Seconda cardinale e Koenig
Buonasera a tutti, vi scrivo perché sono alquanto disperata per quanto riguarda la dimostrazione della seconda cardinale per un sistema di punti materiale ed il primo teorema di Koenig.
Koenig
Il primo teorema di Koenig dice che (leggo dal mio libro) il momento angolare di un corpo rigido rispetto ad un centro di riduzione $O$ è uguale a :
$vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + tilde(vecK_g)$
Domande su Koenig:
mi confermate che, per i corpi rigidi che ruotano attorno ad un asse principale d'inerzia fisso (che non si inclina), vale la seguente equazione
$tilde(vecK_g)= I_gvecomega$
?
soprattutto, mi confermate che l'equazione è vettoriale? Nella prima equazione, sia $vecK_O$ che $vecr_g xx mvecv_g $ sono vettori, e dunque $tilde(vecK_g)$ non può che essere un vettore giusto?
Dunque per i corpi rigidi che ruotano attorno ad un asse principale d'inerzia fisso posso scrivere:
$vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega$
?
Il libro non è molto chiaro al riguardo. E' anzi riuscito a confondermi.
Seconda Cardinale
Per un sistema di punti materiali (e dunque anche per un corpo rigido) io so che il momento angolare rispetto ad un polo $O$ è uguale a:
$vecK_O= sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i$
derivando
$(d(vecK_O))/(dt)= (d (sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i))/(dt)$
$ rArr (d(vecK_O))/(dt) = -vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext)$ ${text(*)}$
Domande su Seconda Cardinale
Mettiamo caso che io abbia un sistema di punti materiali particolare, ovvero, come detto prima, un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso, in particolare ruota attorno ad uno dei suoi assi principali di inerzia.
Per quale ragione, se derivo $vecK_O = sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i$
Non ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando $vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega$
Nonostante siano entrambi uguali a $vecK_O$ ?
Se infatti derivo l'equazione corrispondente al teorema di Koenig, ho che:
$(d(vecK_O))/(dt)= (vecv_g - vecv_O) xx mvecv_g + vecr_g xx mveca_g+ (d(I_gvecomega))/(dt)$
$rArr (d(vecK_O))/(dt) = - vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext) + I_gdot(vecomega)$
Dov'è l'errore? Dovrei giungere allo stesso risultato dell'equazione ${text(*)}$
Koenig
Il primo teorema di Koenig dice che (leggo dal mio libro) il momento angolare di un corpo rigido rispetto ad un centro di riduzione $O$ è uguale a :
$vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + tilde(vecK_g)$
Domande su Koenig:
mi confermate che, per i corpi rigidi che ruotano attorno ad un asse principale d'inerzia fisso (che non si inclina), vale la seguente equazione
$tilde(vecK_g)= I_gvecomega$
?
soprattutto, mi confermate che l'equazione è vettoriale? Nella prima equazione, sia $vecK_O$ che $vecr_g xx mvecv_g $ sono vettori, e dunque $tilde(vecK_g)$ non può che essere un vettore giusto?
Dunque per i corpi rigidi che ruotano attorno ad un asse principale d'inerzia fisso posso scrivere:
$vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega$
?
Il libro non è molto chiaro al riguardo. E' anzi riuscito a confondermi.
Seconda Cardinale
Per un sistema di punti materiali (e dunque anche per un corpo rigido) io so che il momento angolare rispetto ad un polo $O$ è uguale a:
$vecK_O= sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i$
derivando
$(d(vecK_O))/(dt)= (d (sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i))/(dt)$
$ rArr (d(vecK_O))/(dt) = -vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext)$ ${text(*)}$
Domande su Seconda Cardinale
Mettiamo caso che io abbia un sistema di punti materiali particolare, ovvero, come detto prima, un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso, in particolare ruota attorno ad uno dei suoi assi principali di inerzia.
Per quale ragione, se derivo $vecK_O = sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i$
Non ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando $vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega$
Nonostante siano entrambi uguali a $vecK_O$ ?
Se infatti derivo l'equazione corrispondente al teorema di Koenig, ho che:
$(d(vecK_O))/(dt)= (vecv_g - vecv_O) xx mvecv_g + vecr_g xx mveca_g+ (d(I_gvecomega))/(dt)$
$rArr (d(vecK_O))/(dt) = - vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext) + I_gdot(vecomega)$
Dov'è l'errore? Dovrei giungere allo stesso risultato dell'equazione ${text(*)}$
Risposte
"anonymous_be0efb":
Buonasera a tutti, vi scrivo perché sono alquanto disperata per quanto riguarda la dimostrazione della seconda cardinale per un sistema di punti materiale ed il primo teorema di Koenig.
Koenig
Il primo teorema di Koenig dice che (leggo dal mio libro) il momento angolare di un corpo rigido rispetto ad un centro di riduzione $O$ è uguale a :
$vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + tilde(vecK_g)$
Ne abbiamo parlato proprio da poco con un tuo collega studente:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 3#p8444909
è giusto: il momento angolare di un corpo rigido rispetto ad un polo $O$ è somma del momento angolare, rispetto ad O, di una massa uguale a quella del sistema e concentrata in $G$, e del momento angolare del corpo rigido rispetto al suo centro di massa. Leggiti pure questo, dove ho riportato delle pagine di un libro (risposta del 28/12 alle 22:15) :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8#p8443971
Domande su Koenig:
mi confermate che, per i corpi rigidi che ruotano attorno ad un asse principale d'inerzia fisso (che non si inclina), vale la seguente equazione
$tilde(vecK_g)= I_gvecomega$ ?
soprattutto, mi confermate che l'equazione è vettoriale? Nella prima equazione, sia $vecK_O$ che $vecomega$ sono vettori, e dunque $tilde(vecK_g)$ non può che essere un vettore giusto?
Immagino che tu sappia bene che cosa è un asse principale di inerzia, per un punto qualsiasi di un corpo rigido, ma anche fuori del corpo rigido (può stare pure a 100 km...!), quindi sorvolo su questo. Ma ho qualche piccolo dubbio...Se hai un asse fisso che passa per il centro di massa G , non è detto che sia asse principale di inerzia! Cioè, mettendo in rotazione il corpo rigido attorno a un asse qualunque passante per G , non è detto che il momento angolare $vecK$ sia parallelo al vettore velocità angolare $vec\omega$ . Esempio classico : un manubrio, costituito da una asta di massa trascurabile , che porta ai suoi estremi due masse uguali ; saldato al manubrio, con angolazione diversa da $\pi/2$ , c’è un asse fisico di rotazione dello stesso, retto da due cuscinetti alle estremità . La velocitá angolare è parallela all’asse fisico, evidentemente; ma il vettore $vecK$ non lo è ! il manubrio è dinamicamente squilibrato. Per questo le ruote dell’auto si portano dal gommista: per farle equilibrare staticamente (= l’asse di rotazione deve passare per G) e dinamicamente (= l’asse di rotazione deve essere asse principale di inerzia per G ) , per non avere sollecitazioni nei cuscinetti dell’asse.
Se pero l’asse di rotazione fisso passa per G , ed è principale per G, (lo si chiama “asse centrale di inerzia”), allora risulta principale per tutti i suoi punti. È vero anche l’opposto. Il vettore $vecK$ e il vettore $vec\omega$ in questo caso sono paralleli.
Si , sono tutte grandezze vettoriali ovviamente.
Per il resto, io mi fermo qui ora, perchè vorrei che dapprima leggessi quanto sopra, incluso i link. Aggiungo solo una semplice dimostrazione del teorema del momento angolare per un punto, che può aiutarti. Poi quando hai digerito q.s. parliamo della 2º equazione cardinale.
"Shackle":
...Se hai un asse fisso che passa per il centro di massa G , non è detto che sia asse principale di inerzia!
Sìsì assolutamente d'accordo, forse mi sono espressa male prima.
"Shackle":
Si , sono tutte grandezze vettoriali ovviamente.
Grazie al cielo.
"Shackle":
Per il resto, io mi fermo qui ora, perchè vorrei che dapprima leggessi quanto sopra, incluso i link. Aggiungo solo una semplice dimostrazione del teorema del momento angolare per un punto, che può aiutarti. Poi quando hai digerito q.s. parliamo della 2º equazione cardinale.
Ho letto tutto e ti ringrazio per tutti i link! Non dovrei avere più problemi sulla definizione di momento angolare per un corpo rigido.
Sono pronta per passare alla parte sulla seconda cardinale, che mi sta altrettanto a cuore.
..........
Dunque per i corpi rigidi che ruotano attorno ad un asse (principale d’inerzia)fisso posso scrivere:
$ vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega $ ?
Il libro non è molto chiaro al riguardo. E' anzi riuscito a confondermi.
È da ieri che sto cercando di scrivere qualcosa di decente, ma mi vengono dubbi sui tuoi dubbi. Allora è meglio andare per gradi, penso. Occorre precisare prima alcuni concetti.
Un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, non necessariamente principale di inerzia (ho messo tra parentesi questo, nella citazione del tuo scritto), e non necessariamente baricentrico, non dovrebbe darti problemi. Il vettore velocità angolare $vecomega$ puoi supporlo giacente sull’asse di rotazione, che chiamiamo $z$ . Il momento angolare del corpo rigido, rispetto al riferimento che ha origine su questo asse $z$ , e gli altri due ortogonali, è un vettore $vecK$ rotante col corpo, che ha tre componenti, uno su ciascun asse; il modulo del componente sull’asse $z$ vale semplicemente :
$K_z = I_zomega$ ; per altri dettagli, vedi pagine allegate :
LE altre due componenti $L_x$ ed $L_y$ ( v. eq. 10.27) sono prodotti di inerzia o centrifughi per $omega$, non nulli se l’asse non è principale.
Si può avere un asse fisso di rotazione che sia principale di inerzia ma non baricentrico. Ad es, prendi un disco di centro O e un asse fisso $z$ perpendicolare al disco in un punto $HneO$. È principale in H ma non baricentrico. L’asse x complanare al disco e passante per H ed O è principale per tutti i suoi punti. L’asse y, normale ad x in H e complanare al disco, è ancora principale di inerzia in H. Se il disco ruota attorno ad x, oppure y, oppure z, i vettori $vecK$ e $omega$ sono paralleli , il m.i. in $K=Iomega$ è facile da trovare. I momenti centrifughi sono nulli, ma si considera, nel sistema rotante di coordinate, una forza fittizia centrifuga nei casi di asse non baricentrico.
Mi pare non ci sia altro, salvo dettagli matematici, quando l’asse è fisso.
Ma un corpo rigido può avere, anziché un asse fisso, un solo punto fisso, oppure nessuno. Il punto fisso non è necessariamente nel corpo. Nel foglio allegato, un mio vecchio appunto, trovi il calcolo per componenti di $\vecL/m$ rispetto ad O , che è nel corpo in figura, ma non è necessario:
da cui puoi risalire alle tre componenti di $vecK$ ( io l’ho chiamato $vecL$ ) sui tre assi coordinati con origine in O. Le componenti formano la matrice di inerzia relativa ad O . Questo lo sai penso.
Passiamo al baricentro .
Il vettore che hai scritto : $ vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega $
è il momento angolare rispetto a un polo fisso $O$ qualunque , somma di due termini, come sai, e trovi in uno dei link che ti ho dato, che penso tu abbia letto. Da notare che $I_g$ non è un semplice momento di inerzia rispetto a $G$, è la matrice di inerzia del corpo rigido rispetto ad una terna baricentrale , cioè con origine in $G$ e assi paralleli agli assi coordinati , che hanno origine in $O$.
Su questo, e il resto che hai scritto, tornerò poi.
@anonymous_be0efb
Ho trovato alcuni errori , per i quali le due derivate del momento angolare che scrivi non possono essere uguali. Tu dici :
L’ultima relazione scritta è giusta, quando il polo $O$ è mobile, per cui c’è il primo termine al secondo membro. Se il polo O è fisso, questo termine manca.
Poi dici (lascio stare la rotazione rispetto a un asse fisso, che qui non va invocata; te ne ho già parlato), considerando ancora il polo O :
1) Prima di tutto, la quantità : $vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega$ viene ricavata considerando il polo O fisso, non mobile. Ma questo è il meno.
2) Confrontando le due ultime espressioni scritte, cioè :
$(d(vecK_O))/(dt)= (vecv_g - vecv_O) xx mvecv_g + vecr_g xx mveca_g+ (d(I_gvecomega))/(dt)$
$(d(vecK_O))/(dt) = - vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext) + I_gdot(vecomega)$
viene fuori che hai posto l’uguaglianza : $vecr_g xx mveca_g =vecM_O^(ext) $ , e questa non è affatto vera.
Il primo membro è semplicemente il momento , rispetto al polo, della quantità vettoriale $mveca_g$ , che non è uguale al momento delle forze esterne rispetto al polo. Queta uguaglianza sussisterebbe solo se tutte le forze esterne fossero realmente applicate in G , o avessero tutte la retta di azione passante per G . Allora si potrebbe applicare il teorema di Varignon :
“ Il momento rispetto a un polo di un sistema di forze applicate nello stesso punto è uguale al momento del risultante delle forze applicato in quel punto”
Ma in generale non è cosi. Faccio un esempio banale : la solita barretta in quiete sul solito piano liscio orizzontale. Ad essa viene applicata una coppia di forze $vecF, -vecF$ , con braccio $d$ . Il risultante delle forze è nullo, quindi il CM non accelera. Ma il momento delle due forze , rispetto a qualunque polo, è diverso da zero, ha modulo $Fd$ .
3) sempre dal confronto tra le due espressioni sopraddette , risulta posta questa uguaglianza :
$ (d(I_gvecomega))/(dt) =I_gdot(vecomega)$
anche questa non è vera . Ti ho infatti detto che nella espressione ( ricavata col polo O fisso) :
$vecK_0 = vecr_g times Mvecv_g + [I_g] vec\omega$
compare, nell’ultimo termine, una matrice di inerzia $[I_g]$ , che è riferita al sistema di coordinate baricentrale, con origine in $G$ e assi orientati costantemente paralleli agli assi del riferimento fisso con origine in O . Rispetto a questi assi, che traslano con G , il corpo rigido ruota come se il punto O fosse fisso , quindi i termini di quella matrice di inerzia non sono affatto costanti. Cioè si ha che :
Tutto questo che cosa vuol dire ? Che la scelta di un riferimento mobile baricentrale, cioe con assi perennemente paralleli a quelli fissi , non è assolutamente una buona scelta ! Ecco quindi la genialata di Eulero (credo che sia stato lui, ha fatto tutto lui qui!
) nel dire : “Nel corpo rigido in moto, prendiamo un riferimento solidale al corpo in moto, con origine in G e con assi coincidenti con gli assi centrali di inerzia del corpo stesso! Cosi, le mie equazioni ( 
) vedrete che saranno più semplici “ . E bravo don Leonardo ! 
Ma a questo punto, con questa scelta del riferimento mobile, c’è qualche scotto da pagare...Se vuoi te ne parlo, perchè in fondo, capito il principio, non è tanto difficile...
Per ora guarda un po’ qui : https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p950879
Ho trovato alcuni errori , per i quali le due derivate del momento angolare che scrivi non possono essere uguali. Tu dici :
Per un sistema di punti materiali (e dunque anche per un corpo rigido) io so che il momento angolare rispetto ad un polo $O$ è uguale a:
$vecK_O= sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i$
derivando
$(d(vecK_O))/(dt)= (d (sum_(i) (P_i-O)xx m_ivecv_i))/(dt)$
$ rArr (d(vecK_O))/(dt) = -vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext)$${text(*)}$
L’ultima relazione scritta è giusta, quando il polo $O$ è mobile, per cui c’è il primo termine al secondo membro. Se il polo O è fisso, questo termine manca.
Poi dici (lascio stare la rotazione rispetto a un asse fisso, che qui non va invocata; te ne ho già parlato), considerando ancora il polo O :
Per quale ragione.....non ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando $vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega$
Nonostante siano entrambi uguali a $vecK_O$ ?
Se infatti derivo l'equazione corrispondente al teorema di Koenig, ho che:
$(d(vecK_O))/(dt)= (vecv_g - vecv_O) xx mvecv_g + vecr_g xx mveca_g+ (d(I_gvecomega))/(dt)$
$rArr (d(vecK_O))/(dt) = - vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext) + I_gdot(vecomega)$
Dov'è l'errore? Dovrei giungere allo stesso risultato dell'equazione ${text(*)}$
1) Prima di tutto, la quantità : $vecK_O= vecr_g xx mvecv_g + I_gvecomega$ viene ricavata considerando il polo O fisso, non mobile. Ma questo è il meno.
2) Confrontando le due ultime espressioni scritte, cioè :
$(d(vecK_O))/(dt)= (vecv_g - vecv_O) xx mvecv_g + vecr_g xx mveca_g+ (d(I_gvecomega))/(dt)$
$(d(vecK_O))/(dt) = - vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext) + I_gdot(vecomega)$
viene fuori che hai posto l’uguaglianza : $vecr_g xx mveca_g =vecM_O^(ext) $ , e questa non è affatto vera.
Il primo membro è semplicemente il momento , rispetto al polo, della quantità vettoriale $mveca_g$ , che non è uguale al momento delle forze esterne rispetto al polo. Queta uguaglianza sussisterebbe solo se tutte le forze esterne fossero realmente applicate in G , o avessero tutte la retta di azione passante per G . Allora si potrebbe applicare il teorema di Varignon :
“ Il momento rispetto a un polo di un sistema di forze applicate nello stesso punto è uguale al momento del risultante delle forze applicato in quel punto”
Ma in generale non è cosi. Faccio un esempio banale : la solita barretta in quiete sul solito piano liscio orizzontale. Ad essa viene applicata una coppia di forze $vecF, -vecF$ , con braccio $d$ . Il risultante delle forze è nullo, quindi il CM non accelera. Ma il momento delle due forze , rispetto a qualunque polo, è diverso da zero, ha modulo $Fd$ .
3) sempre dal confronto tra le due espressioni sopraddette , risulta posta questa uguaglianza :
$ (d(I_gvecomega))/(dt) =I_gdot(vecomega)$
anche questa non è vera . Ti ho infatti detto che nella espressione ( ricavata col polo O fisso) :
$vecK_0 = vecr_g times Mvecv_g + [I_g] vec\omega$
compare, nell’ultimo termine, una matrice di inerzia $[I_g]$ , che è riferita al sistema di coordinate baricentrale, con origine in $G$ e assi orientati costantemente paralleli agli assi del riferimento fisso con origine in O . Rispetto a questi assi, che traslano con G , il corpo rigido ruota come se il punto O fosse fisso , quindi i termini di quella matrice di inerzia non sono affatto costanti. Cioè si ha che :
$ (d(I_gvecomega))/(dt)ne I_gdot(vecomega)$
Tutto questo che cosa vuol dire ? Che la scelta di un riferimento mobile baricentrale, cioe con assi perennemente paralleli a quelli fissi , non è assolutamente una buona scelta ! Ecco quindi la genialata di Eulero (credo che sia stato lui, ha fatto tutto lui qui!
) nel dire : “Nel corpo rigido in moto, prendiamo un riferimento solidale al corpo in moto, con origine in G e con assi coincidenti con gli assi centrali di inerzia del corpo stesso! Cosi, le mie equazioni ( ) vedrete che saranno più semplici “ . E bravo don Leonardo ! Ma a questo punto, con questa scelta del riferimento mobile, c’è qualche scotto da pagare...Se vuoi te ne parlo, perchè in fondo, capito il principio, non è tanto difficile...
Per ora guarda un po’ qui : https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p950879
"Shackle":
2) Confrontando le due ultime espressioni scritte, cioè :
$(d(vecK_O))/(dt)= (vecv_g - vecv_O) xx mvecv_g + vecr_g xx mveca_g+ (d(I_gvecomega))/(dt)$
$(d(vecK_O))/(dt) = - vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext) + I_gdot(vecomega)$
viene fuori che hai posto l’uguaglianza : $vecr_g xx mveca_g =vecM_O^(ext) $ , e questa non è affatto vera.
Il primo membro è semplicemente il momento , rispetto al polo, della quantità vettoriale $mveca_g$ , che non è uguale al momento delle forze esterne rispetto al polo. Queta uguaglianza sussisterebbe solo se tutte le forze esterne fossero realmente applicate in G , o avessero tutte la retta di azione passante per G .
Quindi, in primo luogo il mio errore veniva dal fatto che:
$vecM_O^(ext) != vecr_g xx mveca_g $
ma bensì:
$vecM_O^(ext) = = sum_(i =) (P_i-O) xx m_ia_i $
Giusto?
"Shackle":
Ma in generale non è cosi. Faccio un esempio banale : la solita barretta in quiete sul solito piano liscio orizzontale. Ad essa viene applicata una coppia di forze $vecF, -vecF$ , con braccio $d$ . Il risultante delle forze è nullo, quindi il CM non accelera. Ma il momento delle due forze , rispetto a qualunque polo, è diverso da zero, ha modulo $Fd$ .
In effetti... Sì sono d'accordo.
"Shackle":
3) sempre dal confronto tra le due espressioni sopraddette , risulta posta questa uguaglianza :
$ (d(I_gvecomega))/(dt) =I_gdot(vecomega)$
anche questa non è vera . Ti ho infatti detto che nella espressione ( ricavata col polo O fisso) :
$vecK_0 = vecr_g times Mvecv_g + [I_g] vec\omega$
compare, nell’ultimo termine, una matrice di inerzia $[I_g]$ , che è riferita al sistema di coordinate baricentrale, con origine in $G$ e assi orientati costantemente paralleli agli assi del riferimento fisso con origine in O . Rispetto a questi assi, che traslano con G , il corpo rigido ruota come se il punto O fosse fisso , quindi i termini di quella matrice di inerzia non sono affatto costanti. Cioè si ha che :
$ (d(I_gvecomega))/(dt)ne I_gdot(vecomega)$
Oddio che confusione...
Ma nello studio del moto di un corpo rigido, nella seconda cardinale calcolata rispetto all'asse passante per il centro di massa scrivo sempre $(dK)/(dt)= I_Gdot(omega)=...$
E al posto di $I_G$ sostituisco sempre il momento d'inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa. Ad esempio, per lo studio del moto di un anello, avrò che
$(dK)/(dt)= I_Gdot(omega)=MR^2dot(omega)=...$
"Shackle":
Per ora guarda un po’ qui : https://www.matematicamente.it/forum/vi ... le#p950879
Leggo i link che mi hai inviato.
P.s. Avevo risposto al tuo commento precedente, ma non so come mai, il mio commento si è volatilizzato. Bah, roba da matti. Comunque in generale, ho apprezzato gli esempi del commento precedente ed esponevo dubbi simili a quelli appena esposti, specialmente l'ultimo.
Quindi, in primo luogo il mio errore veniva dal fatto che:
$vecM_O^(ext) != vecr_g xx mveca_g $
ma bensì:
$vecM_O^(ext) = = sum_(i =) (P_i-O) xx m_ia_i $
Giusto?
Non applicarti troppo su queste sommatorie, tanto poi all’atto pratico non si fanno. Dico solo : il momento delle forze esterne rispetto al polo non puoi calcolarlo applicando il risultante delle forze nel CM, perchè in generale non è vero. Se poi hai un caso in cui tutte le forze applicate passano per il CM, allora puoi fare il risultante e calcolare il momento a quella maniera.
Oddio che confusione...
Ma nello studio del moto di un corpo rigido, nella seconda cardinale calcolata rispetto all'asse passante per il centro di massa scrivo sempre $(dK)/(dt)= I_Gdot(omega)=...$
E al posto di $I_G$ sostituisco sempre il momento d'inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa. Ad esempio, per lo studio del moto di un anello, avrò che
$(dK)/(dt)= I_Gdot(omega)=MR^2dot(omega)=...$
Sí , ma stai calcolando la derivata del momento angolare nel riferimento fisso, ed esso può cambiare solo perchè cambia $omega$ , non certo il momento di inerzia assiale. Oltretutto qui l’asse di rotazione mantiene sempre la stessa direzione nello spazio fisso. Che cosa succederebbe se l’anello , supponiamo, si mettesse a ruotare intorno a un asse perpendicolare al precedente, e però tu volessi continuare a riferirti a un riferimento mobile con gli assi orientati come prima, cioè perennemente paralleli a quelli di partenza ? Una gran confusione sicuro...
Come si mettono in relazione la derivate di un vettore nel riferimento fisso e in quello mobile ? Per “mobile” intendo solo rotante e con la stessa l’origine del riferimento fisso. Prendiamo un qualunque vettore $vecK$, che scriviamo nel riferimento mobile come risultante vettoriale dei suoi componenti sugli assi mobili :
$vecK = K_1hate_1 + K_2hate_2 + K_2hate_3$
Deriviamo ora $vecK$ rispetto al riferimento fisso ( detto anche “riferimento dello spazio” , ovvero “space frame" in inglese) , tenendo presente che dobbiamo considerare ciascun termine al secondo membro come prodotto di uno scalare variabile e di un versore variabile ( quelli al 2º membro sono infatti i versori degli assi mobili ) :
$ [(dvecK)/(dt) ]_f = Sigma_i (dK_i)/(dt) hat e_i + Sigma_i K_i (dhate_i)/(dt) $ , per 1 = 1,2,3.
il primo termine al secondo membro non è altro che la derivata di $vecK$ nel riferimento mobile ( detto anche “riferimento del corpo” , ovvero “body frame" in inglese) ; infatti vengono derivate le componenti, ma non i versori. Il secondo termine si scrive applicando le formule di Poisson per le derivate dei versori degli assi mobili :
$(dhate_i)/(dt) = vecomegatimeshate_i$ , per i=1,2,3.
Quindi puoi scrivere :$K_i (dhate_i)/(dt) = K_i vecomegatimeshate_i$
e facendo la sommatoria su $i$ , hai : $vecomegatimesvecK $
In definitiva, si ha che : $ [(dvecK)/(dt) ]_f = [(dvecK)/(dt) ]_m + vecomegatimesvecK $
Hai mai visto questa roba ? Ma il bello viene dopo...con Eulero! E ti pareva
!
"Shackle":
Sí , ma stai calcolando la derivata del momento angolare nel riferimento fisso, ed esso può cambiare solo perchè cambia $omega$ , non certo il momento di inerzia assiale.
Aspetta aspetta aspetta... Purtroppo sono incredibilmente ignorante. Ho l'impressione che l'argomento che sto studiando sia incredibilmente vasto e complesso, ma che quello che sto studiando nel mio corso sia una minimissima parte (che è quella che mi interessa al momento).
Nello studio del moto di un corpo rigido che sto facendo a "Fisica 1- principi di meccanica" ho sempre e solo posto sistemi di riferimento fissi.
Trattando solo i casi ultra-semplificati (assi di rotazioni fissi, assi principali d'inerzia, ecc.) del corso universitario "principi di meccanica" continuo ad avere i seguenti dubbi:
1)Come mai, derivando $vecK_O= vecr_g xx vec mv_g + I_Gvecomega$
non giungo a $-vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext)$ ? Dovrei giungere comunque a questo risultato, nei casi ultra-semplificati!
2) Quando il momento angolare $vecK_O$ è parallelo ad $vecomega$, posso scrivere $vecK_O=I_Ovecomega$ ed $I_O$ è una matrice diagonale.
Derivando, ottengo $(dvecK_O)/(dt)=I_Odot(omega)$, formula che poi utilizzo quotidianamente nella seconda cardinale, e nella quale sostituisco $I_O$ con i vari momenti d'inerzia dei corpi rigidi rispetto ad un asse passante per $O$.
Ma quindi, nei casi ultra-semplificati, la matrice diagonale relativa alla terna ortonormale centrata in $O$ è uguale al momento d'inerzia passante per $O$ ?
"Shackle":
3) sempre dal confronto tra le due espressioni sopraddette , risulta posta questa uguaglianza :
$ (d(I_gvecomega))/(dt) =I_gdot(vecomega)$
anche questa non è vera . Ti ho infatti detto che nella espressione ( ricavata col polo O fisso) :
$vecK_0 = vecr_g times Mvecv_g + [I_g] vec\omega$
compare, nell’ultimo termine, una matrice di inerzia $[I_g]$ , che è riferita al sistema di coordinate baricentrale
Per i casi ultra-semplificati, diventa vera?
Ho l'impressione che l'argomento che sto studiando sia incredibilmente vasto e complesso
Hai l’impressione giusta.
1)Come mai, derivando $vecK_O= vecr_g xx vec mv_g + I_Gvecomega$
non giungo a $-vecv_O xx mvecv_g + vecM_O^(ext)$ ? Dovrei giungere comunque a questo risultato, nei casi ultra-semplificati!
Lascia perdere questa derivata, non è la strada giusta da seguire, te l’ho già detto. Che cosa sono questi casi ultra-semplificati che dici? In genere, quando le cose sono semplici basta ricordarsi e applicare due cose :
1) il momento delle forze esterne, rispetto a un polo fisso o coincidente col CM , o con velocità parallela a quella del CM, è uguale alla derivata temporale del momento angolare rispetto allo stesso polo; in formule :
$vecM_e = (dvecK)/(dt) $
2) il momento angolare di un sistema rispetto a un polo fisso è uguale alla somma del momento angolare del sistema rispetto al proprio CM e del momento, rispetto al polo, di una massa concentrata in CM e dotata della velocita del CM; In formule :
$vecK_O = vecr_c times Mvecv_c + vecK_(CM) $
2) Quando il momento angolare $vecK_O$ è parallelo ad $vecomega$, posso scrivere $vecK_O=I_Ovecomega$ ed $I_O$ è una matrice diagonale.
Derivando, ottengo $(dvecK_O)/(dt)=I_Odot(omega)$, formula che poi utilizzo quotidianamente nella seconda cardinale, e nella quale sostituisco $I_O$ con i vari momenti d'inerzia dei corpi rigidi rispetto ad un asse passante per $O$.
Ma quindi, nei casi ultra-semplificati, la matrice diagonale relativa alla terna ortonormale centrata in $O$ è uguale al momento d'inerzia passante per $O$ ?
I casi ultra-semplificati che dici, sarebbero quando c’è un asse di rotazione fisso? Quando l’asse di rotazione è centrale di inerzia , o principale di inerzia? Ho dedicato una risposta completa a questo. Fai delle domande, che richiederebbero risposte lunghe e dettagliate, e non è possibile fare lezioni in un forum . Cerca nel tuo libro, cerca sul web, ci sono dispense di meccanica classica con libero accesso e download. Per esempio, le lezioni di Fitzpatrick su “newtonian mechanics”, ma ce ne sono a decine. Es :
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/7010/
ma non è tanto facile , puoi utilizzare la prima parte se ti basta una introduzione. Lascia stare i tensori, pensa al tensore di inerzia come ad una matrice, è descritta.
In genere il moto di un corpo rigido è una faccenda un po' difficile da trattare, ma in casi semplici bastano la prima e la seconda cardinale . Nei casi più complessi , si deve ricorrere ad equazioni più complesse , ad esempio quelle di Eulero. Ti ho solo accennato alla strada da seguire.
"Shackle":
...
In genere, quando le cose sono semplici basta ricordarsi e applicare due cose :
1) il momento delle forze esterne, rispetto a un polo fisso o coincidente col CM , o con velocità parallela a quella del CM, è uguale alla derivata temporale del momento angolare rispetto allo stesso polo; in formule :
$vecM_e = (dvecK)/(dt) $
2) il momento angolare di un sistema rispetto a un polo fisso è uguale alla somma del momento angolare del sistema rispetto al proprio CM e del momento, rispetto al polo, di una massa concentrata in CM e dotata della velocita del CM; In formule :
$vecK_O = vecr_c times Mvecv_c + vecK_(CM) $
Grazie per aver fatto chiarezza ed avermi riportato in carreggiata.
Ti chiedo un ultilmo favorone.
Abbiamo detto che : $(dK_O)/(dt) = M_O^(ext)$
Nel caso in cui $O$ sia fisso, potresti dirmi dove andare a trovare la dimostrazione che
$vecM_O^(ext) = I_Odot(omega) $
?
Non la trovo.
LA dimostrazione non è difficile, dovrebbe essere in ogni buon libro di fisica. Ad ogni modo, ne faccio un cenno semplificato al massimo, visto che parliamo di situazioni semplici.
Considera un solo punto materiale Q di massa $m$ , che descrive una circonferenza di raggio $r$ nel piano $(x,y)$, con velocità angolare $vecomega$ , e quindi velocità tangenziale $vecv= vecomegatimesvecr$. Si ha :
$ vecK = vecr\times\vecp = vecr\timesm\vecv$
$(dvecK)/(dt) = 0 + vecr\times(dvecp)/(dt) $
Se su $m$ agisce una forza esterna, anch’essa tangente alla circonferenza, (ma vale anche se $vecF$ è diretta diversamente) , il suo momento rispetto ad O vale :
$vec\tau = vecr\timesvecF = vecr\times(dvecp)/(dt) =(dvecK)/(dt)$
quindi ciò dimostra che un momento di forza esterna, rispetto ad O, causa variazione nel tempo del momento angolare rispetto allo stesso polo. D’altro canto si ha anche :
$vecK = mvecr\timesvecv = m vecr\times(vecomegatimesvecr) $
calcolo il triplo prodotto vettoriale $vecr\times(vecomegatimesvecr) $ con la regola “bac-cab” (*) , e ottengo :
$vecr\times(vecomegatimesvecr) = vecomegar^2 - vecr(vecr*vecomega) = vecomegar^2 $
spero sia chiaro l’ultimo passaggio : $vecr*vecomega = 0 $ perchè sono ortogonali:
Perciò si ha :
$vecK = mr^2vecomega$
e per finire, derivando rispetto al tempo : $ (dvecK)/(dt) = mr^2 (dvecomega)/(dt) = I dotvecomega$
in cui $I = mr^2 $ è il momento di inerzia di $m$ rispetto all’asse $z$ . Mettendo insieme i pezzi :
$vec\tau =(dvecK)/(dt) = I dotvecomega$
Tutto ciò si estende facilmente a un corpo rigido, basta fare delle sommatorie , ovvero degli integrali.
Ti do il link ad un capitolo del corso di meccanica classica di R. Fitzpatrick , che penso sia al tuo livello di studi :
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/301.html
guarda il capitolo “rotational motion” , c’è scritto tutto, in maniera semplice ma rigorosa.
(*) la conosci? Sussiste la seguente uguaglianza vettoriale : $ vecatimes(vecbtimesvecc) = vecb(veca*vecc)-vecc(veca*vecb) $ .
Considera un solo punto materiale Q di massa $m$ , che descrive una circonferenza di raggio $r$ nel piano $(x,y)$, con velocità angolare $vecomega$ , e quindi velocità tangenziale $vecv= vecomegatimesvecr$. Si ha :
$ vecK = vecr\times\vecp = vecr\timesm\vecv$
$(dvecK)/(dt) = 0 + vecr\times(dvecp)/(dt) $
Se su $m$ agisce una forza esterna, anch’essa tangente alla circonferenza, (ma vale anche se $vecF$ è diretta diversamente) , il suo momento rispetto ad O vale :
$vec\tau = vecr\timesvecF = vecr\times(dvecp)/(dt) =(dvecK)/(dt)$
quindi ciò dimostra che un momento di forza esterna, rispetto ad O, causa variazione nel tempo del momento angolare rispetto allo stesso polo. D’altro canto si ha anche :
$vecK = mvecr\timesvecv = m vecr\times(vecomegatimesvecr) $
calcolo il triplo prodotto vettoriale $vecr\times(vecomegatimesvecr) $ con la regola “bac-cab” (*) , e ottengo :
$vecr\times(vecomegatimesvecr) = vecomegar^2 - vecr(vecr*vecomega) = vecomegar^2 $
spero sia chiaro l’ultimo passaggio : $vecr*vecomega = 0 $ perchè sono ortogonali:
Perciò si ha :
$vecK = mr^2vecomega$
e per finire, derivando rispetto al tempo : $ (dvecK)/(dt) = mr^2 (dvecomega)/(dt) = I dotvecomega$
in cui $I = mr^2 $ è il momento di inerzia di $m$ rispetto all’asse $z$ . Mettendo insieme i pezzi :
$vec\tau =(dvecK)/(dt) = I dotvecomega$
Tutto ciò si estende facilmente a un corpo rigido, basta fare delle sommatorie , ovvero degli integrali.
Ti do il link ad un capitolo del corso di meccanica classica di R. Fitzpatrick , che penso sia al tuo livello di studi :
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/301.html
guarda il capitolo “rotational motion” , c’è scritto tutto, in maniera semplice ma rigorosa.
(*) la conosci? Sussiste la seguente uguaglianza vettoriale : $ vecatimes(vecbtimesvecc) = vecb(veca*vecc)-vecc(veca*vecb) $ .
"Shackle":
..
Considera un solo punto materiale Q di massa $m$ , che descrive una circonferenza di raggio $r$ nel piano $(x,y)$, con velocità angolare $vecomega$ , e quindi velocità tangenziale $vecv= vecomegatimesvecr$. Si ha :
$ vecK = vecr\times\vecp = vecr\timesm\vecv$
$(dvecK)/(dt) = 0 + vecr\times(dvecp)/(dt) $
Se su $m$ agisce una forza esterna, anch’essa tangente alla circonferenza, (ma vale anche se $vecF$ è diretta diversamente) , il suo momento rispetto ad O vale :
$vec\tau = vecr\timesvecF = vecr\times(dvecp)/(dt) =(dvecK)/(dt)$
quindi ciò dimostra che un momento di forza esterna, rispetto ad O, causa variazione nel tempo del momento angolare rispetto allo stesso polo. D’altro canto si ha anche :
$vecK = mvecr\timesvecv = m vecr\times(vecomegatimesvecr) $
calcolo il triplo prodotto vettoriale $vecr\times(vecomegatimesvecr) $ con la regola “bac-cab” (*) , e ottengo :
$vecr\times(vecomegatimesvecr) = vecomega(r^2 - vecr(vecr*vecomega)) = vecomegar^2 $
spero sia chiaro l’ultimo passaggio : $vecr*vecomega = 0 $ perchè sono ortogonali:
Perciò si ha :
$vecK = mr^2vecomega$
e per finire, derivando rispetto al tempo : $ (dvecK)/(dt) = mr^2 (dvecomega)/(dt) = I dotvecomega$
...
Grazie di cuore Shackle!
Ho corretto un errore: nel calcolo del doppio prodotto vettoriale con la regola “bac - cab” avevo messo due parentesi tonde di troppo , comunque il risultato è giusto: $vecomegar^2$.
"Shackle":
Ho corretto un errore: nel calcolo del doppio prodotto vettoriale con la regola “bac - cab” avevo messo due parentesi tonde di troppo , comunque il risultato è giusto: $vecomegar^2$.
Non ci avevo neanche fatto caso
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