Seconda equazione cardinale e puro rotolamento
C'è una questione che non mi è molto chiara riguardo alla seconda equazione cardinale applicata a un sistema in cui vige il puro rotolamento. Porto come esempio il seguente caso::
Vi è un anello di massa $M$ e raggio $R$ a cui è saldato un punto P di massa $M$ che forma un angolo iniziale $theta=pi/6$ con la verticale, si chiede di determinare la velocità angolare iniziale del sistema considerando che venga lasciato libera da fermo in quella posizione e che vi sia rotolamento puro.
La soluzione proposta considera la seconda equazione cardinale applicata nel punto di contatto tra disco e anello e trova facilmente l'accelerazione angolare iniziale, e mi sembra giusto e lo avrei fatto anch'io, solo che aggiunge :"questa cosa di applicare la seconda equazione cardinale nel punto di contatto tra disco e anello si può fare solo all'istante iniziale in cui l'anello è fermo", questa cosa non mi torna, infatti trattandosi di puro rotolamento, il punto di contatto tra disco e anello dovrebbe essere fermo in ogni istante del moto e quindi la seconda equazione cardinale si dovrebbe poter applicare senza problemi in quel punto in ogni istante e non solo nell'istante iniziale. Suppongo però che la mia considerazione sia snagliata, infatti considerando l'energia meccanica del sistema e derivandola rispetto al tempo, si trova che l'accelerazione angolare del sistema è funzione sia di $theta$ sia di $dot(theta)^2$, mentre applicando la seconda equazione cardinale nel punto di contatto si trova che l'accelerazione angolare è solo funzione di $theta$ e non vi è alcun termine $dot(theta)^2$. Quindi a quanto pare non si può applicare la seconda cardinale nel punto di contatto in ogni istante, la mia domanda é: perché?
Vi è un anello di massa $M$ e raggio $R$ a cui è saldato un punto P di massa $M$ che forma un angolo iniziale $theta=pi/6$ con la verticale, si chiede di determinare la velocità angolare iniziale del sistema considerando che venga lasciato libera da fermo in quella posizione e che vi sia rotolamento puro.
La soluzione proposta considera la seconda equazione cardinale applicata nel punto di contatto tra disco e anello e trova facilmente l'accelerazione angolare iniziale, e mi sembra giusto e lo avrei fatto anch'io, solo che aggiunge :"questa cosa di applicare la seconda equazione cardinale nel punto di contatto tra disco e anello si può fare solo all'istante iniziale in cui l'anello è fermo", questa cosa non mi torna, infatti trattandosi di puro rotolamento, il punto di contatto tra disco e anello dovrebbe essere fermo in ogni istante del moto e quindi la seconda equazione cardinale si dovrebbe poter applicare senza problemi in quel punto in ogni istante e non solo nell'istante iniziale. Suppongo però che la mia considerazione sia snagliata, infatti considerando l'energia meccanica del sistema e derivandola rispetto al tempo, si trova che l'accelerazione angolare del sistema è funzione sia di $theta$ sia di $dot(theta)^2$, mentre applicando la seconda equazione cardinale nel punto di contatto si trova che l'accelerazione angolare è solo funzione di $theta$ e non vi è alcun termine $dot(theta)^2$. Quindi a quanto pare non si può applicare la seconda cardinale nel punto di contatto in ogni istante, la mia domanda é: perché?
Risposte
Il CIR è un punto fermo, però utilizzato come polo per applicare la seconda equazione cardinale della dinamica trae in inganno, dunque va usato con cautela.
Il nocciolo della questione, credo, è che anche se è un punto a velocità zero, a volte è invece ad accelerazione non nulla.
Infatti il CIR nel caso del puro rotolamento si muove con spostamenti infinitesimi verticali (vedi cicloide) prima e dopo l'istante in cui tocca il suolo, dunque la sua accelerazione è verticale e non nulla.
Questo incide sulla equazione della dinamica in questo modo.
Prendiamo il punto O origine degli assi cartesiani e immobile e applichiamo la prima equazione cardinale riferita a un punto massivo P di massa m:
$$\frac{d}
{{dt}}\left( {m\frac{{d{r_{OP}}}}
{{dt}}} \right) = F$$
Adesso moltiplichiamo vettorialmente per il vettore posizione:
$${r_{OP}} \times \left( {\frac{d}
{{dt}}\left( {m\frac{{d{r_{OP}}}}
{{dt}}} \right)} \right) = {r_{OP}} \times F$$
Adesso consideriamo il vettore posizione come somma di due vettori, il primo che collega O col CIR, il secondo che collega il CIR col punto P:
$${r_{OP}} = {r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}$$
da cui:
$$\eqalign{
& \left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right) \times \left( {\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{d{r_{OP}}m}}
{{dt}}} \right)} \right) = \left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right) \times F \cr
& {r_{CIR - P}} \times \left( {\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{d\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m}}
{{dt}}} \right)} \right) = {r_{CIR - P}} \times F = {\tau _{CIR - P}} \cr} $$
Posto:
$$\frac{{d{r_{O - CIR}}}}
{{dt}} = 0$$
si ha:
$$\frac{{d\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m}}
{{dt}} = 0 + m\omega \times {r_{CIR - P}}$$
Passando però alle derivate seconde si ha:
$$\eqalign{
& \frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{d\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m}}
{{dt}}} \right) = \frac{{{d^2}}}
{{d{t^2}}}\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m = \frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}}m + \frac{d}
{{dt}}\left( {m\omega \times {r_{CIR - P}}} \right) = \cr
& = m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + \frac{d}
{{dt}}m\left( {\omega \times {r_{CIR - P}}} \right) \cr
& {r_{CIR - P}} \times \left[ {m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + \frac{d}
{{dt}}m\left( {\omega \times {r_{CIR - P}}} \right)} \right] = {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + {r_{CIR - P}} \times m\frac{d}
{{dt}}\left( {\omega \times {r_{CIR - P}}} \right) \cr
& = {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + \frac{{d{L_{CIR - P}}}}
{{dt}} \cr} $$
Ecco che allora, a causa della accelerazione non nulla del CIR, la seconda cardinale diventa:
$$\eqalign{
& \frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} \ne 0 \cr
& \frac{{d{L_{CIR - P}}}}
{{dt}} + {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} = {\tau _{CIR - P}} \cr} $$
Ora se ho detto fesserie o meno lascio a te segnalarmelo, dopo che avrai verificato se l'equazione scritta è giusta o no.
Il nocciolo della questione, credo, è che anche se è un punto a velocità zero, a volte è invece ad accelerazione non nulla.
Infatti il CIR nel caso del puro rotolamento si muove con spostamenti infinitesimi verticali (vedi cicloide) prima e dopo l'istante in cui tocca il suolo, dunque la sua accelerazione è verticale e non nulla.
Questo incide sulla equazione della dinamica in questo modo.
Prendiamo il punto O origine degli assi cartesiani e immobile e applichiamo la prima equazione cardinale riferita a un punto massivo P di massa m:
$$\frac{d}
{{dt}}\left( {m\frac{{d{r_{OP}}}}
{{dt}}} \right) = F$$
Adesso moltiplichiamo vettorialmente per il vettore posizione:
$${r_{OP}} \times \left( {\frac{d}
{{dt}}\left( {m\frac{{d{r_{OP}}}}
{{dt}}} \right)} \right) = {r_{OP}} \times F$$
Adesso consideriamo il vettore posizione come somma di due vettori, il primo che collega O col CIR, il secondo che collega il CIR col punto P:
$${r_{OP}} = {r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}$$
da cui:
$$\eqalign{
& \left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right) \times \left( {\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{d{r_{OP}}m}}
{{dt}}} \right)} \right) = \left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right) \times F \cr
& {r_{CIR - P}} \times \left( {\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{d\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m}}
{{dt}}} \right)} \right) = {r_{CIR - P}} \times F = {\tau _{CIR - P}} \cr} $$
Posto:
$$\frac{{d{r_{O - CIR}}}}
{{dt}} = 0$$
si ha:
$$\frac{{d\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m}}
{{dt}} = 0 + m\omega \times {r_{CIR - P}}$$
Passando però alle derivate seconde si ha:
$$\eqalign{
& \frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{d\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m}}
{{dt}}} \right) = \frac{{{d^2}}}
{{d{t^2}}}\left( {{r_{O - CIR}} + {r_{CIR - P}}} \right)m = \frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}}m + \frac{d}
{{dt}}\left( {m\omega \times {r_{CIR - P}}} \right) = \cr
& = m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + \frac{d}
{{dt}}m\left( {\omega \times {r_{CIR - P}}} \right) \cr
& {r_{CIR - P}} \times \left[ {m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + \frac{d}
{{dt}}m\left( {\omega \times {r_{CIR - P}}} \right)} \right] = {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + {r_{CIR - P}} \times m\frac{d}
{{dt}}\left( {\omega \times {r_{CIR - P}}} \right) \cr
& = {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} + \frac{{d{L_{CIR - P}}}}
{{dt}} \cr} $$
Ecco che allora, a causa della accelerazione non nulla del CIR, la seconda cardinale diventa:
$$\eqalign{
& \frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} \ne 0 \cr
& \frac{{d{L_{CIR - P}}}}
{{dt}} + {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} = {\tau _{CIR - P}} \cr} $$
Ora se ho detto fesserie o meno lascio a te segnalarmelo, dopo che avrai verificato se l'equazione scritta è giusta o no.
Non mi tornano alcuni punti del tuo ragionamento, secondo me non è vero che nel rotolamento il punto di contatto tra disco e terreno ha accelerazione non nulla, infatti il punto di contatto è tale solo in un istante, infinitamente dopo tale istante, questo punto si sarà spostato più in alto, ma ciò non vuol dire che il punto di contatto abbia accelerato, perché dopo quell'istante di contatto, quel punto non è più il centro istantaneo di rotazione, ma lo è diventato il punto del disco immediatamente successivo a lui, che si ritrova sempre alla stessa quota, quindi tale punto, inteso come punto geometrico di contatto istantaneo non dovrebbe avere alcuna accelerazione in senso verticale. Mi è sempre stato insegnato che se un disco rotola su un piano, allora si può applicare la seconda equazione cardinale nel punto di contatto tra disco e piano nella forma $tau=Ialpha$ perché "il punto di contatto è istantaneamente fermo". Ecco, le mie conclusioni sono che questa cosa non è vera, infatti se così fosse si potrebbe applicare anche nel caso della mia immagine, ma non si può, quindi il mio ragionamento è che un disco o un anello normale che rotolano siano degli oggetti "privilegiati" in cui questa cosa si può fare e non per quel motivo che mi è stato detto. Riguardandomi un po' di teoria sul testo mi ritrovo la seconda equazione cardinale di un sistema di punti rispetto ad un polo $ O$ qualsiasi in movimento: $ vec(tau_o)=(dvec(L_o))/(dt)+ vec(v_o) xx vec(p_G)$, quindi rispetto ad un polo fisso c'è un termine correttivo $vec(v_o) xx vec(p_G)$, dove $v_o$ è la velocità del polo $O$, appunto, se si assume che la velocità di tale polo, come mi è stato detto, sia nulla, quel termine è nullo e quindi l'equazione si riconduce per un disco che rotola a $tau=Ialpha$, ma questo ragionamento potrebbe benissimo essere fatto quindi anche nel caso dell'anello con una massa saldata. Il punto è che secondo me dire che la velocità del contatto tra disco e terreno è nulla per giustificare quell'operazione è errato, infatti la velocità del punto di contatto tra disco e terreno non è nulla, se questo punto di contatto si intende come un ente geometrico, ma la sua velocità è pari e parallela a quella del centro di massa, pertanto nel caso di un normale disco che rotola il termine $vec(v_o) xx vec(p_G)$ si annulla lo stesso, ma non perché $v_o$ è nulla, piuttosto perché $v_o$ è parallela ala velocità del centro del disco, che corrisponde "fortuitamente" al centro di massa del disco $v_G$. Ed ecco perché questo termine correttivo non si annullerebbe nel caso dell'anello e della massa saldata, proprio perché la $v_o$ è parallelo alla velocità del centro dell'anello, ma essendoci una massa saldata, il centro di massa del sistema non coincide con il centro dell'anello e la sua velocità non sarà in generale parallela a $v_o$, pertanto nella seconda equazione cardinale bisognerebbe tenere conto del fattore correttivo. Non so se quanto ho detto sia corretto o meno, anche perché è in pratica il contrario di ciò che hai posto tu
Posto: $(dr_(O−CIR))/(dt)=0$, giungendo però ad un risultato finale che in teoria non dovrebbe porre alcuna differenza tra un anello normale e un anello con una massa saldata, se non mi sbaglio, infatti
\[ \eqalign{ & \frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}} {{d{t^2}}} \ne 0 \cr & m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}} {{d{t^2}}} + \frac{{d{L_{CIR - P}}}} {{dt}} = {\tau _{CIR - P}} \cr} \]se applicata ad un anello normale e ad un anello con una massa saldata dovrebbe portare allo stesso risultato.
Adesso sto fuori e non davanti alla tastiera del pc per cui mi risulta difficile dibattere. Noto per prima cosa che, anche se avessi fatto un ragionamento giusto, c'è un errore nei miei passaggi perché ho dimenticato un prodotto vettore, per cui quando avrò tempo controllerò meglio.
Riguardo però al CIR noto che non è un punto classico cui poter applicare le formule. Infatti se lo considerassimo un punto geometrico che si sposta col punto di contatto, dovremmo attribuirgli una velocità uguale a quella del centro del disco, ma questo contravviene alla definizione che lo vuole fermo nel sistema assoluto. ln realtà invece dobbiamo considerarlo appartenente al disco, perché in tal caso componendo rotazione e traslazione si trova velocità zero. Però quel punto in un istante successivo perde la sua qualifica di CIR e passa il testimone a un altro punto infinitamente vicino. Tuttavia siccome velocità e accelerazione sono attributi puntuali, insisto nel dire che il CIR, in quanto punto del disco e non del piano, ha velocità nulla e accelerazione non nulla. Per intenderci si trova in condizione simile a quella di un pendolo, quando a un estremo della sua oscillazione ha velocità nulla e accelerazione massima.
Riguardo però al CIR noto che non è un punto classico cui poter applicare le formule. Infatti se lo considerassimo un punto geometrico che si sposta col punto di contatto, dovremmo attribuirgli una velocità uguale a quella del centro del disco, ma questo contravviene alla definizione che lo vuole fermo nel sistema assoluto. ln realtà invece dobbiamo considerarlo appartenente al disco, perché in tal caso componendo rotazione e traslazione si trova velocità zero. Però quel punto in un istante successivo perde la sua qualifica di CIR e passa il testimone a un altro punto infinitamente vicino. Tuttavia siccome velocità e accelerazione sono attributi puntuali, insisto nel dire che il CIR, in quanto punto del disco e non del piano, ha velocità nulla e accelerazione non nulla. Per intenderci si trova in condizione simile a quella di un pendolo, quando a un estremo della sua oscillazione ha velocità nulla e accelerazione massima.
Allora non riesco priprio a spiegarmi perché per determinare il moto di quel disco nell'immagine l'equazione $M=Iddot(theta)$ rispetto al punto di contatto non valga per istanti successivi a quello iniziale
Ho corretto la dimenticanza del mio primo post, e riprendo qui la conclusione:
$$\frac{{d{L_{CIR - P}}}}
{{dt}} + {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} = {\tau _{CIR - P}}$$
Ora per vedere se questa relazione sia giusta o meno occorre risolvere il problema originario dell'anello e della massa concentrata.
Il metodo classico e più sicuro è naturalmente quello dell'energia. Si ha:
$$\eqalign{
& mgR\left( {\cos {\theta _0} - \cos \theta } \right) = \frac{1}
{2}2M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}
{2}2m{R^2}\left( {1 + \cos \theta } \right){{\dot \theta }^2} \cr
& mg\left( {\cos {\theta _0} - \cos \theta } \right) = MR{{\dot \theta }^2} + mR{{\dot \theta }^2}\left( {1 + \cos \theta } \right) \cr
& mg\sin \theta \dot \theta = 2MR\dot \theta \ddot \theta + 2mR\dot \theta \ddot \theta \left( {1 + \cos \theta } \right) - mR{{\dot \theta }^2}\sin \theta \dot \theta \cr
& mg\sin \theta = 2MR\ddot \theta + 2mR\ddot \theta \left( {1 + \cos \theta } \right) - mR{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cr
& \ddot \theta = \frac{{m\left( {g + R{{\dot \theta }^2}} \right)\sin \theta }}
{{2R\left[ {M + m\left( {1 + \cos \theta } \right)} \right]}} \cr} $$
Applichiamo adesso la formula da me trovata come seconda cardinale modificata apposta per applicarla al CIR.
L'accelerazione del CIR, secondo le mie considerazioni, coincide con l'accelerazione centripeta. Il prodotto vettoriale applicato al vettore posizione della massa isolata dà:
$${r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} = - mR{{\dot \theta }^2}R\sin \theta $$
Riguardo all'anello, il contributo di questo fattore è zero, poiché il prodotto vettoriale di un elemento situato a destra del punto di contatto col terreno ha sempre un gemello a sinistra che dà un contributo uguale e contrario. Dunque per oggetti simmetrici rispetto al CIR questo addendo non dà contributo.
Pertanto si ha:
$$\eqalign{
& mgR\sin \theta = \frac{{dL}}
{{dt}} - m{R^2}{{\dot \theta }^2}\sin \theta = I\dot \omega - m{R^2}{{\dot \theta }^2}\sin \theta = 2M{R^2}\ddot \theta + 2m{R^2}\left( {1 + \cos \theta } \right)\ddot \theta - m{R^2}{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cr
& mg\sin \theta = 2MR\ddot \theta + 2mR\left( {1 + \cos \theta } \right)\ddot \theta - mR{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cr
& \ddot \theta = \frac{{m\left( {g + R{{\dot \theta }^2}} \right)\sin \theta }}
{{2R\left[ {M + m\left( {1 + \cos \theta } \right)} \right]}} \cr} $$
Questo è il medesimo risultato trovato col sistema della energia, dunque il procedimento sembrerebbe giusto.
A commento finale dico: io sono il primo a stupirmi di questo risultato e di come ci sono arrivato, però tant'è.
Potrebbe essere anche una grossa corbelleria tutto ciò, e il risultato può anche essere uscito casualmente, non so.
Una cosa è certa: se io devo risolvere questo problema applico il metodo energetico, e se proprio dovessi applicare la seconda cardinale non mi appoggerei di sicuro al CIR, ma mi appoggerei a un punto davvero fisso.
$$\frac{{d{L_{CIR - P}}}}
{{dt}} + {r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} = {\tau _{CIR - P}}$$
Ora per vedere se questa relazione sia giusta o meno occorre risolvere il problema originario dell'anello e della massa concentrata.
Il metodo classico e più sicuro è naturalmente quello dell'energia. Si ha:
$$\eqalign{
& mgR\left( {\cos {\theta _0} - \cos \theta } \right) = \frac{1}
{2}2M{R^2}{{\dot \theta }^2} + \frac{1}
{2}2m{R^2}\left( {1 + \cos \theta } \right){{\dot \theta }^2} \cr
& mg\left( {\cos {\theta _0} - \cos \theta } \right) = MR{{\dot \theta }^2} + mR{{\dot \theta }^2}\left( {1 + \cos \theta } \right) \cr
& mg\sin \theta \dot \theta = 2MR\dot \theta \ddot \theta + 2mR\dot \theta \ddot \theta \left( {1 + \cos \theta } \right) - mR{{\dot \theta }^2}\sin \theta \dot \theta \cr
& mg\sin \theta = 2MR\ddot \theta + 2mR\ddot \theta \left( {1 + \cos \theta } \right) - mR{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cr
& \ddot \theta = \frac{{m\left( {g + R{{\dot \theta }^2}} \right)\sin \theta }}
{{2R\left[ {M + m\left( {1 + \cos \theta } \right)} \right]}} \cr} $$
Applichiamo adesso la formula da me trovata come seconda cardinale modificata apposta per applicarla al CIR.
L'accelerazione del CIR, secondo le mie considerazioni, coincide con l'accelerazione centripeta. Il prodotto vettoriale applicato al vettore posizione della massa isolata dà:
$${r_{CIR - P}} \times m\frac{{{d^2}{r_{O - CIR}}}}
{{d{t^2}}} = - mR{{\dot \theta }^2}R\sin \theta $$
Riguardo all'anello, il contributo di questo fattore è zero, poiché il prodotto vettoriale di un elemento situato a destra del punto di contatto col terreno ha sempre un gemello a sinistra che dà un contributo uguale e contrario. Dunque per oggetti simmetrici rispetto al CIR questo addendo non dà contributo.
Pertanto si ha:
$$\eqalign{
& mgR\sin \theta = \frac{{dL}}
{{dt}} - m{R^2}{{\dot \theta }^2}\sin \theta = I\dot \omega - m{R^2}{{\dot \theta }^2}\sin \theta = 2M{R^2}\ddot \theta + 2m{R^2}\left( {1 + \cos \theta } \right)\ddot \theta - m{R^2}{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cr
& mg\sin \theta = 2MR\ddot \theta + 2mR\left( {1 + \cos \theta } \right)\ddot \theta - mR{{\dot \theta }^2}\sin \theta \cr
& \ddot \theta = \frac{{m\left( {g + R{{\dot \theta }^2}} \right)\sin \theta }}
{{2R\left[ {M + m\left( {1 + \cos \theta } \right)} \right]}} \cr} $$
Questo è il medesimo risultato trovato col sistema della energia, dunque il procedimento sembrerebbe giusto.
A commento finale dico: io sono il primo a stupirmi di questo risultato e di come ci sono arrivato, però tant'è.
Potrebbe essere anche una grossa corbelleria tutto ciò, e il risultato può anche essere uscito casualmente, non so.
Una cosa è certa: se io devo risolvere questo problema applico il metodo energetico, e se proprio dovessi applicare la seconda cardinale non mi appoggerei di sicuro al CIR, ma mi appoggerei a un punto davvero fisso.
Ok, credo di aver capito, grazie!. Si, certo il metodo dell'energia è sempre preferibile, appunto il mio dubbio nasceva dal fatto che applicando al metodo dell'energia ottenessi anche un termine $dot(theta)^2$ che non compariva applicando la seconda cardinale al punto di contatto, e quindi sicuramente in qualche modo sbagliavo ad applicare la seconda cardinale. Il concetto di centro istantaneo non mi è ancora molto intuitivo quindi mi sa che seguirò il tuo consiglio e applicherò le equazioni solo a punti davvero fissi o al centro di massa (andando sul sicuro 
)
)
Ad ogni modo, a scopo di sintesi riguardo al trattamento della seconda legge cardinale riferita al CIR, provo a riportare di seguito un compendio delle mie riflessioni.
Dato un corpo rigido comunque composito, il CIR è quel punto appartenente al sistema corpo (non necessariamente in esso compreso, ma comunque ad esso solidale) attorno al quale il corpo ruota in un certo istante. E' dunque evidente che quel punto ha velocità zero in quell'istante, però non ha necessariamente accelerazione nulla. Il ragionamento vale in quell'istante, perché in un istante successivo il punto può aver cambiato posizione e aver perso la qualifica di CIR.
Per fissare le idee, un disco in puro rotolamento ha in un certo istante il CIR situato in adiacenza al punto di contatto col piano sul quale il disco rotola. Questo permette di calcolare facilmente il campo delle velocità del disco in moto.
Se adesso prendiamo un sistema di riferimento centrato in quel punto e vogliamo effettuare considerazioni legate alla seconda equazione cardinale riferita a quel punto, dobbiamo però tenere presente che si tratta di un sistema accelerato, poiché quel punto possiede una accelerazione assoluta non nulla (nel caso del disco che rotola, questa accelerazione coincide con l'accelerazione centripeta diretta verso il centro del disco).
Lavorando coi vettori, ho trovato che rispetto al CIR la seconda cardinale può essere riscritta così:
$$\eqalign{
& {\tau _{q - p}}{\text{ = momento delle forze reali rispetto al polo accelerato q (CIR)}} \cr
& {L_{q - p}}{\text{ = momento angolare del corpo rispetto al polo accelerato q}} \cr
& {r_{q - p}}{\text{ = vettore posizione del punto materiale rispetto al polo accelerato q}} \cr
& {{\ddot r}_{o - q}}{\text{ = acclerazione assoluta del polo accelerato q}} \cr
& {\tau _{q - p}} = {{\dot L}_{q - p}} + m{r_{q - p}} \times {{\ddot r}_{o - q}} \cr} $$
Nel caso di un corpo rigido anziché puntiforme, il secondo addendo a secondo membro si interpreta come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del CM del corpo rispetto al vettore accelerazione del polo accelerato.
Tutto ciò appare anche abbastanza logico se guardiamo il problema da un altro punto di vista.
Se ci mettiamo in un sistema accelerato centrato sui CIR e traslante con esso mantenendo gli assi paralleli al sistema assoluto, infatti, notiamo che come in tutti i sistemi accelerati dobbiamo aggiungere alle forze reali agenti anche la forza apparente applicata a ogni massa e avente verso contrario rispetto alla accelerazione del sistema.
Dato un punto materiale, dunque si può scrivere:
$$\eqalign{
& {{\text{F}}_{\text{r}}}{\text{ = forze relative nel sistema accelerato}} \cr
& {\text{F = forze reali}} \cr
& {F_r} = F - m{{\ddot r}_{o - q}} \cr
& {r_{q - p}} \times {F_r} = {r_{q - p}} \times F - {r_{q - p}} \times m{{\ddot r}_{o - q}} = {{\dot L}_{q - p}} \cr
& {\tau _{q - p}} = {r_{q - p}} \times F = {{\dot L}_{q - p}} + m{r_{q - p}} \times {{\ddot r}_{o - q}} \cr} $$
pertanto con considerazioni sulla seconda cardinale applicata al sistema relativo accelerato, e quindi con l'aggiunta del momento causato dalle forze apparenti, si ritrova il risultato di cui sopra.
Dato un corpo rigido comunque composito, il CIR è quel punto appartenente al sistema corpo (non necessariamente in esso compreso, ma comunque ad esso solidale) attorno al quale il corpo ruota in un certo istante. E' dunque evidente che quel punto ha velocità zero in quell'istante, però non ha necessariamente accelerazione nulla. Il ragionamento vale in quell'istante, perché in un istante successivo il punto può aver cambiato posizione e aver perso la qualifica di CIR.
Per fissare le idee, un disco in puro rotolamento ha in un certo istante il CIR situato in adiacenza al punto di contatto col piano sul quale il disco rotola. Questo permette di calcolare facilmente il campo delle velocità del disco in moto.
Se adesso prendiamo un sistema di riferimento centrato in quel punto e vogliamo effettuare considerazioni legate alla seconda equazione cardinale riferita a quel punto, dobbiamo però tenere presente che si tratta di un sistema accelerato, poiché quel punto possiede una accelerazione assoluta non nulla (nel caso del disco che rotola, questa accelerazione coincide con l'accelerazione centripeta diretta verso il centro del disco).
Lavorando coi vettori, ho trovato che rispetto al CIR la seconda cardinale può essere riscritta così:
$$\eqalign{
& {\tau _{q - p}}{\text{ = momento delle forze reali rispetto al polo accelerato q (CIR)}} \cr
& {L_{q - p}}{\text{ = momento angolare del corpo rispetto al polo accelerato q}} \cr
& {r_{q - p}}{\text{ = vettore posizione del punto materiale rispetto al polo accelerato q}} \cr
& {{\ddot r}_{o - q}}{\text{ = acclerazione assoluta del polo accelerato q}} \cr
& {\tau _{q - p}} = {{\dot L}_{q - p}} + m{r_{q - p}} \times {{\ddot r}_{o - q}} \cr} $$
Nel caso di un corpo rigido anziché puntiforme, il secondo addendo a secondo membro si interpreta come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione del CM del corpo rispetto al vettore accelerazione del polo accelerato.
Tutto ciò appare anche abbastanza logico se guardiamo il problema da un altro punto di vista.
Se ci mettiamo in un sistema accelerato centrato sui CIR e traslante con esso mantenendo gli assi paralleli al sistema assoluto, infatti, notiamo che come in tutti i sistemi accelerati dobbiamo aggiungere alle forze reali agenti anche la forza apparente applicata a ogni massa e avente verso contrario rispetto alla accelerazione del sistema.
Dato un punto materiale, dunque si può scrivere:
$$\eqalign{
& {{\text{F}}_{\text{r}}}{\text{ = forze relative nel sistema accelerato}} \cr
& {\text{F = forze reali}} \cr
& {F_r} = F - m{{\ddot r}_{o - q}} \cr
& {r_{q - p}} \times {F_r} = {r_{q - p}} \times F - {r_{q - p}} \times m{{\ddot r}_{o - q}} = {{\dot L}_{q - p}} \cr
& {\tau _{q - p}} = {r_{q - p}} \times F = {{\dot L}_{q - p}} + m{r_{q - p}} \times {{\ddot r}_{o - q}} \cr} $$
pertanto con considerazioni sulla seconda cardinale applicata al sistema relativo accelerato, e quindi con l'aggiunta del momento causato dalle forze apparenti, si ritrova il risultato di cui sopra.
Tutto chiarissimo, grazie ancora!
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