Se un satellite cade...

[bug54]

Supponiamo che un satellite geostazionario si fermi e quindi inizi a cadere, esso è a distanza di 42 000 Km dal centro della terra, consideriamo solo i primi 1000 km.
Dapprima ipotizziamo che l'accelerazione sia costante e poi invece variabile come in effetti è.
Calcolare il tempo di caduta in entrambi i casi.

Nel primo caso è t = (2D/a)^(1/2)
con D distanza della caduta pari a 1000 km ed a l'accelerazione che si calcola da:
ma = GmM/R^2 a = GM/R^2 = 0.22756 m/s^2
e viene t = 2965 s

Nel secondo caso ho difficoltà in quanto a varia con il tempo a(t) = GM/(R(t))^2
come fare a calcolare ora il tempo di caduta?

[porzio1]

bisogna risolvere il seguente problema
$ ddot(r)=-(GM)/r^2$
$r(0)=h_0$
$ dot(r)(0)=0 $

l'equazione differenziale è del secondo ordine , non lineare ed autonoma
su internet puoi trovare la tecnica di risoluzione

[bug54]

Grazie della risposta,
scusa, ti chiedo cortesemente se non c'è un modo più elementare?
senza coinvolgere le eq. differenziali?

[porzio1]

penso di no

[bug54]

Beh! in effetti la via più semplice c'è : basta applicare la conservazione dell'energia!
Infatti
$ -GM/(R(0)) = - GM/R + (1/2) m v^2$
basta ricavare v
e poi essendo $ v=(dr)/dt$ si ricava r in funzione di t!

dove R(0) è la distanza di partenza del satellite (42000 km)
R e v sono intesi alla posizione di 41 000 km ossia dopo aver percorso 1000 km come richiesto dal problema.

[porzio1]

no,non è una via più semplice, è una via con uguale difficoltà di calcolo
prova e vedrai che ad un certo punto le due strade si uniscono