo caso non dovrebbe essere positiva in quanto si ridurrebbe al solo prodotto delle componenti y e sia $mg$ che che la proiezione di $ds$ nella direzione dell'asse y hanno verso opposto all' asse y (considerando l'asse y rivolto verso il punto di sospensione e il pendolo in discesa)?
Dove sbaglio?
Scusate per la domanda stupida ma sono ancora alle prime armi e penso che confondere i segni creerebbe non pochi problemi sugli esercizi.
Dove sbaglio?
Scusate per la domanda stupida ma sono ancora alle prime armi e penso che confondere i segni creerebbe non pochi problemi sugli esercizi.
Risposte
La posizione di equilibrio del pendolo semplice è quella perfettamente verticale, ovvio. L'angolo che il filo forma con la verticale è $\theta_(eq) = 0 $ .
Allontana la massa da tale posizione, sicché il filo, sempre teso, formi un angolo $\theta_(max)$ con la verticale. Supponi, (per non complicare troppo le cose) che $\theta_max <\pi/2$ (ma si può anche fare a meno di questa semplificazione).
La massa si trova, rispetto al piano orizzontale passante per il punto di equilibrio iniziale, sollevata di una quantità pari a:
$H = L(1-cos\theta_(max))$ . Quindi la massa possiede una energia potenziale pari a $mgH$ rispetto al piano detto .
Adesso lascia andare la massa. Il pendolo si mette a oscillare. Il campo gravitazionale è conservativo. Durante il tragitto da $\theta_(max)$ a zero la forza peso compie un lavoro positivo, ovvero l'energia potenziale diminuisce da $mgH$ a zero, e quindi essendo costante l'energia meccanica : $ E_t = E_p + E_c$ vuol dire che aumenta l'energia cinetica, che assume il suo valore massimo nella posizione più bassa della massa.
La velocità massima in questa posizione si ricava dalla conservazione dell'energia : $mgH + 0 = 0 + 1/2mv^2$ , da cui : $ v = sqrt(2gH)$ . LA quantità $mgH$ si può anche interpretare come il lavoro positivo eseguito dalla forza peso nel primo tratto. L'angolo tra vettore peso $vecP$ e vettore spostamento elementare $vec(ds)$ è minore di $\pi/2$ e diventa uguale a $\pi/2$ nel punto più basso.
Quindi $vecP*vec(ds) >= 0 $ .
Dal punto più basso, la massa ora risale dalla parte opposta, e l'energia cinetica a mano a mano diminuisce e si trasforma in energia potenziale : il lavoro della forza peso in questo secondo tratto è negativo, essendo uguale alla diminuzione della energia cinetica. Il segno del lavoro elementare $vecP*vec(ds) $ è negativo (nullo nel punto più basso) .
L'energia meccanica totale è sempre costante , nel caso ideale di assenza di attriti .
Adesso continua tu.
Allontana la massa da tale posizione, sicché il filo, sempre teso, formi un angolo $\theta_(max)$ con la verticale. Supponi, (per non complicare troppo le cose) che $\theta_max <\pi/2$ (ma si può anche fare a meno di questa semplificazione).
La massa si trova, rispetto al piano orizzontale passante per il punto di equilibrio iniziale, sollevata di una quantità pari a:
$H = L(1-cos\theta_(max))$ . Quindi la massa possiede una energia potenziale pari a $mgH$ rispetto al piano detto .
Adesso lascia andare la massa. Il pendolo si mette a oscillare. Il campo gravitazionale è conservativo. Durante il tragitto da $\theta_(max)$ a zero la forza peso compie un lavoro positivo, ovvero l'energia potenziale diminuisce da $mgH$ a zero, e quindi essendo costante l'energia meccanica : $ E_t = E_p + E_c$ vuol dire che aumenta l'energia cinetica, che assume il suo valore massimo nella posizione più bassa della massa.
La velocità massima in questa posizione si ricava dalla conservazione dell'energia : $mgH + 0 = 0 + 1/2mv^2$ , da cui : $ v = sqrt(2gH)$ . LA quantità $mgH$ si può anche interpretare come il lavoro positivo eseguito dalla forza peso nel primo tratto. L'angolo tra vettore peso $vecP$ e vettore spostamento elementare $vec(ds)$ è minore di $\pi/2$ e diventa uguale a $\pi/2$ nel punto più basso.
Quindi $vecP*vec(ds) >= 0 $ .
Dal punto più basso, la massa ora risale dalla parte opposta, e l'energia cinetica a mano a mano diminuisce e si trasforma in energia potenziale : il lavoro della forza peso in questo secondo tratto è negativo, essendo uguale alla diminuzione della energia cinetica. Il segno del lavoro elementare $vecP*vec(ds) $ è negativo (nullo nel punto più basso) .
L'energia meccanica totale è sempre costante , nel caso ideale di assenza di attriti .
Adesso continua tu.
Intanto ti ringrazio della risposta.
Quindi in discesa P ⃗ ⋅ds → ≥0 come pensavo. Forse l'autore del libro intende dire che $dy$, l'incremento di ds → , è negativo rispetto al sistema di riferimento scelto e che la proiezione di ds → nella direzione della forza è $-dy$. Allora volevo chiederti, come si spiega questo fatto, da un punto di vista matematico, che la proiezione cambi segno? Provo a rispondermi da solo in base alle poche conoscenze di geometria che ho... mi svincolo per il momento dal sistema di riferimento e penso che la retta nella direzione di g →, abbia come base un versore in modo tale che g → sia positiva, e che la proiezione ortogonale considerata debba perciò essere positiva, avendo lo stesso verso di g → cioè essere $-dy$. E questo ragionamento è possibile farlo perché g → è costante in modulo e direzione.
E' giusto così? Se sì posso ragionare in maniera analoga altre volte?
E poi volevo chiederti, in generale è giusto applicare la teoria degli spazi vettoriali applicata alle grandezze vettoriali fisiche?
Quindi in discesa P ⃗ ⋅ds → ≥0 come pensavo. Forse l'autore del libro intende dire che $dy$, l'incremento di ds → , è negativo rispetto al sistema di riferimento scelto e che la proiezione di ds → nella direzione della forza è $-dy$. Allora volevo chiederti, come si spiega questo fatto, da un punto di vista matematico, che la proiezione cambi segno? Provo a rispondermi da solo in base alle poche conoscenze di geometria che ho... mi svincolo per il momento dal sistema di riferimento e penso che la retta nella direzione di g →, abbia come base un versore in modo tale che g → sia positiva, e che la proiezione ortogonale considerata debba perciò essere positiva, avendo lo stesso verso di g → cioè essere $-dy$. E questo ragionamento è possibile farlo perché g → è costante in modulo e direzione.
E' giusto così? Se sì posso ragionare in maniera analoga altre volte?
E poi volevo chiederti, in generale è giusto applicare la teoria degli spazi vettoriali applicata alle grandezze vettoriali fisiche?
"daniele_mat":
Quindi in discesa P ⃗ ⋅ds → ≥0 come pensavo. Forse l'autore del libro intende dire che $dy$, l'incremento di ds → , è negativo rispetto al sistema di riferimento scelto e che la proiezione di ds → nella direzione della forza è $-dy$.
PEr scrivere un vettore con la freccia in testa devi scrivere : vecP , e racchiuderlo tra i segni del dollaro : $vecP$.
SE hai l'asse $y$ diretto positivamente verso l'alto, e $vec(ds)$ è diretto verso il basso, cioè "sotto l'orizzontale", è ovvio che $dy<0$ . Tieni presente che anche $vecP$ ha componente negativa in questo caso.
Ma questo col prodotto scalare di vettori non c'entra niente! Il lavoro elementare è uguale a : $dL = |vecP|*|vec(ds)|*cos\alpha$ , dove entrano i moduli dei vettori, e il segno è determinato dall'angolo tra essi, quello minore di $\pi$ .
Allora volevo chiederti, come si spiega questo fatto, da un punto di vista matematico, che la proiezione cambi segno? Provo a rispondermi da solo in base alle poche conoscenze di geometria che ho… ...
E' giusto così? Se sì posso ragionare in maniera analoga altre volte?
Cerca di acquisire qualche conoscenza più profonda di geometria. Altre volte, applica il concetto di lavoro come prodotto scalare come ti ho indicato. Ha i fatto un bel po' di salti mortali, ma la cosa è semplice.
E poi volevo chiederti, in generale è giusto applicare la teoria degli spazi vettoriali applicata alle grandezze vettoriali fisiche?
Si, certo. I vettori in fisica sono molto usati ed utilissimi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo