Scivolamento rampa senza attrito
Ciao, amici! Un blocco di massa $m$ scivola senza attrito partendo dall'altezza $h$ giù per una rampa di massa $M$ inclinata di un angolo \(\varphi\) e libera di scorrere senza attrito sul pavimento. Vorrei dimostrare che, come dice il mio libro, la velocità della rampa quando il blocco la lascia è\[V=\sqrt{\frac{2m^2gh\cos^2\varphi}{(m+M)(M+m\sin^2\varphi)}}.\]
Tuttavia non mi tornano i conti. Per la conservazione della quantità di moto in direzione parallela al pavimento, direzione in cui non si hanno componenti non nulle delle forze esterne, direi che, chiamata $v$ la velocità del blocco quando lascia la rampa, si abbia \(mv\cos\varphi=M V\) e, supponendo che l'energia meccanica si conservi, avrei detto che \[mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2} MV^2=\frac{1}{2}\Bigg(\frac{M^2V^2}{m\cos^2\varphi} +MV^2\Bigg)\]da cui $V=\sqrt{\frac{2m^2gh\cos^2\varphi}{(m+M)(M^2+Mm\cos^2\varphi)}}$.
Dove sbaglio?
$\infty$ grazie per ogni aiuto!!!
Tuttavia non mi tornano i conti. Per la conservazione della quantità di moto in direzione parallela al pavimento, direzione in cui non si hanno componenti non nulle delle forze esterne, direi che, chiamata $v$ la velocità del blocco quando lascia la rampa, si abbia \(mv\cos\varphi=M V\) e, supponendo che l'energia meccanica si conservi, avrei detto che \[mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2} MV^2=\frac{1}{2}\Bigg(\frac{M^2V^2}{m\cos^2\varphi} +MV^2\Bigg)\]da cui $V=\sqrt{\frac{2m^2gh\cos^2\varphi}{(m+M)(M^2+Mm\cos^2\varphi)}}$.
Dove sbaglio?
$\infty$ grazie per ogni aiuto!!!
Risposte
Supponiamo che il blocco di massa $m$ scivoli da sinistra in alto verso destra in basso, e sia $t=0$ l'istante iniziale.
Il cuneo di massa $M$ scivola allora da destra verso sinistra in orizzontale : se $m$ accelera in discesa verso destra, il cuneo $M$ accelera verso sinistra.
Si vuole trovare la velocità del cuneo $V$ quando $m$ giunge sul piano.
Prendiamo un riferimento $Oxy$ solidale al piano orizzontale su cui scorre il cuneo . Se $vecv$ è la velocità di $m$ relativa al cuneo nell'istante finale, e $vecV$ quella della rampa rispetto al piano, la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale si scrive:
$ 0 = -MV + m(vcos\theta - V)$
ovvero : $MV = m(vcos\theta - V) $
perche il cuneo si sposta verso sinistra e quindi dobbiamo sottrarre $V$ a $vcos\theta$, prima di moltiplicare per $m$, per avere la velocità assoluta di $m$ . La conservazione dell'energia si scrive invece:
$ mgh = 1/2MV^2 + 1/2m[(vcos\theta - V)^2 + (vsen\theta)^2]$
infatti il blocco $m$ ha due componenti di velocità nel riferimento detto.
Perciò si trova che : $ V^2 = (2m^2ghcos^2\theta)/((M + m) (M + msen^2\theta)) $
che mi pare sia la soluzione del libro.
Il cuneo di massa $M$ scivola allora da destra verso sinistra in orizzontale : se $m$ accelera in discesa verso destra, il cuneo $M$ accelera verso sinistra.
Si vuole trovare la velocità del cuneo $V$ quando $m$ giunge sul piano.
Prendiamo un riferimento $Oxy$ solidale al piano orizzontale su cui scorre il cuneo . Se $vecv$ è la velocità di $m$ relativa al cuneo nell'istante finale, e $vecV$ quella della rampa rispetto al piano, la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale si scrive:
$ 0 = -MV + m(vcos\theta - V)$
ovvero : $MV = m(vcos\theta - V) $
perche il cuneo si sposta verso sinistra e quindi dobbiamo sottrarre $V$ a $vcos\theta$, prima di moltiplicare per $m$, per avere la velocità assoluta di $m$ . La conservazione dell'energia si scrive invece:
$ mgh = 1/2MV^2 + 1/2m[(vcos\theta - V)^2 + (vsen\theta)^2]$
infatti il blocco $m$ ha due componenti di velocità nel riferimento detto.
Perciò si trova che : $ V^2 = (2m^2ghcos^2\theta)/((M + m) (M + msen^2\theta)) $
che mi pare sia la soluzione del libro.
Grazie di cuore, navigatore! Non avevo tenuto conto né del fatto che \(v\cos\varphi\) è la velocità relativa alla rampa, né della conservazione della componente verticale della velocità del blocco. Un bel macello... 
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