Rotolamento di una biglia su guida circolare con attrito
Se ho una pallina r che rotola su una guida semicircolare di raggio R e con un coefficiente di attrito di mu_c, come scrivo la II equazione della dinamica? Dovrei infatti considerare che ci sono DUE rotazioni: una rotazione dovuta al movimento nella guida attorno a un asse di rotazione posta al centro su di essa, e una rotazione propria della pallina su se stessa, che posso considerare attorno a un asse mobile passante per il centro della biglia. Come scrivo in questo caso
$\tau=I\alpha$?
Saprei scrivere effettivamente il momento della palla se RUOTASSE SOLO SU SE STESSO (nell'ipotesi che la guida fosse piatta)
$\mu_c mg r = 2/5 mr^2 \alpha$
e saprei scrivere il momento della palla se ruotasse SOLO ATTORNO ALLA GUIDA, e quindi sostanzialmente SCIVOLANDO SULLA GUIDA senza rotolare
$mgR\cos\theta =( 2/5 mr^2 + m(R-r)^2)\alpha$
ma come posso combinarmi i due moti?
$\tau=I\alpha$?
Saprei scrivere effettivamente il momento della palla se RUOTASSE SOLO SU SE STESSO (nell'ipotesi che la guida fosse piatta)
$\mu_c mg r = 2/5 mr^2 \alpha$
e saprei scrivere il momento della palla se ruotasse SOLO ATTORNO ALLA GUIDA, e quindi sostanzialmente SCIVOLANDO SULLA GUIDA senza rotolare
$mgR\cos\theta =( 2/5 mr^2 + m(R-r)^2)\alpha$
ma come posso combinarmi i due moti?
Risposte
Non riesco a capire di quale attrito si tratta. Se è un attrito di tipo radente, allora serve soltanto ad assicurare la coerenza tra moto di traslazione e moto di rotazione, non compie lavoro quindi non influenza il moto se non mantenendo fermo il punto di contatto tra la pallina e la rotaia.
Allora per il momento preferisco considerarlo in questo senso.
Se è così, mi sembra sufficiente considerare il moto di rotazione della pallina attorno al punto di contatto con la rotaia, perché è un punto fermo, dunque non ruota con la rotaia, per cui basta valutare il momento di inerzia della pallina rispetto a questo, ovvero $I=2/5mr^2+mr^2$. Il momento della forza peso rispetto al medesimo polo è $\tau=mgrsin\theta$. E questo è tutto, infatti avendo fissato il polo sul punto di contatto la reazione del vincolo non produce momenti.
Allora per il momento preferisco considerarlo in questo senso.
Se è così, mi sembra sufficiente considerare il moto di rotazione della pallina attorno al punto di contatto con la rotaia, perché è un punto fermo, dunque non ruota con la rotaia, per cui basta valutare il momento di inerzia della pallina rispetto a questo, ovvero $I=2/5mr^2+mr^2$. Il momento della forza peso rispetto al medesimo polo è $\tau=mgrsin\theta$. E questo è tutto, infatti avendo fissato il polo sul punto di contatto la reazione del vincolo non produce momenti.
Tutto ciò però sembras non dipendere dal raggio R della guida circolare...eppure l'aderenza alla guida non dovrebbe essere garantita dalla forza centrifuga $\vec F=\vec \omega^2 R$?
Un altra cosa, questo procedimento sembra contenere l'ipotesi di un moto ESCLUSIVAMENTE rotatorio...a me invece piacerebbe capire cosa fa la pallina IN FUNZIONE della forza di attrito tra guida e pallina...per questo avrei preferito usare come asse di rotazione quello passante per il centro di massa della pallina...vorrei scoprire di quanto ruota e di quanto trasla...
consapevole di aver scritto degli spropositi nel mio primo post (stanchezza) vorrei proporre una considerazione.
Consideriamo una pallina che rotola su un PIANO INCLINATO di un certo angolo $\theta$, e che il coefficiente della forza di attrito sia $\mu_c$
Il centro di massa trasla secondo l'equazione
$a = g\sin\theta-\mu_c mg\cos\theta$
e ruota secondo l'equazione
$\alpha=\tau/I=(\mu_c mgr)/(2/5 mr^2)$
Ora, è palese che che una guida semicircolare di raggio R consiste in una serie di "pezzettini infinitesimi" di piani inclinati con theta che varia da $-\pi/2$ a $\pi/2$. Ogni tratto ovviamente ha un accelerazione diversa (fondamentalmente perchè cambia la direzione della forza centrifuga). E' usabile quest'idea?
Un altra cosa, questo procedimento sembra contenere l'ipotesi di un moto ESCLUSIVAMENTE rotatorio...a me invece piacerebbe capire cosa fa la pallina IN FUNZIONE della forza di attrito tra guida e pallina...per questo avrei preferito usare come asse di rotazione quello passante per il centro di massa della pallina...vorrei scoprire di quanto ruota e di quanto trasla...
consapevole di aver scritto degli spropositi nel mio primo post (stanchezza) vorrei proporre una considerazione.
Consideriamo una pallina che rotola su un PIANO INCLINATO di un certo angolo $\theta$, e che il coefficiente della forza di attrito sia $\mu_c$
Il centro di massa trasla secondo l'equazione
$a = g\sin\theta-\mu_c mg\cos\theta$
e ruota secondo l'equazione
$\alpha=\tau/I=(\mu_c mgr)/(2/5 mr^2)$
Ora, è palese che che una guida semicircolare di raggio R consiste in una serie di "pezzettini infinitesimi" di piani inclinati con theta che varia da $-\pi/2$ a $\pi/2$. Ogni tratto ovviamente ha un accelerazione diversa (fondamentalmente perchè cambia la direzione della forza centrifuga). E' usabile quest'idea?
"newton_1372":
Il centro di massa trasla secondo l'equazione
$a = g\sin\theta-\mu_c mg\cos\theta$
e ruota secondo l'equazione
$\alpha=\tau/I=(\mu_c mgr)/(2/5 mr^2)$
Ora, è palese che che una guida semicircolare di raggio R consiste in una serie di "pezzettini infinitesimi" di piani inclinati con theta che varia da $-\pi/2$ a $\pi/2$. Ogni tratto ovviamente ha un accelerazione diversa (fondamentalmente perchè cambia la direzione della forza centrifuga). E' usabile quest'idea?
Non cambia molto nelle equazioni che hai considerato pensando al piano inclinato o alla guida circolare.
Ovviamente nel caso di guida circolare $theta$ non è constante e ha una relazione precisa con le coordinate spaziali $x$ e $y$.
Comunque nella equazione dei momenti che hai scritto c'è un errore... hai notato infatti che manca la dipendenza da $theta$?
SI infatti manca la dipendenza da theta...vediamo un pò
$\alpha=\tau/I=(\mu_c N r)/(2/5 mr^2)=(\mu_c mg\cos\theta r)/(2/5 mr^2)$
MI sembra strano che però non c'entri niente il raggio R della guida...possibile che se la guida avesse raggio maggiore o minore l'accelerazione angolare sarebbe la stessa?!
$\alpha=\tau/I=(\mu_c N r)/(2/5 mr^2)=(\mu_c mg\cos\theta r)/(2/5 mr^2)$
MI sembra strano che però non c'entri niente il raggio R della guida...possibile che se la guida avesse raggio maggiore o minore l'accelerazione angolare sarebbe la stessa?!
In realtà qualche dipendenza dal raggio c'è. L'accelerazione angolare infatti, a differenza del piano inclinato, non è costante, perché $theta$ non è costante: la "velocità" di variazione di $theta$ dipende dal raggio della guida.
Infatti dalla relazione che lega la posizione angolare della biglia sulla guida circolare alla velocità angolare di rotazione della biglia entra il raggio della guida.
Infatti dalla relazione che lega la posizione angolare della biglia sulla guida circolare alla velocità angolare di rotazione della biglia entra il raggio della guida.
Come posso scrivere la variazione dell'accelerazione angolare in funzione del raggio?
Imponendo che la velocità del centro della biglia sia la stessa vista in termini di velocità angolare della biglia e in termini di velocità angolare del baricentro della biglia rispetto al centro della guida.
oddio che roba è...Theta primo è la velocità angolare (derivata di theta rispetto al tempo)...poi abbiamo quello strano (R-r) che è una sorta di "raggio"...alfa r sarebbe l'accelerazione lineare associata alla ROTAZIONE della pallina...da dove hai preso quella formula, e cosa rappresenta?
Corretto un piccolo errore e aggiunto la spiegazione.
Mi convince poco...in fondo non è assolutamente detto che la biglia si muova di moto perfettamente rototraslatorio..potrebbe essere alfa minore o maggiore di a/r. Cosa ci assicura che la velocità angolare del centro di massa della biglia attorno all'asse posta al centro della guida SIA la stessa della velocità angolare con cui la biglia rotola su se stessa lungo il percorso?
Ovviamente quella relazione vale se la biglia rotola senza strisciare! Nel caso ci sia strisciamento no.
Il raggio della guida comunque anche nel caso di strisciamento entrerebbe.
Dividi la prima equazione (delle forze) per $R$ per calcolare l'accelerazione angolare del centro della biglia.
Questa risolta (non facile da integrare però) ti dà $theta$ in funzione del tempo, che può essere impiegata nella seconda equazione, quella dei momenti, per calcolare la velocità angolare di rotazione della biglia in funzione del tempo.
Alla fine otterresti quindi le due posizione angolari (rotazione biglia su se stessa e rotazione centro biglia rispetto al centro della guida) in funzione del tempo e dipendenti anche da $R$.
Dividi la prima equazione (delle forze) per $R$ per calcolare l'accelerazione angolare del centro della biglia.
Questa risolta (non facile da integrare però) ti dà $theta$ in funzione del tempo, che può essere impiegata nella seconda equazione, quella dei momenti, per calcolare la velocità angolare di rotazione della biglia in funzione del tempo.
Alla fine otterresti quindi le due posizione angolari (rotazione biglia su se stessa e rotazione centro biglia rispetto al centro della guida) in funzione del tempo e dipendenti anche da $R$.
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