Segno accelerazione e velocità
Al tempo $t=0$ una particella che viaggia lungo l'asse $x$ si trova nella posizione $x_0=-20m$. I segni della velocità iniziale della particella $v_0$ (al tempo $t_0$) e della sua accelerazione costante $a$ sono, rispettivamente, per quattro diverse situazioni: (1) $ +,+ $; (2) $+,-$; (3) $ -,+$; (4) $-,-$. In quale situazione la particella
a) si trova momentaneamente ferma
b) passa prima o poi dall'origine
c) non passerà mai dall'origine.
a) Dovrebbe avere come risposte 2 e 3, perché il tempo è $t=0$.
b) Qui non saprei come rispondere. Sicuramente nella situazione 1 la particella passerà sicuramente prima o poi dall'origine; ma non riesco a capire se questo avverrà anche nelle situazioni 2 e 3. Considerando che la velocità ha lo stesso segno dello spostamento, sarei portato a concludere che anche nel caso 2 passerà, prima o poi, dall'origine, però so che questa conclusione è sbagliata.
c) Nella situazione 4 è certo che non passerà mai dall'origine. Anche qui, non so bene come valutare i casi 2 e 3. Mi verrebbe da rispondere che anche nella situazione 3 non passerà mai dall'origine (sempre perché velocità e spostamento hanno lo stesso segno); però anche in questo caso la mia risposta sarebbe sbagliata.
a) si trova momentaneamente ferma
b) passa prima o poi dall'origine
c) non passerà mai dall'origine.
a) Dovrebbe avere come risposte 2 e 3, perché il tempo è $t=0$.
b) Qui non saprei come rispondere. Sicuramente nella situazione 1 la particella passerà sicuramente prima o poi dall'origine; ma non riesco a capire se questo avverrà anche nelle situazioni 2 e 3. Considerando che la velocità ha lo stesso segno dello spostamento, sarei portato a concludere che anche nel caso 2 passerà, prima o poi, dall'origine, però so che questa conclusione è sbagliata.
c) Nella situazione 4 è certo che non passerà mai dall'origine. Anche qui, non so bene come valutare i casi 2 e 3. Mi verrebbe da rispondere che anche nella situazione 3 non passerà mai dall'origine (sempre perché velocità e spostamento hanno lo stesso segno); però anche in questo caso la mia risposta sarebbe sbagliata.
Risposte
Le equazioni che regolano il sistema sono
$x=-20+v_0t+1/2at^2$
$v=v_0+at$
Per il punto 1, vedi subito che la pallina si ferma al tempo $t=-v_0/a$
Quindi siccome il tempo deve essere positivo, i segni di velocita e accelerazione devono essere discordi.
Per il punto 2, la richiesta si traduce in
$1/2at^2+v_0t-20=0$
Questa ha soluzioni realu se $v_0^2+40a>=0$ che e' sempre verificata per a>0 (situazioni 1 e 3). Se a<0 vedi tu che succede
Per il punto 3 ovviamente basta imporre che... ?
$x=-20+v_0t+1/2at^2$
$v=v_0+at$
Per il punto 1, vedi subito che la pallina si ferma al tempo $t=-v_0/a$
Quindi siccome il tempo deve essere positivo, i segni di velocita e accelerazione devono essere discordi.
Per il punto 2, la richiesta si traduce in
$1/2at^2+v_0t-20=0$
Questa ha soluzioni realu se $v_0^2+40a>=0$ che e' sempre verificata per a>0 (situazioni 1 e 3). Se a<0 vedi tu che succede
Per il punto 3 ovviamente basta imporre che... ?
"professorkappa":
Le equazioni che regolano il sistema sono
$x=-20+v_0t+1/2at^2$
$v=v_0+at$
Per il punto 1, vedi subito che la pallina si ferma al tempo $t=-v_0/a$
Quindi siccome il tempo deve essere positivo, i segni di velocita e accelerazione devono essere discordi.
Qui tutto chiaro
"professorkappa":
Per il punto 2, la richiesta si traduce in
$1/2at^2+v_0t-20=0$
Questa ha soluzioni realu se $v_0^2+40a>=0$ che e' sempre verificata per a>0 (situazioni 1 e 3). Se a<0 vedi tu che succede
Se $a>0$ ovviamente riesco a concludere che la disequazione è sempre verificata, però se $a<0$ non riesco subito a concludere che $(v_0)^2 + 40a >= 0$ non sia mai verificata, perché non conosco il valore di $v_0$. Dalla relazione $t=-v_0/a$ mi sono ricavato $v_0 = -at$ ed ho sostituito nell'equazione di secondo grado; anche qui però alla fine mi risulta $at^2 = -40$ e siccome so che $a$ è negativo l'equazione potrebbe essere verificata.
"professorkappa":
Per il punto 3 ovviamente basta imporre che... ?
Dovrei sempre applicare $1/2 at^2 +v_0 (t) -20 = 0$ e attraverso il discriminante vedere per quali segni di accelerazione e velocità l'equazione non è mai verificata, però anche qui non so come fare...
Eh, dai
Se a>0 il punto passa sempre per l'origine, a prescindere dal segno di $v_0$, perche la velocita' aumenta sempre e quindi a un certo punto $v_0$ passa da valori negativi a valori positivi per forza e il punto deve dirigersi verso O (e non ci torna piu', lo passa una volta)
Se a<0 ci passa solo se $v_0>0$ e il modulo di a deve essere inferiore a un certo valore (in modo da non "sovrastare" il termine $v_0t$ prima che arrivi nell'origine.
Quindi assunto $v_0$, si tratta di trovare la relazione tra $v_0$ e $a$ in modo che quella parabola espressa nella forma $x(t)=1/2at^2+v_0t-20$ abbia una sola soluzione (il punto parte, rallenta, arriva in O e inverte la marcia)
Ovviamente per a di modulo inferiore a quello trovato, il punto parte, rallentando, passa per O, continua la sua corsa ancora per un po' (piu' basso e il modulo di a, maggiore e' questo po'. Li' si ferma, inverte la marcia acquistando velocita' verso le x negative, ripassa per O e se ne va verso l'orizzonte del meno infinito.
A te i calcoli (che non sono difficili).
Se a>0 il punto passa sempre per l'origine, a prescindere dal segno di $v_0$, perche la velocita' aumenta sempre e quindi a un certo punto $v_0$ passa da valori negativi a valori positivi per forza e il punto deve dirigersi verso O (e non ci torna piu', lo passa una volta)
Se a<0 ci passa solo se $v_0>0$ e il modulo di a deve essere inferiore a un certo valore (in modo da non "sovrastare" il termine $v_0t$ prima che arrivi nell'origine.
Quindi assunto $v_0$, si tratta di trovare la relazione tra $v_0$ e $a$ in modo che quella parabola espressa nella forma $x(t)=1/2at^2+v_0t-20$ abbia una sola soluzione (il punto parte, rallenta, arriva in O e inverte la marcia)
Ovviamente per a di modulo inferiore a quello trovato, il punto parte, rallentando, passa per O, continua la sua corsa ancora per un po' (piu' basso e il modulo di a, maggiore e' questo po'. Li' si ferma, inverte la marcia acquistando velocita' verso le x negative, ripassa per O e se ne va verso l'orizzonte del meno infinito.
A te i calcoli (che non sono difficili).
Sto ragionando al punto $b$ (nella situazione in cui$v_0 > 0$ e $a<0$).
Risolvo la disequazione di secondo grado $(v_0)^2 + 40a >= 0$ in $v_0$. Poiché $v_0$ è per ipotesi positivo, la soluzione è $v_0 >= 2 sqrt(-10a)$ (il radicale esiste perché $a$ è negativo ovviamente).
Quindi per valori di $v_0$ maggiori o uguali a $2sqrt(-10a)$ la particella passa prima o poi dall'origine.
Considera che fisica è da qualche giorno che la studio, perdona eventuali strafalcioni da parte mia
Risolvo la disequazione di secondo grado $(v_0)^2 + 40a >= 0$ in $v_0$. Poiché $v_0$ è per ipotesi positivo, la soluzione è $v_0 >= 2 sqrt(-10a)$ (il radicale esiste perché $a$ è negativo ovviamente).
Quindi per valori di $v_0$ maggiori o uguali a $2sqrt(-10a)$ la particella passa prima o poi dall'origine.
Considera che fisica è da qualche giorno che la studio, perdona eventuali strafalcioni da parte mia
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