Rotolamento...impuro!
Salve a tutti! Ieri mi sono imbattuto in un problema di fisica, forse un tantino inusuale, almeno per me, per qualcun altro forse potrà sembrare banale...purtroppo non sono riuscito a risolverlo e speravo poteste darmi qualche suggerimento. Ecco il testo:
Un cilindro di massa $M$ e raggio $R$ ruota attorno al suo asse con velocità angolare $\omega_0$ quando la sua superficie laterale è posta su un piano orizzontale ed è lasciato libero. Il coefficiente di attrito fra il cilindro e il piano è $\mu$. Calcolare: a) dopo quanto tempo il cilindro inizia a rotolare senza strisciare; b) il lavoro della forza di attrito durante tale intervallo di tempo.
Ho pensato di dividere il moto in due fasi: la prima fase in cui il cilindro striscia e non rotola in cui la velocità angolare diminuisce da $\omega(0)=\omega_0$ a $\omega(t_1)=\omega_1$. In questa fase agisce la sola forza di attrito dinamico $f_d=\mu_dMg$ e per il teorema del momento angolare dovrebbe essere in modulo $-f_dR=I\alpha$, avendo indicato con $\alpha$ l'accelerazione angolare e $I$ il momento d'inerzia, supposto noto; da cui $\omega_1=\omega_0-f_dR/It_1$.
Nella seconda fase, da $t_1$ in poi il cilindro inizia a rotolare, agisce la sola forza di attrito statico $f_s$. Le equazioni del moto in questa seconda fase dovrebbero essere:
$-f_s=Ma_(CM)$
$-f_sR=I\alpha$
$a_(CM)=\alphaR$
Come utilizzare la condizione per il puro rotolamento $f_s<=\mu_sMg$?...le suddette equazioni non mi portano da nessuna parte: non riesco a ricavare $f_s$ in funzione dei dati...del resto nel testo è presente un solo coefficiente d'attrito, forse si capirà quale sia, se statico o dinamico, dopo aver capito come svolgere il problema...qualche idea?
Un cilindro di massa $M$ e raggio $R$ ruota attorno al suo asse con velocità angolare $\omega_0$ quando la sua superficie laterale è posta su un piano orizzontale ed è lasciato libero. Il coefficiente di attrito fra il cilindro e il piano è $\mu$. Calcolare: a) dopo quanto tempo il cilindro inizia a rotolare senza strisciare; b) il lavoro della forza di attrito durante tale intervallo di tempo.
Ho pensato di dividere il moto in due fasi: la prima fase in cui il cilindro striscia e non rotola in cui la velocità angolare diminuisce da $\omega(0)=\omega_0$ a $\omega(t_1)=\omega_1$. In questa fase agisce la sola forza di attrito dinamico $f_d=\mu_dMg$ e per il teorema del momento angolare dovrebbe essere in modulo $-f_dR=I\alpha$, avendo indicato con $\alpha$ l'accelerazione angolare e $I$ il momento d'inerzia, supposto noto; da cui $\omega_1=\omega_0-f_dR/It_1$.
Nella seconda fase, da $t_1$ in poi il cilindro inizia a rotolare, agisce la sola forza di attrito statico $f_s$. Le equazioni del moto in questa seconda fase dovrebbero essere:
$-f_s=Ma_(CM)$
$-f_sR=I\alpha$
$a_(CM)=\alphaR$
Come utilizzare la condizione per il puro rotolamento $f_s<=\mu_sMg$?...le suddette equazioni non mi portano da nessuna parte: non riesco a ricavare $f_s$ in funzione dei dati...del resto nel testo è presente un solo coefficiente d'attrito, forse si capirà quale sia, se statico o dinamico, dopo aver capito come svolgere il problema...qualche idea?
Risposte
Aggiungo anche che nella prima fase il momento d'inerzia dovrebbe essere diverso da quello della seconda fase, visto che cambia l'asse di rotazione, infatti se $\omega(t_1^-)=\omega(t_1^+)$ (perchè ci sia un gradino in $\omega(t)$ dovrebbe esserci un'accelerazione angolare infinita in $t_1$) allora $E_k(t_1^-)=1/2I_1\omega_1^2=1/2MR^2\omega_1^2+1/2I_2\omega_1^2=E_k(t_1^+)$ solo se $I_1!=I_2$ anche se non so a cosa possa servire ciò...
Direi che il problema si riconduce a un problema, forse più semplice, del tipo: ho una ruota che rotola con velocità $\omega_0$, se lasciata libera di rotolare, dopo quanto tempo si ferma? In questo modo trovo la relazione tra $f_s$ e $\omega(t)$, e andando "al contrario" aumentando $\omega$ arrivo al punto in cui la ruota non rotola più ma striscia, quando cioè $f_s(\omega_1)=\muMg$, così ottengo la condizione su $\omega_1$ e posso ottenere $t_1$.
Eureka! Forse ho trovato…la prima equazione che mancava, nella prima fase, è:
$Ma_(CM)=f_d$
Erroneamente pensavo che il centro di massa del cilindro, venendo a contatto con il piano stesse fermo, mentre il cilindro striscia ruotando, invece inizia a muoversi accelerando in direzione della forza d’attrito!
Inoltre, perché vi sia rotolamento la velocità $v_P=v_(CM)(t)+\omega(t)R$ del punto di contatto deve essere nulla.
Ricaviamo quindi (essendo $v_(CM)(0)=0$)
$v_(CM)(t)=(f_d/M)t$ da cui se non ho sbagliato i conti
$0= v_(CM)(t_1)+\omega(t_1)R =>t_1=R\omega_0/(f_dR^2/I-f_d/M)$
A questo punto mi chiedo, cosa accade nella seconda fase? Quanto vale la forza d'attrito $f_s$? Quando è presente una forza trainante essa è proporzionale alla forza stessa, in questo caso in cui non è presente alcuna forza, per caso è $f_s=\mu_sMg$ da cui si può facilmente calcolare $\alpha$, il tempo e lo spazio d'arresto?
$Ma_(CM)=f_d$
Erroneamente pensavo che il centro di massa del cilindro, venendo a contatto con il piano stesse fermo, mentre il cilindro striscia ruotando, invece inizia a muoversi accelerando in direzione della forza d’attrito!
Inoltre, perché vi sia rotolamento la velocità $v_P=v_(CM)(t)+\omega(t)R$ del punto di contatto deve essere nulla.
Ricaviamo quindi (essendo $v_(CM)(0)=0$)
$v_(CM)(t)=(f_d/M)t$ da cui se non ho sbagliato i conti
$0= v_(CM)(t_1)+\omega(t_1)R =>t_1=R\omega_0/(f_dR^2/I-f_d/M)$
A questo punto mi chiedo, cosa accade nella seconda fase? Quanto vale la forza d'attrito $f_s$? Quando è presente una forza trainante essa è proporzionale alla forza stessa, in questo caso in cui non è presente alcuna forza, per caso è $f_s=\mu_sMg$ da cui si può facilmente calcolare $\alpha$, il tempo e lo spazio d'arresto?
Ho cercato di approfondire e pare che se non agiscono forze sul cilindro durante il puro rotolamento, questo continua a ruotare a velocità $v_(CM)$ e $\omega$ costanti, indefinitamente, come se non agissero forze...ciò mi sembra un controsenso...se non c'è forza d'attrito non ci dovrebbe essere rotolamento, eppure c'è! Ho letto inoltre che si ammette questa situazione a condizione di trascurare l'attrito volvente...in che modo quest'ultimo influisce sul moto?
Senza trascurare nulla, cioè, quando si ferma il cilindro?
Spero che qualcuno intervenga perchè mi sento un po' solo
Senza trascurare nulla, cioè, quando si ferma il cilindro?
Spero che qualcuno intervenga perchè mi sento un po' solo
"calolillo":
Ho pensato di dividere il moto in due fasi: la prima fase in cui il cilindro striscia e non rotola in cui la velocità angolare diminuisce da $\omega(0)=\omega_0$ a...
Intanto, come giustifichi il fatto che, nel momento in cui il cilindro interagisce con il piano orizzontale, la velocità angolare non cambia?
Un cilindro che rotola senza strisciare su un piano non ha bisogno di alcun attrito, anche se spesso l'attrito è necessario per far sì che si inneschi il moto di rotolamento puro. Pensa ad esempio ad un cilindro lanciato, senza imprimere alcuna rotazione, su un piano con attrito: prima striscerà poi l'attrito farà sì che si inneschi una rotazione e quindi un rotolamento, e alla fine il cilindro rotolerà senza strisciare.
In queste condizioni il cilindro non si fermerebbe mai.
In realtà il cilindro si fermerà principalmente per due effetti: il primo è il fatto che il cilindro e/o il piano si deformano un poco nel punto di contatto (quindi il contatto in questo caso non sarà su una linea, ma su un superficie), questo è quello che innesca il cosiddetto attrito di rotolamento o volvente, il secondo è l'attrito dell'aria.
Nel problema posto qui ti consiglio di utilizzare l'equazione di conservazione del momento angolare rispetto ad un punto sul piano orizzontale: infatti quel momento angolare, immediatamente prima il contatto col piano e dopo che si è innescato il moto di rotolamento puro, deve conservarsi....
In queste condizioni il cilindro non si fermerebbe mai.
In realtà il cilindro si fermerà principalmente per due effetti: il primo è il fatto che il cilindro e/o il piano si deformano un poco nel punto di contatto (quindi il contatto in questo caso non sarà su una linea, ma su un superficie), questo è quello che innesca il cosiddetto attrito di rotolamento o volvente, il secondo è l'attrito dell'aria.
Nel problema posto qui ti consiglio di utilizzare l'equazione di conservazione del momento angolare rispetto ad un punto sul piano orizzontale: infatti quel momento angolare, immediatamente prima il contatto col piano e dopo che si è innescato il moto di rotolamento puro, deve conservarsi....
"speculor":
Intanto, come giustifichi il fatto che, nel momento in cui il cilindro interagisce con il piano orizzontale, la velocità angolare non cambia?
Ti riferisci alla fase di puro rotolamento? Penso che sia perchè la forza d'attrito statica non compie lavoro, visto che agisce su un punto fermo, e l'energia cinetica debba necessariamente conservarsi...
"Faussone":
Nel problema posto qui ti consiglio di utilizzare l'equazione di conservazione del momento angolare rispetto ad un punto sul piano orizzontale: infatti quel momento angolare, immediatamente prima il contatto col piano e dopo che si è innescato il moto di rotolamento puro, deve conservarsi....
Sei stato chiarissimo Faussone per quanto riguarda l'attrito nel puro rotolamento, non ho capito invece quale relazione usi con il principio di conservazione del momento angolare
"calolillo":
Ti riferisci alla fase di puro rotolamento?
No, mi riferivo all'istante in cui la superficie laterale del cilindro comincia a toccare il piano. Come giustifichi il fatto che la velocità angolare non cambia rispetto a quando il cilindro ruotava attorno al proprio asse?
Vediamo se ho capito...all'istante $0^+$ la velocità angolare è $\omega_0$, mi chiedi se posso tranquillamente affermare che sia $\omega_0$ anche all'istante $0^-$? Secondo me sì, perchè se non fosse così vuol dire che all'istante 0 ci sarebbe una forza, nonchè un'accelerazione angolare, di ampiezza infinita che faccia compiere un "salto" alla funzione $\omega(t)$, cioè $\omega(t)$ è in ogni caso una funzione continua del tempo...dall'istante $0^+$ in poi chiaramente diminuisce per la presenza della forza d'attrito dinamico
"calolillo":
...all'istante $0^+$ la velocità angolare è $\omega_0$, mi chiedi se posso tranquillamente affermare che sia $\omega_0$ anche all'istante $0^-$?
Ok. Solo un appunto: forse intendevi dire "all'istante $0^-$ la velocità angolare è $\omega_0$, mi chiedi se posso tranquillamente affermare che sia $\omega_0$ anche all'istante $0^+$?" Insomma, credo che tu abbia confuso i due intorni.
"calolillo":
...non ho capito invece quale relazione usi con il principio di conservazione del momento angolare
Il momento angolare del cilindro rispetto ad un punto sul piano immediatamente prima che il cilindro tocchi il piano è uguale a quello quando il cilindro rotola senza strisciare, in quanto l'unica forza che interviene sul cilindro è l'attrito sul piano che non dà momento rispetto al punto considerato.
Questa relazione ti consente di determinare la velocità angolare del cilindro quando inizia il moto di puro rotolamento e da lì è facile ricavare il resto.
"speculor":
[quote="calolillo"]
...all'istante $0^+$ la velocità angolare è $\omega_0$, mi chiedi se posso tranquillamente affermare che sia $\omega_0$ anche all'istante $0^-$?
Ok. Solo un appunto: forse intendevi dire "all'istante $0^-$ la velocità angolare è $\omega_0$, mi chiedi se posso tranquillamente affermare che sia $\omega_0$ anche all'istante $0^+$?" Insomma, credo che tu abbia confuso i due intorni.[/quote]
Beh
dai dati sembra essere nota la velocità $\omega(0^+)$ "...con velocità angolare $\omega_0$ quando la sua superficie laterale è posta su un piano orizzontale...", è per questo che ho scritto quello che ho scritto
Ad ogni modo questo mi è stato sempre chiaro, il problema non era capire cosa accadesse in $t=0$ ma in $t=t_1$, istante in cui inizia il puro rotolamento, non capivo 1.quali erano le forze in gioco, nella seconda fase, cioè da $t_1$ in poi e 2.come dovevo impostare il problema nella prima fase, cioè da quando entra in gioco la forza d'attrito dinamico ($t=0^+$) a $t_1$, cosa accade prima di $t=0$ credo non abbia alcuna importanza, almeno per come, forse erroneamente, ho impostato poi io il problema...spero di non essere stato troppo prolisso
"Faussone":
[quote="calolillo"]
...non ho capito invece quale relazione usi con il principio di conservazione del momento angolare
Il momento angolare del cilindro rispetto ad un punto sul piano immediatamente prima che il cilindro tocchi il piano è uguale a quello quando il cilindro rotola senza strisciare, in quanto l'unica forza che interviene sul cilindro è l'attrito sul piano che non dà momento rispetto al punto considerato.
Questa relazione ti consente di determinare la velocità angolare del cilindro quando inizia il moto di puro rotolamento e da lì è facile ricavare il resto.[/quote]
Grazie Faussone tutto chiaro, tnx
Interpreto $[t=0]$ come l'istante in cui il cilindro tocca il piano. Per questo motivo è nota la velocità angolare per $[t->0^-]$.
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