Rotolamento - PROBLEMA
Buongiorno, vi scrivo non per sapere come si svolge un esercizio ma per capire se le soluzioni che mi sono state date sono inesatte:
TESTO:
Un cilindro di massa $m=20,00Kg$ e raggio $R=0,10$ m è posto su un piano orizzontale. Al contatto tra cilindro e piano è presente una forza di attrito con un coefficente statico $ μ=0,2.$
a) Quale è il massimo valore della coppia $τ$ (costante) che si puo applicare all'asse del cilindro affinchè questi rotoli senza strisciare?
SOLUZIONI:
a) Dalla prima equazione cardinale si ottiene $Ma = fR$ e dalla seconda, prendendo come polo per il calcolo dei momenti il punto di contatto tra cilindro e piano, $3/2MR^2α = τ$ dove si è tenuto conto che il momento di una coppia non dipende dal polo. D'altra parte la condizione di rotolamento puro impone $α=aR$ con $a = fR/M$ e poi mi viene data la formula finale.
MIO PARERE:
Tralasciando il modo in cui è spiegato che lascia a desiderare, secondo me non può considerare il polo come il punto di contatto, se non la forza di attrito non esercita un momento, di conseguenza utilizza un momento di inerzia sbagliato. Io considerei come asse di rotazione quello passante per il centro di massa del cilindro.
Spero che mi possiate essere d'aiuto! =) Grazie in anticipo!
TESTO:
Un cilindro di massa $m=20,00Kg$ e raggio $R=0,10$ m è posto su un piano orizzontale. Al contatto tra cilindro e piano è presente una forza di attrito con un coefficente statico $ μ=0,2.$
a) Quale è il massimo valore della coppia $τ$ (costante) che si puo applicare all'asse del cilindro affinchè questi rotoli senza strisciare?
SOLUZIONI:
a) Dalla prima equazione cardinale si ottiene $Ma = fR$ e dalla seconda, prendendo come polo per il calcolo dei momenti il punto di contatto tra cilindro e piano, $3/2MR^2α = τ$ dove si è tenuto conto che il momento di una coppia non dipende dal polo. D'altra parte la condizione di rotolamento puro impone $α=aR$ con $a = fR/M$ e poi mi viene data la formula finale.
MIO PARERE:
Tralasciando il modo in cui è spiegato che lascia a desiderare, secondo me non può considerare il polo come il punto di contatto, se non la forza di attrito non esercita un momento, di conseguenza utilizza un momento di inerzia sbagliato. Io considerei come asse di rotazione quello passante per il centro di massa del cilindro.
Spero che mi possiate essere d'aiuto! =) Grazie in anticipo!
Risposte
te come polo per la seconda cardinale puoi scegliere un punto qualunque...ovviamente alcuni punti sono più vantaggiosi di altri.
quel momento di inerzia inoltre non è scorretto. sai cosa è un atto di moto?? si, no....bè comunque l'atto di moto di un cerchio che rotola senza strisciare su di un pavimento è rotatorio intorno la punto di contatto. quindi diciamo in ogni istante è come se ci fosse incernierato col pavimento....poi vabbè il punto di contatto cambia, ma la storia si ripete. il momento di inerzia quindi non è scorretto. il valore che probabilmente te conosci, cioè $1/2 m r^2$ è il valore del momento di inerzia BARICENTRICO, cioè che un cerchio ha se ruota intorno al baricentro. ma in questo caso non ci ruota!
non ci credi? una piccola dimostrazione, quando un corpo ruota intorno a un punto la velocità di ogni suo punto deve essere perpendicolare al raggio che congiunge il centro di rotazione al punto. se prendi un punto a caso del cerchio non è così, in quanto la sua velocità è somma di una componente rotazionale più una traslazionale. Ciò accade se prendi il punto di contatto invece.
per calcolati il momento di inerzia quindi usi il teorema di HS dato che quello baricentrico lo conosci.
tutte le forze in gioco poi non devono fare momento, fanno momento o meno in base al polo che si sceglie!
un ulteriore conferma del fatto che il modo del libro/prof sia corretto la hai se il risultato che ti torna a te nel tuo modo è il solito
quel momento di inerzia inoltre non è scorretto. sai cosa è un atto di moto?? si, no....bè comunque l'atto di moto di un cerchio che rotola senza strisciare su di un pavimento è rotatorio intorno la punto di contatto. quindi diciamo in ogni istante è come se ci fosse incernierato col pavimento....poi vabbè il punto di contatto cambia, ma la storia si ripete. il momento di inerzia quindi non è scorretto. il valore che probabilmente te conosci, cioè $1/2 m r^2$ è il valore del momento di inerzia BARICENTRICO, cioè che un cerchio ha se ruota intorno al baricentro. ma in questo caso non ci ruota!
non ci credi? una piccola dimostrazione, quando un corpo ruota intorno a un punto la velocità di ogni suo punto deve essere perpendicolare al raggio che congiunge il centro di rotazione al punto. se prendi un punto a caso del cerchio non è così, in quanto la sua velocità è somma di una componente rotazionale più una traslazionale. Ciò accade se prendi il punto di contatto invece.
per calcolati il momento di inerzia quindi usi il teorema di HS dato che quello baricentrico lo conosci.
tutte le forze in gioco poi non devono fare momento, fanno momento o meno in base al polo che si sceglie!
un ulteriore conferma del fatto che il modo del libro/prof sia corretto la hai se il risultato che ti torna a te nel tuo modo è il solito
Grazie di aver risposto.
Sisi nel rotolamento so che il punto di contatto è fermo e tutte le cose corrette che mi ha scritto le conosco, solo che qualcosa non mi quadra:
Considerando il moto di puro rotolamento, posso osservare che è la composizione di due moti: traslatorio e rotatorio (attorno all'asse baricentrico) e quindi secondo questa osservazione mi verrebbe da pensare che sia da utilizzare il momento di inerzia $1/2mr^2$.
Se considero come polo il punto di contatto, allora la forza di attrito non può esercitare un momento torcente, proprio perchè è applicata nel polo, non nel centro di massa.
C'è qualcosa nel modello che non mi quadra!
Sisi nel rotolamento so che il punto di contatto è fermo e tutte le cose corrette che mi ha scritto le conosco, solo che qualcosa non mi quadra:
Considerando il moto di puro rotolamento, posso osservare che è la composizione di due moti: traslatorio e rotatorio (attorno all'asse baricentrico) e quindi secondo questa osservazione mi verrebbe da pensare che sia da utilizzare il momento di inerzia $1/2mr^2$.
Se considero come polo il punto di contatto, allora la forza di attrito non può esercitare un momento torcente, proprio perchè è applicata nel polo, non nel centro di massa.
C'è qualcosa nel modello che non mi quadra!
la faccenda non è semplice, e ti dico la verità, io, studente di ing meccanica, l'ho circa chiara dopo un corso di mecc razionale. sappi comunque che nel caso di moti piani non esistono moti rototraslatori. il fatto deriva appunto dal fatto che viene definito un centro di istantanea rotazione rispetto al quale istante per istante l'atto di moto del corpo è rotatorio. se prendi per buono quello che ho detto ti rendi conto che questo centro di istantanea rotazione nel nostro caso è il famoso punto di contatto.
te lo ripeto tutte le forze in gioco fanno momento se il loro prodotto vettore con il braccio è diverso da zero. se è nullo meglio! un termine in meno.
poi quello che hai detto all'inizio è in contraddizione. se mi dai retta col fatto che ruota intorno al punto di contatto, come puoi dire che ruota intorno al baricentro? intorno a quante cose ruota?? XD
non può ruotare intorno al baricentro per motivi che ho già spiegato.
te lo ripeto tutte le forze in gioco fanno momento se il loro prodotto vettore con il braccio è diverso da zero. se è nullo meglio! un termine in meno.
poi quello che hai detto all'inizio è in contraddizione. se mi dai retta col fatto che ruota intorno al punto di contatto, come puoi dire che ruota intorno al baricentro? intorno a quante cose ruota?? XD
non può ruotare intorno al baricentro per motivi che ho già spiegato.
"DiabolicCentre":
Se considero come polo il punto di contatto, allora la forza di attrito non può esercitare un momento torcente, proprio perchè è applicata nel polo, non nel centro di massa.
C'è qualcosa nel modello che non mi quadra!
Aspetta un attimo !
Il momento torcente (la coppia) non viene dalla forza d'attrito in questo caso.
La coppia arriva da "qualcosa" di cui qui non ci preoccupiamo. Puo' essere un ingranaggio, una catena, etc.
Cosa ti dice il problema ?
a) Quale è il massimo valore della coppia (costante) che si puo applicare all'asse del cilindro affinchè questi rotoli
senza strisciare?
Non ti dice: Dire qual è il massimo valore della forza applicata al cilindro !
Pensa a uno che va in bicicletta.
La coppia arriva da "dentro" al sistema bici+ciclista. Da fuori non c'è nulla che genera coppia. O meglio ancora, la forza d'attrito genera un momento nel senso opposta a quello di rotazione della ruota.
Prendiamo la bici, che si presta bene a questo studio.
Orientiamo tutte le forze secondo un sistema di assi cartesiano, disposto come al solito (x punta a dx, y verso l'alto, z esce dal foglio). La bici avanza verso dx.
I versi di rotazione sono tutti in senso ORARIO (verso reale di rotazione delle ruote, ma i momenti sono tutti orientati secondo l'asse z).
Guardiamo la ruota posteriore.
Attraverso la catena arriva una coppia $\bb M = M\bb(u_z),\ \ \ \ M<0$.
Dal suolo arriva la forza d'attrito $\bb(F_a) = F_a\bb(u_x)$.
La forza d'attrito è orientata nel verso positivo delle x, ma per ora non lo sappiamo, è solo un'ipotesi.
Calcoliamo per bene il momento di $\bb(F_a)$
$\bb(M_a) = \bbr \times \bb(F_a)$
Usando la regola della mano destra, se $\bb(F_a)$ punta a destra, $\bb(M_a)$ punta verso l'asse delle z, cioè nel verso opposto alla coppia motrice $\bbM$ !!!
Adesso abbiamo considerati tutte le forze che generano coppia, ma manca qualcosa. Manca la seconda legge di Newton: $m\bba = \sum\bbF$. Qui abbiamo solo una forza, $\bb(F_a)$.
Dalla catena non arriva nessuna forza, o meglio qualunque insieme di forze che arriva dalla catena ha risultante zero. E come mai ? Perchè sono solo forze interne. L'unico modo per il ciclista di accelerare senza usare i pedali sarebbe di mettere un piede a terra.
Allora dalla II legge scriviamo $m\bba =\bb(F_a)$.
$\bbM+\bb(M_a) = I\bb\alpha$
$\bb(M_a) = r \bb(F_a)$
$\bba/r=-\bb\alpha$ (occhio ai versi)
$\bbM+r \bb(F_a) = -1/2mr^2\bba/r$
$m\bba =\bb(F_a)$
$\bbM+r m\bba = -1/2mr^2\bba/r$
$\bbM = -1/2mr\bba-r m\bba$
$\bbM = -3/2mr\bba$
Morale della favola: siccome $\bb M = M\bb(u_z),\ \ \ \ M<0$, allora $\bba$ va a destra (nulla di nuovo). Ma anche $\bb(F_a)$ punta verso dx. Quindi l'attrito si oppone alla coppia motrice !!!
(NB Ho supposto che il resto della bici non abbia massa)
Adesso vediamo cosa succede alla ruota anteriore:
le equazioni sono le stesse, non cambiano e non si capisce perchè dovrebbero cambiare. Tranne che $\bbM = \bb0$, non c'è coppia motrice nella ruota anteriore (bella scoperta), mentre tramite il mozzo della ruota arriva una forza che spinge verso dx, che chiamiamo $\bbF$.
Riscriviamo le stesse equazioni (occhio alle piccole differenze):
$\bb(M_a) = I\bb\alpha$
$\bb(M_a) = r \bb(F_a)$
$\bba/r=-\bb\alpha$ (occhio ai versi)
$r \bb(F_a) = -1/2mr^2\bba/r$
$m\bba =\bb(F_a)+\bbF$
$\r (m\bba-\bbF) = -1/2mr^2\bba/r$
$\bbF = 1/2m\bba+ m\bba$
$\bbF = 3/2m\bba$
Quindi l'accelerazione $\bba$ ha lo stesso verso di $\bbF$. Fin qui nulla di sorprendente.
Ma attenzione adesso alla $\bb(F_a)$
$m\bba =\bb(F_a)+\bbF$
$\bb(F_a)=-1/2m\bba $
$\bb(F_a)$ ha verso opposto ad $\bba$ !!! Non hanno lo stesso verso.
Quindi occhio a dire che l'attrito genera la coppia.
L'attrito nella ruota posteriore ha verso opposto a quello della ruota anteriore.
Nella ruota posteriore l'attrito si oppone al moto rotatorio, nella ruota anteriore l'attrito "aiuta" il moto rotatorio (è la sola forza a generarlo).
Spero che le nebbie inizino a diradarsi.
Buona pedalata a tutti...
Si, si sta diradando, grazie ad entrambi della disponibilità!
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