Scala appoggiata su due superfici
Una scala, la cui massa è distribuita uniformemente lungo tutta la sua lunghezza, poggia con un'estremità sopra un piano orizzontale scabro, con coefficiente d'attrito μs, e con l'altra contro una parete verticale scabra, con lo stesso coefficiente di attrito. Si determini l'angolo di minima inclinazione θmin che la scala può formare col piano orizzontale senza scivolare al suolo.
Ho provato a risolvere questo problema cercando di non imporre immediatamente che l attrito sia massimo, ma cercando di ricavare tali condizioni senza alcun successo.Sarei contento se qualcuno riuscisse a fornirmi una soluzione rigorosa senza considerare gli attriti massimi in partenza
Ho provato a risolvere questo problema cercando di non imporre immediatamente che l attrito sia massimo, ma cercando di ricavare tali condizioni senza alcun successo.Sarei contento se qualcuno riuscisse a fornirmi una soluzione rigorosa senza considerare gli attriti massimi in partenza
Risposte
Non puoi risolvere il problema, nel senso che il problema e' indeterminato.
Le equazioni che hai a disposizione sono 3:
- equilibrio dei momenti
- equilibrio delle forze sull'asse x
- equilibrio delle forze sull'asse y
Le incognite sono:
- forza in direzione x per punto di appoggio sul muro
- forza in direzione y per punto di appoggio sul muro
- forza in direzione x per punto di appoggio sul pavimento
- forza in direzione y per punto di appoggio sul pavimento
Hai un sistema con 3 equazioni e 4 incognite, quindi e' indeterminato.
Le equazioni che hai a disposizione sono 3:
- equilibrio dei momenti
- equilibrio delle forze sull'asse x
- equilibrio delle forze sull'asse y
Le incognite sono:
- forza in direzione x per punto di appoggio sul muro
- forza in direzione y per punto di appoggio sul muro
- forza in direzione x per punto di appoggio sul pavimento
- forza in direzione y per punto di appoggio sul pavimento
Hai un sistema con 3 equazioni e 4 incognite, quindi e' indeterminato.
Infatti non si chiede l’intensità delle forze, ma il valore dell’angolo teta minimo che permette l’equilibrio
"Vitorusso":
Ho provato a risolvere questo problema cercando di non imporre immediatamente che l attrito sia massimo, ma cercando di ricavare tali condizioni senza alcun successo.
Che problema c'e' ad impostare uno dei due attriti al massimo ?
Poi non capisco bene cosa vuoi dire quando scrivi "ricavare tali condizioni" ?
Che in generale, non è detto che la forza di attrito assuma il suo valore massimo possibile.Ma a quanto vedo tale fatto viene dato per scontato in molte risoluzioni che ho trovato
@Vitorusso
Elimina l'altro thread che è doppio.
Elimina l'altro thread che è doppio.
"Vitorusso":
... non è detto che la forza di attrito assuma il suo valore massimo possibile.
Spiegazione informale
La forza di attrito non esiste di per sé ma è una forza di "reazione" ad un'altra (in questo caso una parte del peso della scala).
Quindi il valore che assume la forza di attrito è pari e contrario a quello della forza che lo genera; però ha un limite massimo, quando questo viene superato dalla forza agente, quest'ultima prevale e l'oggetto si muove.
Per quanto riguarda il problema, le incognite sono quattro, è vero ma siccome dipendono dall'angolo si possono ridurre a due.
Lo so che cos’è l’ attrito. Potresti scrivere lo svolgimento formale?
"Vitorusso":
Lo so che cos’è l’ attrito.
Non ne sarei così sicuro dato che scrivi
"Vitorusso":
Che in generale, non è detto che la forza di attrito assuma il suo valore massimo possibile.Ma a quanto vedo tale fatto viene dato per scontato in molte risoluzioni che ho trovato
Inoltre dovresti sforzarti un po' di più nel proporre tue soluzioni o comunque idee riguardo ai problemi, qui funziona così.
Ho scritto così perché in risoluzioni che ho trovato trovo scritto sempre Fs=usN non trattandola come forza incognita. Ho provato a risolverlo impostando uguale a 0 il momento risultanti e la forza risultante.Purtroppo però non so come uscirmene dalle condizioni
"Vitorusso":
Ho scritto così perché in risoluzioni che ho trovato trovo scritto ...
Appunto.
Hai "scritto così" perché "hai trovato scritto così" non perché hai riflettuto sulla questione (e neppure su quello che ti si scrive)
Ho provato a riflettere sulla questione non trovando risposte adeguate. Il fatto che il valore dell attrito debba essere usN probabilmente è una condizione proveniente del fatto che l’angolo sia minimo.Ma purtroppo non sono riuscito a dedurlo analiticamente
.
Ti ringrazio, gentilissimo
In aggiunta alla risposta di sellacollesella, che come sempre e' precisa, chiara e dettagliata, volevo solo fare un'ulteriore precisazione:
le reazioni del muro e del pavimento possono solo essere positive, quindi alle condizioni elencate si puo' aggiungere
$H_A \ge 0 $ e $V_B \ge 0 $.
L'autore del thread chiedeva una soluzione "rigorosa", la risposta e' che il problema va affrontato con le tecniche di programmazione lineare". O meglio, serve la programmazione non lineare, siccome abbiamo a che fare con funzioni trigonometriche oltre che con una variabile da ottimizzare.
Di piu' su Wikipedia:
In matematica, programmazione non lineare è il processo di soluzione di un sistema di equazioni e disequazioni su un insieme di variabili reali incognite, con una funzione obiettivo da massimizzare o minimizzare.
https://it.wikipedia.org/wiki/Programma ... on-lineare
https://it.wikipedia.org/wiki/Programmazione_lineare
Volevo solo fare un esempio molto simile, in cui invece di trovare l'angolo minimo, si deve trovare l'attrito statico minimo.
Il motivo e' che i calcoli si semplificano e diventa piu' facile seguire lo svolgimento.
Sia dunque una scala di massa $m$ appoggiata su parete e pavimento con un certo attrito statico da determinare. La scala forma un angolo di 45 gradi con il pavimento. Determinare il minimo attrito statico.
$A$ punto di appoggio alla parete e $B$ punto di appoggio al pavimento.
Equilibrio dei momenti rispetto al centro di massa:
$- F_{AX} - F_{AY}+ F_{BX} + F_{BY} = 0$
Equilibrio delle forze:
$F_{AY} + F_{BY} -mg = 0$
$F_{AX} + F_{BX} = 0$
Assieme ai vincoli:
$F_{AX} \ge 0$
$F_{BY} \ge 0$
$|F_{AY}| \le F_{AX} \mu_s$
$|F_{BX}| \le F_{BY} \mu_s$
Si puo' immediatamente dedurre che
$F_{BX} \le 0$
Sommando le 3 equazioni di equilibrio si ottiene:
$ F_{BX} + F_{BY} = {mg}/2 $
E' interessante trovare le soluzioni al problema per via grafica.
Ho creato un tool con Geogebra per la ricerca grafica delle soluzioni.
https://www.geogebra.org/calculator/dycyaf3n
Piu' avanti metto una spiegazione su come usarlo.
Se qualcuno fosse interessato, metta un commento.
le reazioni del muro e del pavimento possono solo essere positive, quindi alle condizioni elencate si puo' aggiungere
$H_A \ge 0 $ e $V_B \ge 0 $.
L'autore del thread chiedeva una soluzione "rigorosa", la risposta e' che il problema va affrontato con le tecniche di programmazione lineare". O meglio, serve la programmazione non lineare, siccome abbiamo a che fare con funzioni trigonometriche oltre che con una variabile da ottimizzare.
Di piu' su Wikipedia:
In matematica, programmazione non lineare è il processo di soluzione di un sistema di equazioni e disequazioni su un insieme di variabili reali incognite, con una funzione obiettivo da massimizzare o minimizzare.
https://it.wikipedia.org/wiki/Programma ... on-lineare
https://it.wikipedia.org/wiki/Programmazione_lineare
Volevo solo fare un esempio molto simile, in cui invece di trovare l'angolo minimo, si deve trovare l'attrito statico minimo.
Il motivo e' che i calcoli si semplificano e diventa piu' facile seguire lo svolgimento.
Sia dunque una scala di massa $m$ appoggiata su parete e pavimento con un certo attrito statico da determinare. La scala forma un angolo di 45 gradi con il pavimento. Determinare il minimo attrito statico.
$A$ punto di appoggio alla parete e $B$ punto di appoggio al pavimento.
Equilibrio dei momenti rispetto al centro di massa:
$- F_{AX} - F_{AY}+ F_{BX} + F_{BY} = 0$
Equilibrio delle forze:
$F_{AY} + F_{BY} -mg = 0$
$F_{AX} + F_{BX} = 0$
Assieme ai vincoli:
$F_{AX} \ge 0$
$F_{BY} \ge 0$
$|F_{AY}| \le F_{AX} \mu_s$
$|F_{BX}| \le F_{BY} \mu_s$
Si puo' immediatamente dedurre che
$F_{BX} \le 0$
Sommando le 3 equazioni di equilibrio si ottiene:
$ F_{BX} + F_{BY} = {mg}/2 $
E' interessante trovare le soluzioni al problema per via grafica.
Ho creato un tool con Geogebra per la ricerca grafica delle soluzioni.
https://www.geogebra.org/calculator/dycyaf3n
Piu' avanti metto una spiegazione su come usarlo.
Se qualcuno fosse interessato, metta un commento.
Sia AB la scala, poggiata al pavimento in A e alla parete verticale in B . Disegnati i due coni di attrito in A e in B ( v. figura seguente) , i coni di attrito hanno in comune il quadrilatero PQRS.
Detta $vecF$ una forza verticale applicata alla scala, per esempio il risultante della forza peso della scala e del peso di un uomo che sale, la scala rimane in equilibrio se la retta di azione di $vecF$ interseca il quadrilatero PQRS.
Naturalmente questa è solo una visualizzazione grafica della situazione, perché come dice Quinzio il sistema è indeterminato.
Detta $vecF$ una forza verticale applicata alla scala, per esempio il risultante della forza peso della scala e del peso di un uomo che sale, la scala rimane in equilibrio se la retta di azione di $vecF$ interseca il quadrilatero PQRS.
Naturalmente questa è solo una visualizzazione grafica della situazione, perché come dice Quinzio il sistema è indeterminato.
Fantastica questa soluzione grafica.
Il disegno e' tridimensionale ? Ovvero i coni sono coni tridimensionali e la soluzione funziona anche se $F$ non giace sul piano $AOB$ (purche' la linea di $F$ passi per l'intersezione dei coni) ?
($O$ sarebbe lo spigolo)
Il disegno e' tridimensionale ? Ovvero i coni sono coni tridimensionali e la soluzione funziona anche se $F$ non giace sul piano $AOB$ (purche' la linea di $F$ passi per l'intersezione dei coni) ?
($O$ sarebbe lo spigolo)
Grazie Quinzio. La grafica è bidimensionale, la forza $vecF$ è nel piano AOB , ed ho parlato di quadrilatero PQRS.
Ma credo che possa valere anche se la consideriamo tridimensionale, spostando la forza in avanti o all’indietro rispetto al piano AOB, quel tanto che è consentito dalla larghezza della scala.
Però io quando salgo su una scala a pioli poggiata al muro mi mantengo al “centro “…istinto? Mi sento più sicuro dividendo lo sforzo sui due montanti equamente.
Ma credo che possa valere anche se la consideriamo tridimensionale, spostando la forza in avanti o all’indietro rispetto al piano AOB, quel tanto che è consentito dalla larghezza della scala.
Però io quando salgo su una scala a pioli poggiata al muro mi mantengo al “centro “…istinto? Mi sento più sicuro dividendo lo sforzo sui due montanti equamente.
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