Sbarretta in un campo B

[kawaboonga]

Una sbarretta conduttrice omogenea di lunghezza L e massa M ha un estremo a contatto con un asse verticale mentre l'altro striscia con attrito su una guida circolare. Asse e guida fanno parte di un circuito dove un generatore di forza elettromotrice E lo alimenta attraverso un resistore R. Il tutto è immerso in un campo magnetico verticale omogeneo B. Quando la sbarretta ruota, l'attrito dinamico sulla guida determina un momento torcente costante. La sbarretta è inizialmente ferma e a t=0 viene chiuso l'interrutore. Determinare:
_la velocità angolare di regime della sbarretta;
_la corrente che fluisce a regime;
_l'istante a cui la velocità angolare raggiunge la meta del suo valore di regime.

mi sono calcolato la velocità angolare a regime = 2*E/(B*L^2) e la corrente a regime = 0 ma non so come calcolarmi l'istante in cui la velocità angolare raggiunge la meta del suo valore. Grazie in anticipo.

[Sk_Anonymous]

Non direi proprio che la corrente a regime è nulla. Piuttosto, la corrente a regime deve assumere quel valore corrispondente ad un momento della forza dovuta al campo magnetico opposto al momento resistente. Insomma:

$\{(E-1/2BL^2dottheta(t)=Ri(t)),(1/3ML^2ddottheta(t)=1/2BL^2i(t)-m_T),(ddottheta(+oo)=0):} rarr \{(E-1/2BL^2dottheta(+oo)=(2Rm_T)/(BL^2)),(i(+oo)=(2m_T)/(BL^2)),(ddottheta(+oo)=0):} rarr \{(dottheta(+oo)=(2E)/(BL^2)-(4Rm_T)/(B^2L^4)),(i(+oo)=(2m_T)/(BL^2)),(ddottheta(+oo)=0):}$

Per quanto riguarda l'ultima domanda, non vedo altro modo che procedere per forza bruta:

$\{(E-1/2BL^2dottheta(t)=Ri(t)),(1/3ML^2ddottheta(t)=1/2BL^2i(t)-m_T):} rarr \{(i(t)=E/R-1/2(BL^2)/Rdottheta(t)),(1/3ML^2ddottheta(t)=1/2(BL^2E)/R-1/4(B^2L^4)/Rdottheta(t)-m_T):} rarr$

$rarr [ddottheta(t)+3/4(B^2L^2)/(MR)dottheta(t)=3/2(BE)/(MR)-3m_T/(ML^2)]$

Ora dovresti risolvere questa equazione differenziale del secondo ordine non omogenea a coefficienti costanti. Io mi fermo qui. Buon lavoro.

[Ninasognalaluna]

Non riesco a capire la seconda equazione del sistema. ((

[RenzoDF]

Uguaglia il prodotto fra momento d'inerzia e accelerazione angolare al momento delle forze agenti sul sistema rispetto all'asse di rotazione.