Saaalve
Come si risolvono?
Una massa di 50 kg fissata ad una molla di massa trascurabile e costante elastica 35 N compie delle oscillazione di 4 cm di ampiezza su una superficie orizzontale liscia.
1) Determinare per un allungamento della molla di 1 cm: (a) l'energia totale del sistema oscillante (b) la velocità della massa
2) Determinare per un allungamento della molla di 3 cm: (a) l'energia K cinetica (b) energia potenziale U
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Un ascensore di massa 1000 kg ha una portata massima di 800 kg. Una forza di attrito costante di 4000 N ritarda il suo moto verso l'alto.
(a) Quale deve esselre la minima potenza erogata dal motore per far salire l'ascensore con una velocità costante di 3 m/s?
(b) Quale potenza deve fornire il motore in ogni istante se esso è progettato per fornire un'accelerazione di 1 m/s^2?
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Una vasca da bagno lunga 1,7 m contiene 13 cm d'acqua. Agitando l'acqua avanti e indietro con la mano si riesce a generare un'oscillazione di grande ampiezza. Si determini la frequenza più bassa possibile per tale oscillazione di risonanza. In questo caso alla risonanza l'onda ha una cresta in un estremo e una valle nell'altro. La velocitò di propagazione delle onde in acqua bassa è data da v = \| gh (????).
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Questo è osceno: Le persone che usano motociclette imparano a stare attente ai dossi che si trovano per lestrade e specialmente alle piste di prova ondulate, una situazione di molte creste ugualmente spaziate o dossi posti ad una certa distanza. Cosa c'è di così negativo nelle piste di prova ondulate? Una motoicletta ha diverse molle ed ammotrtizzatori nelle sue sospensioni, ma possiamo considerare un modello con una massa ed una molla pensando a quanto un pesante motociclista la camprima salendo in moto. Calcolare, sulla base di una ragionevole stima, la distanza tra i dossi della pista ondulata di prova per la qule un motociclista debba essere particolarmente attento quando viaggia velocemente. Come
si fa?
Mai esistito un problema di questo genere....Secondo me irrisolvibile senza dati almeno.
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Potreste aiutarmi a chiarire questi esecizi fornendomi magari la soluzione?
Grazie
Ciao Ciao
Una massa di 50 kg fissata ad una molla di massa trascurabile e costante elastica 35 N compie delle oscillazione di 4 cm di ampiezza su una superficie orizzontale liscia.
1) Determinare per un allungamento della molla di 1 cm: (a) l'energia totale del sistema oscillante (b) la velocità della massa
2) Determinare per un allungamento della molla di 3 cm: (a) l'energia K cinetica (b) energia potenziale U
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Un ascensore di massa 1000 kg ha una portata massima di 800 kg. Una forza di attrito costante di 4000 N ritarda il suo moto verso l'alto.
(a) Quale deve esselre la minima potenza erogata dal motore per far salire l'ascensore con una velocità costante di 3 m/s?
(b) Quale potenza deve fornire il motore in ogni istante se esso è progettato per fornire un'accelerazione di 1 m/s^2?
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Una vasca da bagno lunga 1,7 m contiene 13 cm d'acqua. Agitando l'acqua avanti e indietro con la mano si riesce a generare un'oscillazione di grande ampiezza. Si determini la frequenza più bassa possibile per tale oscillazione di risonanza. In questo caso alla risonanza l'onda ha una cresta in un estremo e una valle nell'altro. La velocitò di propagazione delle onde in acqua bassa è data da v = \| gh (????).
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Questo è osceno: Le persone che usano motociclette imparano a stare attente ai dossi che si trovano per lestrade e specialmente alle piste di prova ondulate, una situazione di molte creste ugualmente spaziate o dossi posti ad una certa distanza. Cosa c'è di così negativo nelle piste di prova ondulate? Una motoicletta ha diverse molle ed ammotrtizzatori nelle sue sospensioni, ma possiamo considerare un modello con una massa ed una molla pensando a quanto un pesante motociclista la camprima salendo in moto. Calcolare, sulla base di una ragionevole stima, la distanza tra i dossi della pista ondulata di prova per la qule un motociclista debba essere particolarmente attento quando viaggia velocemente. Come
si fa?Mai esistito un problema di questo genere....Secondo me irrisolvibile senza dati almeno.
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Potreste aiutarmi a chiarire questi esecizi fornendomi magari la soluzione?
Grazie
Ciao Ciao
Risposte
Ciao, per l'ultimo ti do delle dritte.
Modella il terreno come un profilo di equazione cosinusoidale, poi trovi le soluzioni del moto della massa non smorzato e consideri solo la soluzione particolare, vedi quindi di stare attento a dove si ha la risonanza e da lì trovi una relazione tra la pulsazione naturale del sistema e la pulsazione forzata imposta dal terreno, inserendo dei valori di massima ottieni una stima della distanza in funzione della velocità.
Modella il terreno come un profilo di equazione cosinusoidale, poi trovi le soluzioni del moto della massa non smorzato e consideri solo la soluzione particolare, vedi quindi di stare attento a dove si ha la risonanza e da lì trovi una relazione tra la pulsazione naturale del sistema e la pulsazione forzata imposta dal terreno, inserendo dei valori di massima ottieni una stima della distanza in funzione della velocità.
Forse non sono stato troppo esauriente, allora provo a postare la soluzione:
La molla subisce variazioni di lungheza sia in relazione allo spostamento assoluto della massa, sia per il fatto che il terreno non è piatto; il tutto quindiva modella to come un sistema ad un grado di libertà con movimento del suolo controllato.
Essendo quindi $x$ la coordinata assoluta della massa verso l'alto dalla posizione di equilibrio statico ed $y$ lo spostamento assoluto del punto di appoggio della molla sul terreno, si scrive immediatamente:
$m\ddotx+kx=ky=>\ddotx+\omega_n^2x=\omega_n^2y$
Dove $\omega_n=\sqrt{k/m}$ è la pulsazione naturale del sistema.
Abbiamo scelto di studiare un sistema non smorzato per semplicità.
L'equazione dell'asfalto la supponiamo funzione nota del tempo con pulsazione $\Omega=2piv/L$, dove $v$ è la velocità traslazionale del mezzo e $L$ la distanza delle creste del profilo dell'asfalto.
Quindi, se $h$ è l'altezza delle creste
$\ddotx+\omega_n^2x=\omega_n^2\cos(\Omegat)$
La soluzione è data dalla somma tra l'integrale generale e quello particolare; se dobbiamo però cercare la risonanza possiamo accontentarci di studiare la soluzione particolare, quindi:
$x_p(t)=A\cos(\Omegat)+B\sin(\Omegat)$
Sostituendo:
$[A\cos(\Omegat)+B\sin(\Omegat)]\omega_n^2-\Omega^2A\cos(\Omegat)-\Omega^2B\sin(\Omegat)=\omega_n^2h\cos(\Omegat)$
In definitiva:
${(B(\omega_n^2-\Omega^2)=0),(A(\omega_n^2-\Omega^2)=\omega_n^2h):}$
Supponendo per adesso che $\Omegane\omega_n^2$ si ottiene: $B=0$ ed
$A=h/(1-((\Omega)/\omega_n)^2)$
Il risultato è che quando la pulsazione della forzante è molto vicina alla pulsazione naturale del sistema si entra in risonanza il che provoca delle sempre maggiori ampiezze di oscillazione...
$\Omega=2piv/L\approx\omega_n=\sqrt(k/m)=>L\approx2piv\sqrt{m/k}$
Con valori di massima: $k=200\cdot10^3$ N/m, $m=100$ kg, $v=72$ km/h
si ha:
$L=2.8$ m
P.S: si sarebbe potuto studiare che cosa accadeve allo spostamento relativo della massa rispetto all'asfalto, ma avrebbe portato alle stesse conclusioni.
La molla subisce variazioni di lungheza sia in relazione allo spostamento assoluto della massa, sia per il fatto che il terreno non è piatto; il tutto quindiva modella to come un sistema ad un grado di libertà con movimento del suolo controllato.
Essendo quindi $x$ la coordinata assoluta della massa verso l'alto dalla posizione di equilibrio statico ed $y$ lo spostamento assoluto del punto di appoggio della molla sul terreno, si scrive immediatamente:
$m\ddotx+kx=ky=>\ddotx+\omega_n^2x=\omega_n^2y$
Dove $\omega_n=\sqrt{k/m}$ è la pulsazione naturale del sistema.
Abbiamo scelto di studiare un sistema non smorzato per semplicità.
L'equazione dell'asfalto la supponiamo funzione nota del tempo con pulsazione $\Omega=2piv/L$, dove $v$ è la velocità traslazionale del mezzo e $L$ la distanza delle creste del profilo dell'asfalto.
Quindi, se $h$ è l'altezza delle creste
$\ddotx+\omega_n^2x=\omega_n^2\cos(\Omegat)$
La soluzione è data dalla somma tra l'integrale generale e quello particolare; se dobbiamo però cercare la risonanza possiamo accontentarci di studiare la soluzione particolare, quindi:
$x_p(t)=A\cos(\Omegat)+B\sin(\Omegat)$
Sostituendo:
$[A\cos(\Omegat)+B\sin(\Omegat)]\omega_n^2-\Omega^2A\cos(\Omegat)-\Omega^2B\sin(\Omegat)=\omega_n^2h\cos(\Omegat)$
In definitiva:
${(B(\omega_n^2-\Omega^2)=0),(A(\omega_n^2-\Omega^2)=\omega_n^2h):}$
Supponendo per adesso che $\Omegane\omega_n^2$ si ottiene: $B=0$ ed
$A=h/(1-((\Omega)/\omega_n)^2)$
Il risultato è che quando la pulsazione della forzante è molto vicina alla pulsazione naturale del sistema si entra in risonanza il che provoca delle sempre maggiori ampiezze di oscillazione...
$\Omega=2piv/L\approx\omega_n=\sqrt(k/m)=>L\approx2piv\sqrt{m/k}$
Con valori di massima: $k=200\cdot10^3$ N/m, $m=100$ kg, $v=72$ km/h
si ha:
$L=2.8$ m
P.S: si sarebbe potuto studiare che cosa accadeve allo spostamento relativo della massa rispetto all'asfalto, ma avrebbe portato alle stesse conclusioni.
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