Scherza mr Jackson? campo dipolo: "termine delta correttivo"
Ciao a tutti,
ho un problema che mi tormenta da tutto il giorno...
prendiamo un dipolo elettrico (conti analoghi si possono fare per il magnetico), si trovano potenziale e campo
[tex]V=\frac{\overrightarrow p \cdot \overrightarrow r}{r^3}[/tex]
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3}[/tex]
Jackson dice che questo campo non torna... infatti se si pensa di avere un dipolo "puntiforme" e si va ad integrare su una palletta vicino ma non troppo vicino di modo da poter utilizzare l'approssimazione di dipolo elettrico si ottiene
[tex]\int_P \overrightarrow E \,d^3x= - \int_P \nabla V \; d^3x = - \int_S \frac{\overrightarrow p \cdot \overrightarrow r}{r^3} \, \overrightarrow dS= - 4 \pi \frac {\overrightarrow p}{3}[/tex]
A questo punto sorgono i problemi. Jackson (3rd ed. in inglese cap.4 pag.150 in cima subito dopo l'equazione 4.20) dice che bisogna aggiungere un termine delta per far tornare il conto e scrive il nuovo E
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3} - \frac{4 \pi}{3} \overrightarrow p \delta(\overrightarrow r)[/tex]
inoltre anticipa obiezioni dicendo che l'integrale del primo addendo è indeterminato e si considera nullo... ma sta scherzando? Cioè sotto il segno di integrale devo considerare solo il secondo addendo se è compreso lo 0 e solo il primo se non è compreso? Proprio non ha senso per me... non riesco a capire...
ho un problema che mi tormenta da tutto il giorno...
prendiamo un dipolo elettrico (conti analoghi si possono fare per il magnetico), si trovano potenziale e campo
[tex]V=\frac{\overrightarrow p \cdot \overrightarrow r}{r^3}[/tex]
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3}[/tex]
Jackson dice che questo campo non torna... infatti se si pensa di avere un dipolo "puntiforme" e si va ad integrare su una palletta vicino ma non troppo vicino di modo da poter utilizzare l'approssimazione di dipolo elettrico si ottiene
[tex]\int_P \overrightarrow E \,d^3x= - \int_P \nabla V \; d^3x = - \int_S \frac{\overrightarrow p \cdot \overrightarrow r}{r^3} \, \overrightarrow dS= - 4 \pi \frac {\overrightarrow p}{3}[/tex]
A questo punto sorgono i problemi. Jackson (3rd ed. in inglese cap.4 pag.150 in cima subito dopo l'equazione 4.20) dice che bisogna aggiungere un termine delta per far tornare il conto e scrive il nuovo E
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3} - \frac{4 \pi}{3} \overrightarrow p \delta(\overrightarrow r)[/tex]
inoltre anticipa obiezioni dicendo che l'integrale del primo addendo è indeterminato e si considera nullo... ma sta scherzando? Cioè sotto il segno di integrale devo considerare solo il secondo addendo se è compreso lo 0 e solo il primo se non è compreso? Proprio non ha senso per me... non riesco a capire...
Risposte
up...
L'argomento è tutt'altro che banale. Prima di parlarne in modo più approfondito, vorrei chiarire una cosa.
Ovviamente, questa osservazione è presente anche nella traduzione italiana.
Non mi pare che si dica anche questo. Sei sicuro di aver seguito attentamente il procedimento che porta al risultato in questione? Posso chiederti come mai studi sul Jackson?
"Fox":
Jackson dice che questo campo non torna ...
Ovviamente, questa osservazione è presente anche nella traduzione italiana.
"Fox":
... infatti se si pensa di avere un dipolo "puntiforme" e si va ad integrare su una palletta vicino ma non troppo vicino di modo da poter utilizzare l'approssimazione di dipolo elettrico ...
Non mi pare che si dica anche questo. Sei sicuro di aver seguito attentamente il procedimento che porta al risultato in questione? Posso chiederti come mai studi sul Jackson?
Mah a questo punto non sono sicuro più di nulla.... sono solo confuso. Mi pare che il problema derivi dal fatto che il dipolo pur non essendo puntiforme io lo voglio considerare come tale, o no?
Studio sul Jackson (in realtà lo tengo come riferimento) perché mi sembra approfondito, ma questo punto proprio non ha senso per me...
Studio sul Jackson (in realtà lo tengo come riferimento) perché mi sembra approfondito, ma questo punto proprio non ha senso per me...
Le soluzioni regolari dell'equazione di Poisson, quando si integra su una sfera contenente la densità volumetrica di carica, soddisfano la seguente proprietà:
[tex]\int_V \overrightarrow E \,d^3x = - \frac {4 \pi}{3} \overrightarrow p[/tex]
Nel caso in cui la densità di carica abbia il momento di ordine zero non nullo e si voglia approssimare il campo esterno con il campo generato dal solo momento puntiforme di ordine zero, si ricorre alla seguente soluzione singolare dell'equazione di Poisson:
[tex]\overrightarrow E=\frac{q}{r^2} \overrightarrow n[/tex]
Giova allora la pena sottolineare che, in questa approssimazione, non ha più alcun senso chiedersi quanto valga il campo nei punti in cui la densità di carica originale era diversa da zero. Tuttavia, ha ancora senso chiedersi quanto valga la media del campo su una sfera contenente la densità di carica medesima, ragione per cui il valore di quel primo integrale deve essere assolutamente preservato. In generale, quando si ricorre ad una soluzione singolare, si perdono certe proprietà di analiticità nel punto in cui è localizzata la sorgente. Per questo motivo non è detto che il primo integrale scritto converga. In questo caso, come puoi facilmente verificare, esso esiste e ha valore nullo. Quella proprietà è quindi preservata, dato che questa densità di carica singolare non ha momenti di ordine superiore, e non è necessario aggiungere alcun termine perchè questo accada. Nel caso in cui la densità di carica abbia il momento di ordine zero nullo, il momento del primo ordine non nullo e si voglia approssimare il campo esterno con il campo generato dal solo momento puntiforme del primo ordine, si ricorre alla seguente soluzione singolare dell'equazione di Poisson:
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3}[/tex]
In questo caso si presenta il problema menzionato poc'anzi. Poichè quel primo integrale non converge, puoi meno facilmente verificarlo, si rende assolutamente necessario introdurre un termine che permetta di calcolare quella media quando la sfera contiene la densità di carica. Per questo motivo viene introdotta quella correzione:
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3} - \frac{4 \pi}{3} \overrightarrow p \delta(\overrightarrow r)[/tex]
Allora, come sostiene giustamente l'autore del testo, quando devi determinare la media su una sfera non contenente la densità di carica, puoi utilizzare il primo addendo e portare a termine tutti i calcoli necessari senza incorrere in singolarità matematiche. Viceversa, quando devi calcolare la media del campo su una sfera contenente la densità di carica, osservabile fisica senz'altro degna d'interesse, non potendoti avvalere del primo addendo, devi utilizzare il secondo. Del resto, il valore del secondo addendo è stato determinato a prescindere dall'approssimazione che si sarebbe utilizzata, considerando cioè una densità di carica regolare che più si avvicina alla realtà fisica, dato che non esistono sorgenti puntiformi e che proprio questa idealizzazione introduce le difficoltà di ordine matematico di cui si è appena parlato. Anche se non è mia intenzione sopravvalutare queste mie considerazioni, sono abbastanza sicuro che potrai dare un senso compiuto alle, ne convengo, "oscure" e molteplici dissertazioni dell'autore. Il quale, detto tra noi, è l'artefice di uno dei libri più interessanti, sintetici e completi che abbia avuto la fortuna/sfortuna di consultare.
[tex]\int_V \overrightarrow E \,d^3x = - \frac {4 \pi}{3} \overrightarrow p[/tex]
Nel caso in cui la densità di carica abbia il momento di ordine zero non nullo e si voglia approssimare il campo esterno con il campo generato dal solo momento puntiforme di ordine zero, si ricorre alla seguente soluzione singolare dell'equazione di Poisson:
[tex]\overrightarrow E=\frac{q}{r^2} \overrightarrow n[/tex]
Giova allora la pena sottolineare che, in questa approssimazione, non ha più alcun senso chiedersi quanto valga il campo nei punti in cui la densità di carica originale era diversa da zero. Tuttavia, ha ancora senso chiedersi quanto valga la media del campo su una sfera contenente la densità di carica medesima, ragione per cui il valore di quel primo integrale deve essere assolutamente preservato. In generale, quando si ricorre ad una soluzione singolare, si perdono certe proprietà di analiticità nel punto in cui è localizzata la sorgente. Per questo motivo non è detto che il primo integrale scritto converga. In questo caso, come puoi facilmente verificare, esso esiste e ha valore nullo. Quella proprietà è quindi preservata, dato che questa densità di carica singolare non ha momenti di ordine superiore, e non è necessario aggiungere alcun termine perchè questo accada. Nel caso in cui la densità di carica abbia il momento di ordine zero nullo, il momento del primo ordine non nullo e si voglia approssimare il campo esterno con il campo generato dal solo momento puntiforme del primo ordine, si ricorre alla seguente soluzione singolare dell'equazione di Poisson:
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3}[/tex]
In questo caso si presenta il problema menzionato poc'anzi. Poichè quel primo integrale non converge, puoi meno facilmente verificarlo, si rende assolutamente necessario introdurre un termine che permetta di calcolare quella media quando la sfera contiene la densità di carica. Per questo motivo viene introdotta quella correzione:
[tex]\overrightarrow E=\frac{3 (\overrightarrow p\cdot \overrightarrow n)\,\overrightarrow n -\overrightarrow p}{r^3} - \frac{4 \pi}{3} \overrightarrow p \delta(\overrightarrow r)[/tex]
Allora, come sostiene giustamente l'autore del testo, quando devi determinare la media su una sfera non contenente la densità di carica, puoi utilizzare il primo addendo e portare a termine tutti i calcoli necessari senza incorrere in singolarità matematiche. Viceversa, quando devi calcolare la media del campo su una sfera contenente la densità di carica, osservabile fisica senz'altro degna d'interesse, non potendoti avvalere del primo addendo, devi utilizzare il secondo. Del resto, il valore del secondo addendo è stato determinato a prescindere dall'approssimazione che si sarebbe utilizzata, considerando cioè una densità di carica regolare che più si avvicina alla realtà fisica, dato che non esistono sorgenti puntiformi e che proprio questa idealizzazione introduce le difficoltà di ordine matematico di cui si è appena parlato. Anche se non è mia intenzione sopravvalutare queste mie considerazioni, sono abbastanza sicuro che potrai dare un senso compiuto alle, ne convengo, "oscure" e molteplici dissertazioni dell'autore. Il quale, detto tra noi, è l'artefice di uno dei libri più interessanti, sintetici e completi che abbia avuto la fortuna/sfortuna di consultare.
Ok, mi piace! Adesso il tutto acquista un po' più di senso... 
Quindi in sostanza il considerare distribuzioni singolari di carica o dipolo che siano nel punto [tex]x_0[/tex], può portare a problemi quando si va a mediare il campo... comprensibile.
Allora ecco l'espediente di aggiungere un termine che "bypassa" il primo nelle medie che comprendono [tex]x_0[/tex].
Invece quando la media non comprende [tex]x_0[/tex] il campo è quello "lontano" dal dipolo e il termine correttivo è nullo quindi non influisce.
Per quanto riguarda le medie dunque la questione è sistemata (grazie!), la domanda ora potrebbe essere:
Per quanto riguarda il campo in sé invece? Se uno pensa che nel punto [tex]x_0[/tex] il campo [tex]\vec E[/tex] è la somma dei due termini non si capisce come mai nell'integrale uno dei due debba sparire...
Allora uno si dice: nel punto [tex]x_0[/tex] c'è quella delta e non il primo termine? Se penso questo, scrivo il campo Elettrico con la graffa come se fosse una distribuzione a pezzi...
[tex]\vec E = \left \{ \begin{align}
- \frac{4 \pi}{3} \delta(\vec r ) \;\;\; & \mbox{in } x_0 \\
\frac{3(\vec p \cdot \vec n)\vec n - \vec p}{r^3} \;\;\;& \mbox{altrimenti}\\
\end{align} \right .[/tex]
a questo punto però anche il termine "di dipolo a distanza" ha media al di fuori di [tex]x_0[/tex]... quindi non andrebbe bene il campo scritto così perché non rispetterebbe più la condizione sulle medie.
In sostanza, mi sembra ancora una cosa molto faraginosa...
Però uno dice che il campo è una distribuzione e quindi ha senso solo sotto al segno di integrale? Questo potrebbe andare mi pare...
Quindi in sostanza il considerare distribuzioni singolari di carica o dipolo che siano nel punto [tex]x_0[/tex], può portare a problemi quando si va a mediare il campo... comprensibile.
Allora ecco l'espediente di aggiungere un termine che "bypassa" il primo nelle medie che comprendono [tex]x_0[/tex].
Invece quando la media non comprende [tex]x_0[/tex] il campo è quello "lontano" dal dipolo e il termine correttivo è nullo quindi non influisce.
Per quanto riguarda le medie dunque la questione è sistemata (grazie!), la domanda ora potrebbe essere:
Per quanto riguarda il campo in sé invece? Se uno pensa che nel punto [tex]x_0[/tex] il campo [tex]\vec E[/tex] è la somma dei due termini non si capisce come mai nell'integrale uno dei due debba sparire...
Allora uno si dice: nel punto [tex]x_0[/tex] c'è quella delta e non il primo termine? Se penso questo, scrivo il campo Elettrico con la graffa come se fosse una distribuzione a pezzi...
[tex]\vec E = \left \{ \begin{align}
- \frac{4 \pi}{3} \delta(\vec r ) \;\;\; & \mbox{in } x_0 \\
\frac{3(\vec p \cdot \vec n)\vec n - \vec p}{r^3} \;\;\;& \mbox{altrimenti}\\
\end{align} \right .[/tex]
a questo punto però anche il termine "di dipolo a distanza" ha media al di fuori di [tex]x_0[/tex]... quindi non andrebbe bene il campo scritto così perché non rispetterebbe più la condizione sulle medie.
In sostanza, mi sembra ancora una cosa molto faraginosa...
Però uno dice che il campo è una distribuzione e quindi ha senso solo sotto al segno di integrale? Questo potrebbe andare mi pare...
Non sono sicuro di aver compreso i tuoi dubbi. In ogni modo, provo a formalizzare ulteriormente il ragionamento senza utilizzare le formule matematiche. Se necessario, puoi sempre integrare con il mio messaggio precedente.
1. Si considera una densità volumetrica di carica localizzata.
2. Il suo momento di ordine zero è nullo.
3. Il suo momento di ordine uno è non nullo.
4. Il suo momento di ordine uno non dipende dall'origine scelta.
5. Si rinuncia alla determinazione puntuale del campo nei punti in cui la densità di carica è localizzata.
6. Si considera la seguente approssimazione: si sostituisce la densità di carica localizzata con un momento puntiforme di ordine uno. Non si specifica dove posizionare esattamente questo momento puntiforme di ordine uno: si può presumere che vada posizionato in un punto interno alla densità di carica localizzata e che questa arbitrarietà, quando si calcola il campo nei punti esterni alla densità di carica localizzata, determini un'incertezza della stessa entità che questa approssimazione comporta.
7. Si considera il campo una distribuzione. Del resto, una sua misura comporta una media spaziale caratteristica dello strumento utilizzato.
8. Trattandosi di medie, la formula comprendente i due termini assegnata dal testo ne consente il calcolo in due volumi distinti:
8.1 Quando il volume sferico non comprende la densità di carica localizzata, e in questo caso si ha una dipendenza puntuale del campo priva di singolarità.
8.2 Quando il volume sferico comprende la densità di carica localizzata, e in questo caso non si ha una dipendenza puntuale del campo ma un termine singolare il cui valore è stato determinato considerando le proprietà generali delle soluzioni regolari dell'equazione di Poisson.
Onestamente, non mi pare esistano punti critici in queste argomentazioni. Per quanto riguarda l'espressione analitica di questa approssimazione, considerando l'operazione di media, concordo che si potesse anche esprimere come tu hai evidenziato, piuttosto che con una somma. Tuttavia, non ho compreso che cosa intendi quando parli di una condizione sulle medie che non sarebbe più rispettata. Se ti stai riferendo alla media su una sfera che comprende la densità di carica localizzata, ti ricordo che il suo valore è indipendente dal raggio della sfera. Inoltre, questo valore è stato ottenuto senza introdurre alcuna approssimazione. Per questo motivo, nel calcolo di questa media, non è necessario considerare l'espressione del campo puntuale, approssimato mediante l'introduzione del dipolo puntiforme.
1. Si considera una densità volumetrica di carica localizzata.
2. Il suo momento di ordine zero è nullo.
3. Il suo momento di ordine uno è non nullo.
4. Il suo momento di ordine uno non dipende dall'origine scelta.
5. Si rinuncia alla determinazione puntuale del campo nei punti in cui la densità di carica è localizzata.
6. Si considera la seguente approssimazione: si sostituisce la densità di carica localizzata con un momento puntiforme di ordine uno. Non si specifica dove posizionare esattamente questo momento puntiforme di ordine uno: si può presumere che vada posizionato in un punto interno alla densità di carica localizzata e che questa arbitrarietà, quando si calcola il campo nei punti esterni alla densità di carica localizzata, determini un'incertezza della stessa entità che questa approssimazione comporta.
7. Si considera il campo una distribuzione. Del resto, una sua misura comporta una media spaziale caratteristica dello strumento utilizzato.
8. Trattandosi di medie, la formula comprendente i due termini assegnata dal testo ne consente il calcolo in due volumi distinti:
8.1 Quando il volume sferico non comprende la densità di carica localizzata, e in questo caso si ha una dipendenza puntuale del campo priva di singolarità.
8.2 Quando il volume sferico comprende la densità di carica localizzata, e in questo caso non si ha una dipendenza puntuale del campo ma un termine singolare il cui valore è stato determinato considerando le proprietà generali delle soluzioni regolari dell'equazione di Poisson.
Onestamente, non mi pare esistano punti critici in queste argomentazioni. Per quanto riguarda l'espressione analitica di questa approssimazione, considerando l'operazione di media, concordo che si potesse anche esprimere come tu hai evidenziato, piuttosto che con una somma. Tuttavia, non ho compreso che cosa intendi quando parli di una condizione sulle medie che non sarebbe più rispettata. Se ti stai riferendo alla media su una sfera che comprende la densità di carica localizzata, ti ricordo che il suo valore è indipendente dal raggio della sfera. Inoltre, questo valore è stato ottenuto senza introdurre alcuna approssimazione. Per questo motivo, nel calcolo di questa media, non è necessario considerare l'espressione del campo puntuale, approssimato mediante l'introduzione del dipolo puntiforme.
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