Secondo principio della dinamica? Modifica
Ciao a tutti, mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere il seguente problema che mi sono posto:
Se le equazioni della fisica, come i principi della meccanica, sono descritte attraverso una descrizione lagrangiana della realtà, ovvero a massa costante, perchè la seconda equazione della dinamica viene scritta in termini della quantità di moto, ovvero tenendo conto che non solo la velocità del sistema è funzione del tempo ma anche la massa lo è? Ovvero se il principio è riferito a un certo sistema identificato dalla propria massa, cosa significa allora un sistema a massa variabile nel secondo principio della dinamica?
Se le equazioni della fisica, come i principi della meccanica, sono descritte attraverso una descrizione lagrangiana della realtà, ovvero a massa costante, perchè la seconda equazione della dinamica viene scritta in termini della quantità di moto, ovvero tenendo conto che non solo la velocità del sistema è funzione del tempo ma anche la massa lo è? Ovvero se il principio è riferito a un certo sistema identificato dalla propria massa, cosa significa allora un sistema a massa variabile nel secondo principio della dinamica?
Risposte
prendi in esempio una macchina di formula che parte con il serbatoio pieno; finito il primo giro avrà consumato una certa quantità di carburante, finito il secondo ancora meno, e così via... essendo il consumo del carburante proporzionale alla massa del veicolo, si avrà che (ovviamente) più la macchina è leggera e meno consuma!
Quindi non solo la massa sta variando, ma varia con un andamento non lineare! il che rende ancora più complicati i calcoli.
Insomma per fare certe simulazioni, sopratutto nel campo dell'ingegneria, è necessario considerare la massa variabile!;-)
Quindi non solo la massa sta variando, ma varia con un andamento non lineare! il che rende ancora più complicati i calcoli.
Insomma per fare certe simulazioni, sopratutto nel campo dell'ingegneria, è necessario considerare la massa variabile!;-)
In fisica teorica la massa delle particelle è invariante (come la carica ecc.). Sistemi a massa variabile vanno perciò, secondo me, considerati con molta attenzione.
L'eq. di Euler-Lagrange è:
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q}= \frac{\partial L}{\partial q}$
per ogni grado di libertà e può essere scritta come:
$\frac{dp}{dt}= F$,
dove $p= \frac{\partial L}{\partial \dot q} $ è l'impulso generalizzato e $F= \frac{\partial L}{\partial q} $ è la forza generalizzata. Ecco perchè la derivata rispetto al tempo sta fuori.
L'eq. di Euler-Lagrange è:
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q}= \frac{\partial L}{\partial q}$
per ogni grado di libertà e può essere scritta come:
$\frac{dp}{dt}= F$,
dove $p= \frac{\partial L}{\partial \dot q} $ è l'impulso generalizzato e $F= \frac{\partial L}{\partial q} $ è la forza generalizzata. Ecco perchè la derivata rispetto al tempo sta fuori.
"fhabbio":
prendi in esempio una macchina di formula che parte con il serbatoio pieno; finito il primo giro avrà consumato una certa quantità di carburante, finito il secondo ancora meno, e così via... essendo il consumo del carburante proporzionale alla massa del veicolo, si avrà che (ovviamente) più la macchina è leggera e meno consuma!
Quindi non solo la massa sta variando, ma varia con un andamento non lineare! il che rende ancora più complicati i calcoli.
Insomma per fare certe simulazioni, sopratutto nel campo dell'ingegneria, è necessario considerare la massa variabile!;-)
Si l'esempio è chiaro, ma gia mi era abbastanza noto cosa vuol dire che la massa del sistema possa variare. Ad esempio, un razzo che vola cacciando il fluido propellente cambia la sua massa man mano che il fluido viene espulso. Ma il secondo principio non è riferito al sistema razzo piu propellente, i quali se pure non si trovano piu all'interno dell'involucro del razzo al variare del tempo, sono sempre i costituenti del sistema in esame?
Capisco ciò che intendi, ma credo che in tal caso (premetto che non sono un esperto in materia, quindi lascio la parola ai veterani) si debba considerare $(del(m(t)*v(t)))/(delt)$ come $(delm)/(delt)*v(t)+m(t)*(delv)/(delt)$
perciò
$\sum_{k=1}^N (F_k)-(delm)/(delt)*v(t)=m(t)*(delv)/(delt)$
quella massa variabile, va a complicare notevolmente i calcoli, basta pensare che forza peso e attriti sono dipendenti dalla massa.
Insomma per ritornare all'esempio di un velivolo; consideriamo il modellino a benzina di un aereo e supponiamo stia volando all'interno di un container, a tenuta stagna ermetico che non permette scambi di massa sotto forma alcuna con l'esterno (ahah che esempi!
), allora il sistema costituito da modellino, benzina (combusta e non) e aria all'interno del container avrà una certa massa costante, però va da sé che se il sistema è solo modellino + benzina (all'interno) allora si ha una massa variabile.
perciò
$\sum_{k=1}^N (F_k)-(delm)/(delt)*v(t)=m(t)*(delv)/(delt)$
quella massa variabile, va a complicare notevolmente i calcoli, basta pensare che forza peso e attriti sono dipendenti dalla massa.
Insomma per ritornare all'esempio di un velivolo; consideriamo il modellino a benzina di un aereo e supponiamo stia volando all'interno di un container, a tenuta stagna ermetico che non permette scambi di massa sotto forma alcuna con l'esterno (ahah che esempi!
), allora il sistema costituito da modellino, benzina (combusta e non) e aria all'interno del container avrà una certa massa costante, però va da sé che se il sistema è solo modellino + benzina (all'interno) allora si ha una massa variabile.
Grazie fhabbio della tua risposta, ma ancora non sono sicuro sulla questione. Riprendendo il tuo ultimo esempio, tra le forze agenti sul sistema bisogna allora prendere solo quelle che agiscono sul volume di controllo che tu chiami container e non solo quelle sulla scocca del modellino, perchè é l'unico sistema che contiene sempre la stessa massa, o sbaglio?
Mi lusinga sapere di non essere l'unico str... ad essermi posto la domanda: ma $F=ma$ (come mi dice l'Esposito, il prof Cella e altri dotti), o è $F=(dp)/(dt)$?
Il fatto è che il secondo principio della dinamica definisce il concetto di forza per delle entità, chiamate "punti materiali", supposti per definizione a massa costante. I corpi estesi sono modellizzati come un insieme, discreto o continuo, di punti materiali. Eventuale perdita di massa viene modellizzata come "perdita di punti materiali", attraverso interazioni che avvengono in armonia con le leggi di conservazione (per esempio della quantità di moto) applicati a TUTTO IL SISTEMA: nel caso del razzo, gas espulso + razzo stesso.
Il fatto è che il secondo principio della dinamica definisce il concetto di forza per delle entità, chiamate "punti materiali", supposti per definizione a massa costante. I corpi estesi sono modellizzati come un insieme, discreto o continuo, di punti materiali. Eventuale perdita di massa viene modellizzata come "perdita di punti materiali", attraverso interazioni che avvengono in armonia con le leggi di conservazione (per esempio della quantità di moto) applicati a TUTTO IL SISTEMA: nel caso del razzo, gas espulso + razzo stesso.
@newton
Ma che domande fai? Sei stato tu a "scoprire" che la forza si può definire come la derivata temporale della quantità di moto
Cordialmente, Alex
Ma che domande fai? Sei stato tu a "scoprire" che la forza si può definire come la derivata temporale della quantità di moto
Cordialmente, Alex
Come ho già scritto sopra, il perchè dell'equazione "derivata temporale dell'impulso = forza" è una conseguenza diretta dell'eq. di Euler-Lagrange. Non ci sono dubbi.
Poi la massa di una particella è uno scalare invariante per cui, facendo la derivata, le masse passano a moltiplicare.
Lavorare con masse variabili di corpi macroscopici è quindi una faccenda molto delicata da andarci coi piedi di piombo
Ricordo che tempo fa, si discusse di un sistema a massa variabile che non si risolveva facendo la derivata di $m(t) v$. Chi se lo ricorda?
Poi la massa di una particella è uno scalare invariante per cui, facendo la derivata, le masse passano a moltiplicare.
Lavorare con masse variabili di corpi macroscopici è quindi una faccenda molto delicata da andarci coi piedi di piombo
Ricordo che tempo fa, si discusse di un sistema a massa variabile che non si risolveva facendo la derivata di $m(t) v$. Chi se lo ricorda?
"anonymous_ad4c4b":
Ricordo che tempo fa, si discusse di un sistema a massa variabile che non si risolveva facendo la derivata di $m(t) v$. Chi se lo ricorda?
Eccola qui.
Faussone, complimenti per l'ottima memoria!
"axpgn":
@newton
Ma che domande fai? Sei stato tu a "scoprire" che la forza si può definire come la derivata temporale della quantità di moto
Cordialmente, Alex
sei un grande
Quindi in sostanza il principio non è riferito esclusivamente a un sistema chiuso, ma è estendibile anche a un sistema che scambia massa?
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