Segno dell'energia in due semplici problemi di elettrostatica
Buona sera a tutti. Ho un problema più o meno simile in questi due piccoli problemi che ho svolto e spero mi possiate aiutare.
1)Una particella $ alpha $, nucleo di elio avente una carica $ 2e $, ha energia cinetica $ E_(alpha) $ quando si trova a grande distanza da un nucleo di oro, di raggio $ R=5\cdot 10^(-15)m $, contenente $ Z=79 $ protoni. La particella $ alpha $ viene lanciata contro il nucleo e ne raggiunge la superficie con energia cinetica nulla. Calcolare $ E_(alpha) $ in eV.
Lo svolgimento da me seguito è: applico il teorema di conservazione della energia $ W=-DeltaU_e =1/2mv^2 -E_(alpha) $ ma poiché come detto la energia cinetica finale è nulla risulta $ W=-DeltaU_e =-E_(alpha) $. Supponendo che l'energia potenziale elettrostatica iniziale sia nulla data la grande distanza tra le cariche allora
$ E_(alpha)=U_(efi n)=[(2e\)cdot 79(-e)]/(4piepsilon_0 R $. Ora il valore numerico che trovo è giusto, 45 MeV però così scritta mi dà un valore negativo dato che a numeratore ho il prodotto di due cariche elementari negative per 79 positive (non a caso il "$ -e $") per cui mi chiedo, come è possibile che l'energia cinetica sia negativa?
2)Tre cariche $ q_1=4\cdot 10^-8 C $ , $ q_2=-2\cdot 10^-8C $ e $ q_3=6\cdot10^-8C $ sono allineate orizzontalmente (così come scritte da sinistra a destra partendo da $ q_1 $ fino a $ q_3 $), ed equidistanti $ l=0,5m $. Calcolare il lavoro $ W $ fatto dalle forze elettrostatiche per allontanare $ q_3 $ verso destra di altri $ l=0,5m $.
Ho proceduto così: posto l'origine dell'asse x nella carica $ q_1 $, calcolo il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica tra $ q_1 $ e $ q_3 $, che fa lavoro positivo in quanto le due cariche entrambe positive si respingono per loro natura, favorendo così il processo di allontanamento di $ q_3 $, tramite la definizione di lavoro $ W=intdW=(q_1q_3)/(4piepsilon_0)\cdot int_(2l)^(3l) (dr)/r^2 dr $ e svolgendo trovo $ 7,19\cdot10^-6J $.
Faccio la stessa cosa per il lavoro della forza che si esercita tra $ q_2 $ e $ q_3 $ sempre partendo come prima dalla definizione di lavoro ottenendo:
$ (q_2q_3)/(4piepsilon_0)int_(2l)^(3l) (dr)/r^2 dr $ e svolgendo il tutto trovo $ -3,6\cdot10^-6J $, negativo dato che le due cariche in questione essendo negative si attrarrebbero e si oppongono al processo di spostamento di $ q_3 $ verso destra.
Infine ho sommato i due lavori ottenendo $ 3,59\cdot10^-6J $
Il libro riporta anche qui lo stesso valore ma di segno opposto e non capisco dove sbaglio. Grazie per le delucidazioni.
1)Una particella $ alpha $, nucleo di elio avente una carica $ 2e $, ha energia cinetica $ E_(alpha) $ quando si trova a grande distanza da un nucleo di oro, di raggio $ R=5\cdot 10^(-15)m $, contenente $ Z=79 $ protoni. La particella $ alpha $ viene lanciata contro il nucleo e ne raggiunge la superficie con energia cinetica nulla. Calcolare $ E_(alpha) $ in eV.
Lo svolgimento da me seguito è: applico il teorema di conservazione della energia $ W=-DeltaU_e =1/2mv^2 -E_(alpha) $ ma poiché come detto la energia cinetica finale è nulla risulta $ W=-DeltaU_e =-E_(alpha) $. Supponendo che l'energia potenziale elettrostatica iniziale sia nulla data la grande distanza tra le cariche allora
$ E_(alpha)=U_(efi n)=[(2e\)cdot 79(-e)]/(4piepsilon_0 R $. Ora il valore numerico che trovo è giusto, 45 MeV però così scritta mi dà un valore negativo dato che a numeratore ho il prodotto di due cariche elementari negative per 79 positive (non a caso il "$ -e $") per cui mi chiedo, come è possibile che l'energia cinetica sia negativa?
2)Tre cariche $ q_1=4\cdot 10^-8 C $ , $ q_2=-2\cdot 10^-8C $ e $ q_3=6\cdot10^-8C $ sono allineate orizzontalmente (così come scritte da sinistra a destra partendo da $ q_1 $ fino a $ q_3 $), ed equidistanti $ l=0,5m $. Calcolare il lavoro $ W $ fatto dalle forze elettrostatiche per allontanare $ q_3 $ verso destra di altri $ l=0,5m $.
Ho proceduto così: posto l'origine dell'asse x nella carica $ q_1 $, calcolo il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica tra $ q_1 $ e $ q_3 $, che fa lavoro positivo in quanto le due cariche entrambe positive si respingono per loro natura, favorendo così il processo di allontanamento di $ q_3 $, tramite la definizione di lavoro $ W=intdW=(q_1q_3)/(4piepsilon_0)\cdot int_(2l)^(3l) (dr)/r^2 dr $ e svolgendo trovo $ 7,19\cdot10^-6J $.
Faccio la stessa cosa per il lavoro della forza che si esercita tra $ q_2 $ e $ q_3 $ sempre partendo come prima dalla definizione di lavoro ottenendo:
$ (q_2q_3)/(4piepsilon_0)int_(2l)^(3l) (dr)/r^2 dr $ e svolgendo il tutto trovo $ -3,6\cdot10^-6J $, negativo dato che le due cariche in questione essendo negative si attrarrebbero e si oppongono al processo di spostamento di $ q_3 $ verso destra.
Infine ho sommato i due lavori ottenendo $ 3,59\cdot10^-6J $
Il libro riporta anche qui lo stesso valore ma di segno opposto e non capisco dove sbaglio. Grazie per le delucidazioni.
Risposte
Quindi nel primo ritieni che la carica di una particella alfa sia negativa 
... e nel secondo che la distanza di q2 da q3 vari da 2l a 3l 
Ad ogni modo sul testo del primo problema ci sarebbe da discutere; da dove arriva?
... e nel secondo che la distanza di q2 da q3 vari da 2l a 3l Ad ogni modo sul testo del primo problema ci sarebbe da discutere; da dove arriva?
Ciao, grazie per aver risposto. Entrambi i problemi sono presi dal libro "Elementi di fisica, Elettromagnetismo" di Mazzoldi, Nigro e Voci.
Tornando alla risoluzione, spinto da quanto hai scritto sulla particella $ alpha $ mi è subito balenata in mente la possibilità potesse essere un particolare tipo di particella ed ho letto essere un particella la cui carica è complessivamente positiva, ed è coinvolta nel decadimento $ alpha $. Se così, ho rifatto tutto cambiando di fatto il segno di tale carica e tutto torna.
Nel secondo esercizio ho provato ad integrare tra $ l $ e $ 2l $ per il secondo quantitativo di lavoro ed anche qui poi tutto torna. Se qui l'errore sta negli estremi di integrazione, giusto per capire, mi chiedo: questi estremi vanno considerati non come "posizioni rispetto ad una origine di riferimento" (come erroneamente ho fatto io), quanto come distanze tra le cariche in questione, nella situazione di inizio e di fine? E' giusto così? Considerando anche che il $ dr $ all'interno dell'integrale se non sbaglio è la variazione infinitesima di distanza tra le cariche.
Tornando alla risoluzione, spinto da quanto hai scritto sulla particella $ alpha $ mi è subito balenata in mente la possibilità potesse essere un particolare tipo di particella ed ho letto essere un particella la cui carica è complessivamente positiva, ed è coinvolta nel decadimento $ alpha $. Se così, ho rifatto tutto cambiando di fatto il segno di tale carica e tutto torna.
Nel secondo esercizio ho provato ad integrare tra $ l $ e $ 2l $ per il secondo quantitativo di lavoro ed anche qui poi tutto torna. Se qui l'errore sta negli estremi di integrazione, giusto per capire, mi chiedo: questi estremi vanno considerati non come "posizioni rispetto ad una origine di riferimento" (come erroneamente ho fatto io), quanto come distanze tra le cariche in questione, nella situazione di inizio e di fine? E' giusto così? Considerando anche che il $ dr $ all'interno dell'integrale se non sbaglio è la variazione infinitesima di distanza tra le cariche.
Puoi anche considerare un riferimento comune, con r distanza dall’origine, e quindi integrare fra 2l e 3l, ma in questo caso la distanza fra q2 e q3 sarà (r-l) e non r.
Va bene, grazie mille
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