Rotore di un gradiente

[nato_pigro1]

Il rotore di un gradiente è sempre $=0$

E' vero che se $\nabla^^A=0$ allora $A$ è il gradiente di una funzione?

$\nabla^^A=0$ sse ${((delA_z)/(dely)=(delA_y)/(delz)),((delA_x)/(delz)=(delA_z)/(delx)),((delA_y)/(delx)=(delA_x)/(dely)):}$ il che implica ${(A_z=(delA_y)/(delz)+k'),(A_x=(delA_z)/(delx)+k''),(A_y=(delA_x)/(dely)+k'''):}$

è corretta come dimostrazione?

[Fabbro1]

sia $A$ un campo vettoriale:

$\nabla^^A=0 hArr A=rotF $
$\nabla^^^A=0 hArr A=gradf $

dove con $\nabla^^A$ intendo la divergenza di A e con $\nabla^^^A$ il rotore di A.

se la divergenza di A è nulla allora A è il rotore di un altro campo vettoriale( e vale anche il viceversa: la divergenza di un rotore è nulla).
se il rotore di A è nullo allora A è il gradiente di una qualche funzione scalare(e anche qui vale il viceversa).
Queste due proprietà valgono simultaneamente se $A in C^1(RR) $ e il campo è definito su un dominio stellato.
A quanto pare tu con $\nabla^^A$ indichi il rotore di A (anche se quello dovrebbe essere formalmente un prodotto vettoriale e non scalare) e quindi per rispondere alla tua domanda ti dico in generale no. Ci sono campi a rotore nullo che non sono gradiente di alcuna funzione scalare: l' irrotazionalità è condizione necessaria ma non sufficiente per la conservatività del campo.Una condizione sufficiente è richiedere che il dominio in cui è definito il campo sia semplicemente connesso.

[nato_pigro1]

"Fabbro":sia $A$ un campo vettoriale:

$\nabla^^A=0 hArr A=rotF $
$\nabla^^^A=0 hArr A=gradf $

dove con $\nabla^^A$ intendo la divergenza di A e con $\nabla^^^A$ il rotore di A.

no, aspetta, ma non hai scritto la stessa cosa per divergenza e rotore?
io con $^^$ intendo prodotto vettoriale, con $*$ il prodotto scalare.
E $A$, non l'ho detto, ma nel mio caso è un campo scalare.

[Fabbro1]

"nato_pigro":[quote="Fabbro"]sia $A$ un campo vettoriale:

$\nabla^^A=0 hArr A=rotF $
$\nabla^^^A=0 hArr A=gradf $

dove con $\nabla^^A$ intendo la divergenza di A e con $\nabla^^^A$ il rotore di A.

no, aspetta, ma non hai scritto la stessa cosa per divergenza e rotore?
io con $^^$ intendo prodotto vettoriale, con $*$ il prodotto scalare.
E $A$, non l'ho detto, ma nel mio caso è un campo scalare.[/quote]

ma se $A$ è il gradiente di una funzione deve essere un campo vettoriale.
la divergenza è nabla prodotto scalare A;il rotore è nabla prodotto vettoriale A....al di là dei simboli che possono confondere..
perchè io con $^^$ intendo prodotto scalare,con $^^^$ prodotto vettoriale...
comunque il nabla è un operatore vettoriale differenziale che si applica ad un campo vettoriale,come puoi applicarlo ad un campo scalare?
un campo scalare è un' applicazione $ f:RR^n rarr RR $
un campo vettoriale del tipo $ F:RR^n rarr RR^n $ è una legge che associa ad ogni punto del tuo spazio n-dimensionale un altro punto di suddetto spazio e non uno scalare.

[nato_pigro1]

no, hai ragione, volevo dire che $A$ è il gradiente di un campo scalare.