Roto-traslazioni nello spazio di Minkowski

[konan91]

Buonasera, mi ritrovo a dover risolvere dei problemi di cinematica relativistica, in particolare trovare velocita di un sistema di riferimento per il quale due eventi siano contemporanei o avvengano nello stesso posto.Il problema è che noi le traformazioni di lorentz generali non le abbiamo proprio trattate, quindi se si vuole risolvere un problema di questo genere bisogna ruotare il sistema di riferimento in modo tale che gli eventi cadano sull'asse x' (asse x ruotato).Qualcuno di voi sa dirmi se le trasformazioni nello S. di Minkowski godono di proprietà particolari rispetto allo spazio euclideo? (Per es. la norma può essere negativa, non so se può avere qualche ripercussione)
Vi volevo chiedere se mi sapete scrivere la matrice per una rotazione in 4d (ct,x,y,z), dato che googlando non ho trovato niente.

[Sk_Anonymous]

"torky":Buonasera, mi ritrovo a dover risolvere dei problemi di cinematica relativistica, in particolare trovare velocita di un sistema di riferimento per il quale due eventi siano contemporanei o avvengano nello stesso posto.

Scusa ma i riferimenti non sono dati in configurazione standard?

Il problema è che noi le traformazioni di lorentz generali non le abbiamo proprio trattate, quindi se si vuole risolvere un problema di questo genere bisogna ruotare il sistema di riferimento in modo tale che gli eventi cadano sull'asse x' (asse x ruotato).

Problema di "quale" genere? Due eventi contemporanei in $S'(t',x')$ giacciono su una parallela all'asse $x'$, ma non è tanto esatto chiamarlo "asse x ruotato" . L'asse x' è inclinato rispetto all'asse x di $arctgv$, così come l'asse $t'$ rispetto all'asse $t$.
Sinceramente, non ho compreso il tuo problema, anche perché in realtà non hai postato un problema.

Qualcuno di voi sa dirmi se le trasformazioni nello S. di Minkowski godono di proprietà particolari rispetto allo spazio euclideo? (Per es. la norma può essere negativa, non so se può avere qualche ripercussione)

Anche questa domanda mi lascia perplesso. Che cosa intendi per "proprietà rispetto allo spazio euclideo" ? Sai bene che la geometria nello ST di Minkowski è pseudo-euclidea, quindi…? È il quadri-intervallo, che può essere negativo, nullo, o positivo….io continuo a non capire i tuoi dubbi…

Vi volevo chiedere se mi sapete scrivere la matrice per una rotazione in 4d (ct,x,y,z), dato che googlando non ho trovato niente.

In questo link trovi la matrice di trasformazione per trasformazioni di L. non standard. Ma non considera rotazione.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation

[konan91]

Scusa ma i riferimenti non sono dati in configurazione standard?

Io ho due eventi che non sono contemporanei in S e voglio trovare la velocità per cui un S.R S' li veda nello stesso posto, sinceramento non ho capito cosa vuoi intendere.

Problema di "quale" genere? Due eventi contemporanei in S'(t',x') giacciono su una parallela all'asse x', ma non è tanto esatto chiamarlo "asse x ruotato" . L'asse x' è inclinato rispetto all'asse x di arctgv, così come l'asse t' rispetto all'asse t.
Sinceramente, non ho compreso il tuo problema, anche perché in realtà non hai postato un problema.

Tralasciando le tue considerazioni matematiche, il problema è che per risolvere questo problema, a meno di non ruotare gli assi, servono le trasformazioni generali di Lorentz, che noi on abbiamo trattato, e quindi non sono necessarie al fine della risoluzione dell'esercizio

In questo link trovi la matrice di trasformazione per trasformazioni di L. non standard. Ma non considera rotazione

Come ti ho detto, speravo trasparisse nella mia domanda, delle trasformazioni di lorentz generali non me ne faccio niente,
Quello che voglio sapere è la matrice che descrive una rotazione in 4 dimensioni, e se è applicabile allo spazio di minkowski.

[Sk_Anonymous]

"torky":
Io ho due eventi che non sono contemporanei in S e voglio trovare la velocità per cui un S.R S' li veda nello stesso posto, sinceramento non ho capito cosa vuoi intendere.

Be', qui la risposta è semplice. (Assumo per semplicità di scrittura $c = 1$ , quindi $t = ct$ è dimensionalmente omogeneo allo spazio).

Hai un riferimento $S(t, x)$ dove sono dati due eventi A e B, non contemporanei, quindi separati sia spazialmente che temporalmente: cioè esiste tra essi, in S, sia un $\Deltax$ diverso da zero che un $\Deltat$ diverso da zero. Questo vuol dire che l'intervallo spaziotemporale tra questi due eventi include sia una parte spaziale che una parte temporale:

$\Deltas^2 = - \Deltat^2 + \Deltax^2$ -----(1)

Vuoi trovare un riferimento $S'(t',x')$ in cui gli eventi A e B avvengano nello stesso posto. Vuol dire che in S' gli eventi devono essere separati solo temporalmente, cioè deve essere $\Deltat'$ diverso da zero, mentre NON devono essere separati spazialmente, quindi deve aversi $\Deltax' = 0$ . Perciò lo stesso intervallo spaziotemporale di prima (che come sai è invariante passando da un rif. inerziale a un altro in moto risp. al primo) ora è costituito dal solo termine temporale, quindi è espresso da :

$\Deltas^2 = - \Deltat'^2$ --------(2)

Questo vuol dire innanzitutto che l'intervallo spaziotemporale deve essere di genere "tempo" (sai che cosa vuol dire?), e cioè deve aversi $\Deltas^2 <0$.
La linea di universo che passa per entrambi gli eventi A e B può essere l'asse t' ( o parallela all'asse t') del riferimento S', a condizione che l'angolo tra asse t' e asse t sia inferiore a 45º: in un diagramma di Minkowski tracciato per $S(t,x)$ l'asse $t'$ forma con l'asse $t$ un angolo pari a : $arctgv$.
Cioè, la velocita $v$ dell'osservatore O' (solidale ad S') rispetto ad S, è data da : $v = (x_B-x_A)/(t_B-t_A)$, e deve essere inferiore a $c$ (avendo posto $c =1$ , deve essere $v<1$). È chiaro?

Questo si vede uguagliando (1) e (2) (introduco nuovamente $c$ per chiarezza) :

$-(c\Deltat)^2 + \Deltax^2 = - (c\Deltat')^2 $

cioe, ponendo $\Deltax = v*\Deltat$ :

$-(c\Deltat)^2 + (v*\Deltat)^2 = - (c\Deltat')^2 $

da cui : $ - (1 - v^2/c^2) * \Deltat^2 = - \Deltat'^2 $ -------(3)

la quantità in parentesi tonda deve essere positiva, cioè deve essere : $v Nota che la (3) ci dice che: $-(\Deltas)/c = \Deltat'$ , cioè a parte il segno e il fattore $1/c$, l'intervallo è uguale al tempo proprio di O' che intercorre tra i due eventi.

Se invece l'intervallo spaziotemporale tra gli eventi A e B non è di genere tempo, non ci può essere un asse t' che passi per entrambi gli eventi.
Ci vorrebbe un disegno del diagramma di Minkowski, per capire meglio.

Tralasciando le tue considerazioni matematiche, il problema è che per risolvere questo problema, a meno di non ruotare gli assi, servono le trasformazioni generali di Lorentz, che noi on abbiamo trattato, e quindi non sono necessarie al fine della risoluzione dell'esercizio

Infatti, non sono necessarie. Basta fare le considerazioni di cui sopra sull'intervallo invariante.

Come ti ho detto, speravo trasparisse nella mia domanda, delle trasformazioni di lorentz generali non me ne faccio niente,
Quello che voglio sapere è la matrice che descrive una rotazione in 4 dimensioni, e se è applicabile allo spazio di minkowski.

Non c'è tale matrice, che io sappia, o per lo meno non la conosco. Ma pure se ci fosse, non sarebbe applicabile allo spazio di Minkowski.

Ti ripeto : per il problema che hai accennato, non serve.

Faresti comunque meglio a postare il testo dl problema.

[konan91]

Ti ringrazio innanzi tutto della risposta, ma il problema che mi pongo io è se i due eventi abbiano in generale dimensione 3 o 4 (però credo tu mi abbia dato lo spunto per generalizzare) cioè del tipo $E=(t,x,y,z)$ (c=1)in questo caso l'equazione da te scritta diventa $\Deltas^2 = \Deltat^2 - \Deltax^2 - \Deltay^2 - \Deltaz^2$ (La norma noi la scriviamo al contrario rispetto a come la scrivi tu)

La condizione che il vettore debba essere di tipo tempo rimane la stessa (Scelta la norma con i segni cambiati si ha per $\Deltas^2>0$) cosi come che $(\Deltas')^2 = (\Deltat')^2$ però in questo caso la velocità deve avere tre componenti spaziali.Quindi, correggimi se sbaglio, a questo punto si ha $vec(v)=1/(t_B-t_A)(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ tenendo conto che l'angolo formato è sempre $arctg(v)$, e avendo chiamato con A e B i due eventi.

Ti propongo un esempio pratico, ho due eventi $A=(1,2,2,2)$ e $B=(6,4,4,4)$ il vettore $vec(AB)$ è di tipo tempo infatti la norma vale $25-12=13$, per quanto scritto sopra il vettore velocita è: $vec(v)=1/5(2,2,2)$ e quindi modulo $2sqrt(3)/5$, purtroppo non ho le soluzioni, ma il risultato mi sembra ragionevole (v
Credo che a questo punto, essendo sempre $arctg(v)$ l'angolo fra i due assi ($t,t'$), il discorso sia analogo se il vettore differenza sia di genere spazio, e si cerchi la velocità per cui li si veda contempornei.

[Sk_Anonymous]

"torky":Ti ringrazio innanzi tutto della risposta, ma il problema che mi pongo io è se i due eventi abbiano in generale dimensione 3 o 4 (però credo tu mi abbia dato lo spunto per generalizzare) cioè del tipo $ E=(t,x,y,z) $ (c=1)in questo caso l'equazione da te scritta diventa $ \Deltas^2 = \Deltat^2 - \Deltax^2 - \Deltay^2 - \Deltaz^2 $ (La norma noi la scriviamo al contrario rispetto a come la scrivi tu)

Lieve rettifica; un evento non ha "dimensione" 3 o 4, diciamo meglio : un evento è localizzato in un certo punto dello spazio, con 3 coordinate spaziali (in un dato riferimento $S(x,y,z)$ di un osservatore inerziale O) e in un certo istante del tempo $t$ segnato dall'orologio di O . Quindi le coordinate spaziotemporali dell'evento sono 4, ma in questo senso ora precisato.
LA norma del 4-vettore si può indicare con i segni opposti, come dici, perché come sai non c'è accordo su come assumere la segnatura della metrica. Io seguo Schutz, Wheeler, Hartle e altri, che assumono la segnatura $(-,+,+,+)$ , col segno negativo al termine temporale, mente altri assumono la segnatura opposta, come hai detto tu.
MA non cambia nulla, l'importante è capirsi quando si parla di 4-vettori di genere tempo (come la 4-velocità e il 4- impulso) o di genere spazio, come la 4-accelerazione.

La condizione che il vettore debba essere di tipo tempo rimane la stessa (Scelta la norma con i segni cambiati si ha per $ \Deltas^2>0 $) cosi come che $ (\Deltas')^2 = (\Deltat')^2 $ ……

Perfetto, ok. Naturalmente il 4-intervallo è invariante, non c'è bisogno di apice nel sistema con apice!

…..però in questo caso la velocità deve avere tre componenti spaziali.Quindi, correggimi se sbaglio, a questo punto si ha $ vec(v)=1/(t_B-t_A)(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) $ tenendo conto che l'angolo formato è sempre $ arctg(v) $, e avendo chiamato con A e B i due eventi.

Perfetto. LA velocità di $O'$ rispetto ad $S$ può avere tre componenti, e si ha per il suo modulo : $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = ((dl)/(dt))^2 $ , con ovvio significato.
Ma non cambia niente rispetto a quello che ti ho scritto io. Basta che, in quello che ho scritto, al posto di $\Deltax$ metti $\Deltal = sqrt(\Deltax^2 + Deltay^2 + \Deltaz^2) $ , dove per $l$ si intende "la coordinata spazio" , che quindi rimane sempre una sola, insieme con la coordinata tempo, nel "piano" di Minkowski.

Ti propongo un esempio pratico, ho due eventi $ A=(1,2,2,2) $ e $ B=(6,4,4,4) $ il vettore $ vec(AB) $ è di tipo tempo infatti la norma vale $ 25-12=13 $, per quanto scritto sopra il vettore velocita è: $ vec(v)=1/5(2,2,2) $ e quindi modulo $ 2sqrt(3)/5 $, purtroppo non ho le soluzioni, ma il risultato mi sembra ragionevole (v

È esattissimo! Quella è la norma (al quadrato, ovvio!), quella è la velocità tridimensionale, e il vettore $AB$ è di genere tempo, quindi esiste l'osservatore $O'$ il cui asse $t'$ passa per entrambi gli eventi A e B. Vuol dire (a beneficio di chi legge) che i due eventi avvengono per O' nello stesso punto dello spazio, in diversi istanti del suo tempo proprio.

Credo che a questo punto, essendo sempre $ arctg(v) $ l'angolo fra i due assi ($ t,t' $), il discorso sia analogo se il vettore differenza sia di genere spazio, e si cerchi la velocità per cui li si veda contemporanei.

Esattamente! I due eventi in questo caso, per essere contemporanei rispetto ad O', devono giacere su una "retta di contemporaneità" di O', che come sai è disposta simmetricamente all'asse $t'$ rispetto alla linea luce, bisettrice del 1º quadrante. Nota che lo stesso angolo $arctgv$ si ha tra l'asse $x'$ e $x$ ( ovvero, $l'$ ed $l$ !!).

Bene Torky! Allora come vedi non occorrono tr. di Lorentz a 4 dimensioni.

[konan91]

Meno male che non servono, la matrice che le descrive è una bella bestia.Comunque grazie ancora.Ciao!