Scivolamento di corpi su oggetti rotanti
Non riesco a visualizzare le situazioni di questo tipo di problemi.
Primo problema: Una formica di massa 1 mg si muove con velocità costante $v_{r} = 5 \frac{cm}{s}$ lungo una sbarra che ruota con velocità angolare costante $ω = 10 s^-1$ attorno a un’estremità O incernierata al suolo. Se si potesse trascurare la resistenza dell’aria, che forza dovrebbe esercitare la formica sulla sbarra alla distanza di 10 cm da O per non scivolare e non cadere?
Secondo problema: Un disco omogeneo di raggio R e massa M saldato a un albero di raggio r e momento di inerzia trascurabile è libero di ruotare senza attrito intorno a un asse verticale. Sul bordo della ruota è appoggiata una monetina di massa $m_{0}$ con coefficiente di attrito statico µ. Una massa m è sospesa come in figura mediante un filo inestensibile che si avvolge sull’albero senza slittare. La massa m, in quiete al tempo t = 0, viene lasciata cadere. Calcolare l’istante al quale la monetina inizia a scivolare.
Che forze agiscono sulla formica e sulla monetina? In che direzione agisce l'attrito? La forza centrifuga ha un ruolo? Ad esempio, la formica cadrebbe lungo una direzione tangente alla traiettoria o radiale? Illuminatemi, vi prego
Primo problema: Una formica di massa 1 mg si muove con velocità costante $v_{r} = 5 \frac{cm}{s}$ lungo una sbarra che ruota con velocità angolare costante $ω = 10 s^-1$ attorno a un’estremità O incernierata al suolo. Se si potesse trascurare la resistenza dell’aria, che forza dovrebbe esercitare la formica sulla sbarra alla distanza di 10 cm da O per non scivolare e non cadere?
Secondo problema: Un disco omogeneo di raggio R e massa M saldato a un albero di raggio r e momento di inerzia trascurabile è libero di ruotare senza attrito intorno a un asse verticale. Sul bordo della ruota è appoggiata una monetina di massa $m_{0}$ con coefficiente di attrito statico µ. Una massa m è sospesa come in figura mediante un filo inestensibile che si avvolge sull’albero senza slittare. La massa m, in quiete al tempo t = 0, viene lasciata cadere. Calcolare l’istante al quale la monetina inizia a scivolare.
Che forze agiscono sulla formica e sulla monetina? In che direzione agisce l'attrito? La forza centrifuga ha un ruolo? Ad esempio, la formica cadrebbe lungo una direzione tangente alla traiettoria o radiale? Illuminatemi, vi prego
Risposte
Nel primo caso, la formica e' "spinta" da una forza centrifuga lungo la sbarra e da una forza laterale (coriolis) che tende a farla cadere di lato.
Nel secondo caso, la forza e' solo centrifuga.
Luce a sufficienza?
Nel secondo caso, la forza e' solo centrifuga.
Luce a sufficienza?
Attenzione, nel caso della monetina il disco è accelerato angolarmente , c'è anche un'altra accelerazione di trascinamento.
Vero, chiedo venia.
Qualcosa non mi torna.. Nel primo problema, abbiamo detto che sulla formica viene esercitata una forza centrifuga diretta radialmente verso l'esterno e una forza di Coriolis perpendicolare alla velocità della formica. Per non cadere, la forza di attrito deve contrastare la forza di Coriolis? Ho provato a scrivere:
$F_{a} =-F_{Co} =-2mv\omega =-0.1$, che però non è neanche lontanamente vicino alla soluzione ($F = 10\mu N$).
$F_{a} =-F_{Co} =-2mv\omega =-0.1$, che però non è neanche lontanamente vicino alla soluzione ($F = 10\mu N$).
"okh":
Qualcosa non mi torna.. Nel primo problema, abbiamo detto che sulla formica viene esercitata una forza centrifuga diretta radialmente verso l'esterno e una forza di Coriolis perpendicolare alla velocità della formica. Per non cadere, la forza di attrito deve contrastare la forza di Coriolis? Ho provato a scrivere:
$F_{a} =-F_{Co} =-2mv\omega =-0.1$, che però non è neanche lontanamente vicino alla soluzione ($F = 10\mu N$).
Qui nin si parla di attrito, si parla di formica che esercita una forza (aggrappandosi), pari e contraria alla somma della forza di coriolis e di quella centrifuga. Calcola le due forze, sommale e ottieni la risposta.
Va bene, grazie, funziona tutto ora.
Nel secondo problema, ho immaginato che la monetina fosse soggetta a una forza centrifuga radiale verso l'esterno, una forza di Coriolis tangente alla velocità tangenziale, quindi anch'essa radiale e verso l'esterno, e la forza d'attrito, radiale ma diretta verso l'interno. Per arrivare alla soluzione ho quindi scritto: $F_{a} = F_{Co} + F_{cf}$. In realtà, per arrivare alla corretta soluzione, avrei dovuto scrivere $F_{a} = F_{Co} - F_{cf}$, ovvero avrei dovuto considerare l'opposto della forza centrifuga, cioè quella centripeta
Perché nel primo problema si considerava quella centrifuga allora?
Nel secondo problema, ho immaginato che la monetina fosse soggetta a una forza centrifuga radiale verso l'esterno, una forza di Coriolis tangente alla velocità tangenziale, quindi anch'essa radiale e verso l'esterno, e la forza d'attrito, radiale ma diretta verso l'interno. Per arrivare alla soluzione ho quindi scritto: $F_{a} = F_{Co} + F_{cf}$. In realtà, per arrivare alla corretta soluzione, avrei dovuto scrivere $F_{a} = F_{Co} - F_{cf}$, ovvero avrei dovuto considerare l'opposto della forza centrifuga, cioè quella centripeta
Perché nel primo problema si considerava quella centrifuga allora?
cetrifuga radiale ok.
ma qui non c'e' coriolis, perche coriolis entra in gioco se la monetina si muove relativamente al disco. Ma qui e' ferma, al contrario dell'insetto.
Esiste, pero', come ha fatto notare Navi, il fatto che il disco accelera angolarmente (e' appeso a una massa, cosa che mi era sfuggita a una lettura veloce del testo). Qundi esiste una forza d'inerzia tangenziale, "opposta" al verso di rotazione del disco, per dirla in parole molto povere senza usare i prodotti vettoriali.
ma qui non c'e' coriolis, perche coriolis entra in gioco se la monetina si muove relativamente al disco. Ma qui e' ferma, al contrario dell'insetto.
Esiste, pero', come ha fatto notare Navi, il fatto che il disco accelera angolarmente (e' appeso a una massa, cosa che mi era sfuggita a una lettura veloce del testo). Qundi esiste una forza d'inerzia tangenziale, "opposta" al verso di rotazione del disco, per dirla in parole molto povere senza usare i prodotti vettoriali.
Ti ringrazio per il chiarimento sulla forza di Coriolis. Quindi, se ho capito bene, la situazione dovrebbe essere questa:
dove F_t è la forza dovuta all'accelerazione di trascinamento e F_cf la forza centrifuga. Secondo il libro l'accelerazione di trascinamento è $a_{\tau} = A + \alpha \times (r - R) + \omega \times [\omega \times (r - R)]$, dove $A = ( \frac{d^2\mathbf{R}}{dt^2} )_{S} $, dove S è il sistema di riferimento inerziale. In questo caso quindi l'accelerazione di trascinamento dovrebbe essere dovuta solamente al termine A, che è $\omega^2R$. Sommando le due forze di trascinamento e centrifuga dovrei trovare la forza di attrito.
Stranamente risolvendo il problema con $F_{a} = F_{cf}$ arrivo alla giusta soluzione( $(1+\frac{I}{mr^2})\sqrt{\frac{\mu}{gR}}r$), risolvendolo in quel modo no (ho una radice di due in più per via della somma dei due vettori forza di modulo uguale, la forza centrifuga e quella di trascinamento).
dove F_t è la forza dovuta all'accelerazione di trascinamento e F_cf la forza centrifuga. Secondo il libro l'accelerazione di trascinamento è $a_{\tau} = A + \alpha \times (r - R) + \omega \times [\omega \times (r - R)]$, dove $A = ( \frac{d^2\mathbf{R}}{dt^2} )_{S} $, dove S è il sistema di riferimento inerziale. In questo caso quindi l'accelerazione di trascinamento dovrebbe essere dovuta solamente al termine A, che è $\omega^2R$. Sommando le due forze di trascinamento e centrifuga dovrei trovare la forza di attrito.
Stranamente risolvendo il problema con $F_{a} = F_{cf}$ arrivo alla giusta soluzione( $(1+\frac{I}{mr^2})\sqrt{\frac{\mu}{gR}}r$), risolvendolo in quel modo no (ho una radice di due in più per via della somma dei due vettori forza di modulo uguale, la forza centrifuga e quella di trascinamento).
Stranamente, eh?
Ragazzi, le formule non vanno usate bovinamente, solo perche "lo scrive il libro": vanno capite. Quella sfilza di simboli che hai scritto per $a_t$ - te la puoi permettere se ne capisci ogni singola lettera.
$\omega^2R$ e' l'accelerazione centrifuga. La forza tangenziale e' $\ddot\thetaR$. Il $\ddot\theta$ lo devi calcolare, perche e' causato dalla massa appesa.
Ragazzi, le formule non vanno usate bovinamente, solo perche "lo scrive il libro": vanno capite. Quella sfilza di simboli che hai scritto per $a_t$ - te la puoi permettere se ne capisci ogni singola lettera.
$\omega^2R$ e' l'accelerazione centrifuga. La forza tangenziale e' $\ddot\thetaR$. Il $\ddot\theta$ lo devi calcolare, perche e' causato dalla massa appesa.
Voglio provare a risolvere il secondo esercizio e calcolare l'istante in cui la moneta inizia a scivolare sul disco.
Grafico delle forze:
Da notare che la forza $ F_s $ (forza di attrito statico) non la conosco a priori, quindi ho disegnato un generico vettore che ha componenti sia lungo la direzione radiale sia lungo quella angolare:
$ vec(F)_s = F_rvec(u)_r + F_{phi}vec(u)_{phi} $
Allora la seconda legge di Newton in componenti sarà:
- lungo $ u_z $ : $ N = m_0g $
- lungo $ u_r $ : $ -m_0omega^2R = F_r $
- lungo $ u_{phi} $ : $ m_0Rdot(omega) = F_{phi} $ (nota che c'è un puntino su omega, si vede poco)
Allora per trovare l'istante in cui la massa inizia a scivolare devo imporre la seguente condizione:
$ |F_s| le mu|N| => sqrt(F_r^2 + F_{phi}^2) le mum_0g $
Quindi dobbiamo calcolare $ omega(t) $ per risolvere il problema.
Le equazioni cardinali sono:
$ mddot(z) = mg - T $
$ Ialpha = rT => Idot(omega) = rT $
Dove $ I $ è il momento di inerzia del cilindro + quello del disco + quello della moneta (quello del cilindro ci viene detto che è trascurabile). Quindi:
$ I = 1/2MR^2 + m_0R^2 $
Da queste equazioni ricavo che (grazie al fatto che: $ ddot(z) = rdot(omega) $ )
$ dot(omega) = g/(r + I/(mr)) $
$ omega = g/(r + I/(mr))t $
Quindi:
$ F_{phi} = m_0Rdot(omega) = m_0Rg/(r + I/(mr)) $
$ F_r = -m_0omega^2R = -m_0Rg/(r + I/(mr))t $
$ sqrt(F_r^2 + F_{phi}^2) le mum_0g => t^2 le [mu(r + I/(mr))R]^2 - 1$
Quindi la moneta inizierà a scivolare nell'istante: $ t = sqrt([mu(r + I/(mr))R]^2 - 1) $
Secondo voi è giusto ??
Grafico delle forze:
Da notare che la forza $ F_s $ (forza di attrito statico) non la conosco a priori, quindi ho disegnato un generico vettore che ha componenti sia lungo la direzione radiale sia lungo quella angolare:
$ vec(F)_s = F_rvec(u)_r + F_{phi}vec(u)_{phi} $
Allora la seconda legge di Newton in componenti sarà:
- lungo $ u_z $ : $ N = m_0g $
- lungo $ u_r $ : $ -m_0omega^2R = F_r $
- lungo $ u_{phi} $ : $ m_0Rdot(omega) = F_{phi} $ (nota che c'è un puntino su omega, si vede poco)
Allora per trovare l'istante in cui la massa inizia a scivolare devo imporre la seguente condizione:
$ |F_s| le mu|N| => sqrt(F_r^2 + F_{phi}^2) le mum_0g $
Quindi dobbiamo calcolare $ omega(t) $ per risolvere il problema.
Le equazioni cardinali sono:
$ mddot(z) = mg - T $
$ Ialpha = rT => Idot(omega) = rT $
Dove $ I $ è il momento di inerzia del cilindro + quello del disco + quello della moneta (quello del cilindro ci viene detto che è trascurabile). Quindi:
$ I = 1/2MR^2 + m_0R^2 $
Da queste equazioni ricavo che (grazie al fatto che: $ ddot(z) = rdot(omega) $ )
$ dot(omega) = g/(r + I/(mr)) $
$ omega = g/(r + I/(mr))t $
Quindi:
$ F_{phi} = m_0Rdot(omega) = m_0Rg/(r + I/(mr)) $
$ F_r = -m_0omega^2R = -m_0Rg/(r + I/(mr))t $
$ sqrt(F_r^2 + F_{phi}^2) le mum_0g => t^2 le [mu(r + I/(mr))R]^2 - 1$
Quindi la moneta inizierà a scivolare nell'istante: $ t = sqrt([mu(r + I/(mr))R]^2 - 1) $
Secondo voi è giusto ??
Il procedimento e' giusto. C'e' un errore di calcolo da qualche parte.
La g non puo' sparire, e' l'unico elemento che contiene il tempo, mentre la risposta a cui arrivi sembra non contenere tempo, ma solo lunghezze.
Poi per $F_r$ noto che hai scritto giustamente $omega^2$ ma nel passaggio successivo hai dimenticato di quadrare, probabilmente ti sis semplifica il g da li e ti porta all'errore finale.
Ma come modus operandi e' quello
La g non puo' sparire, e' l'unico elemento che contiene il tempo, mentre la risposta a cui arrivi sembra non contenere tempo, ma solo lunghezze.
Poi per $F_r$ noto che hai scritto giustamente $omega^2$ ma nel passaggio successivo hai dimenticato di quadrare, probabilmente ti sis semplifica il g da li e ti porta all'errore finale.
Ma come modus operandi e' quello
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