Rotore del campo magnetico
Buongiorno, non riesco a capire come svolgere questa dimostrazione/esercizio:
dopo aver calcolato il vettore campo magnetico B prodotto da un filo percorso da corrente, verificare che il campo magnetico B soddisfa $ grad xx B = mu o J $
sapendo che il campo magnetico prodotto dal filo in tutto lo spazio è $ vec(B) =(mu oI)/(2pi r)hat(r) $
come faccio a calcolare le derivate parziali avendo solo una componente?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
dopo aver calcolato il vettore campo magnetico B prodotto da un filo percorso da corrente, verificare che il campo magnetico B soddisfa $ grad xx B = mu o J $
sapendo che il campo magnetico prodotto dal filo in tutto lo spazio è $ vec(B) =(mu oI)/(2pi r)hat(r) $
come faccio a calcolare le derivate parziali avendo solo una componente?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
"kate410":
... come faccio a calcolare le derivate parziali avendo solo una componente.
Non vedo quale sia il problema nel derivare componenti nulle, chiaramente per questa geometria ti converrà far uso di un sistema di coordinate cilindriche.
Usando appunto il rotore in coordinate cilindriche dovrei derivare la componente radiale rispetto a un'altra componente nulla.. in questo modo avrei come risultato 0, non $ mu o vec(J) $ ... dico giusto?
Premesso che vedo solo ora uno "strano" versore $\hat r$ nella tua espressione del campo, rispondendo alla tua domanda
Direi proprio di no [nota]Ovviamente nei punti dello spazio con densità di corrente non nulla.[/nota], scelto l'asse $z$ (di un sistema di coordinate cilindriche $\rho,\theta,z$) assiale per il conduttore e con verso concorde alla corrente nello stesso, la densità di corrente avrà componente non nulla solo lungo z,
$\vec J=J_z \hat z$
e di conseguenza, supponendo (per esempio) la densità di corrente costante su tutta la sezione, il campo magnetico internamente al conduttore sarà esprimibile come
$\vec B=B_\theta \hat \theta=\frac{\mu_o \rho J_z}{2 } \hat \theta$
ne segue che l'unica componente non nulla del rotore sarà solo quella lungo z, infatti
$\nabla \times \vec B=\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho B_\theta) }{\partial \rho}\hat z=\mu_0J_z \hat z$
"kate410":
... in questo modo avrei come risultato 0, non $ mu o vec(J) $ ... dico giusto?
Direi proprio di no [nota]Ovviamente nei punti dello spazio con densità di corrente non nulla.[/nota], scelto l'asse $z$ (di un sistema di coordinate cilindriche $\rho,\theta,z$) assiale per il conduttore e con verso concorde alla corrente nello stesso, la densità di corrente avrà componente non nulla solo lungo z,
$\vec J=J_z \hat z$
e di conseguenza, supponendo (per esempio) la densità di corrente costante su tutta la sezione, il campo magnetico internamente al conduttore sarà esprimibile come
$\vec B=B_\theta \hat \theta=\frac{\mu_o \rho J_z}{2 } \hat \theta$
ne segue che l'unica componente non nulla del rotore sarà solo quella lungo z, infatti
$\nabla \times \vec B=\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho B_\theta) }{\partial \rho}\hat z=\mu_0J_z \hat z$
Il mio errore consisteva nel non considerare la densità di corrente vettoriale, escludendo così una componente.
Grazie mille per la risposta chiarissima!
Grazie mille per la risposta chiarissima!
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