Rotazioni infinitesime

[5mrkv]

Siano $M_a$ e $M_b$ le matrici associate a due trasformazioni infinitesime. L'azione successiva di queste su un vettore $R$ può essere scritta come $R'=M_aR$ e $R''=M_bR'$ e quindi $R''=M_b(M_aR)=(M_bM_a)R$ per la proprietà associativa del prodotto fra matrici. Ora, l'effetto di una rotazione infinitesima su un vettre $R$ può essere scritta anche utilizzando $M_a$ ed $M_b$ scritti in forma vettriale: $R'=R+V_a \times R$ e $R''=R'+V_b \times R'$. Sostituendo abbiamo $R''=R+V_a \times R+V_b \times (R+V_a \times R)$ che da $R''=R+V_a \times R+V_b \times R+V_b \times (V_a \times R) \approx R+V_a \times R+V_b \times R=R+(V_a+V_b)\times R$. Quindi quando sono rappresentati da matrici, la composizione di due rotazioni infinitesime si ottiene dalla moltiplicazione, se queste sono scritte come vettori si ottiene dall'addizione. E' corretto o sto sbagliando?

[Sk_Anonymous]

Il procedimento è corretto. Tuttavia, il contenuto della notazione vettoriale non differisce da quello della notazione matriciale. Quindi, la composizione di $2$ rotazioni infinitesime si ottiene comunque come prodotto delle $2$ matrici che le rappresentano. Il fatto che la matrice ottenuta, a meno di infinitesimi di ordine superiore, si possa scrivere con la notazione vettoriale sommando i vettori corrispondenti, è un altro discorso.

[5mrkv]

Perfetto. E' che nel Goldstein dice che si può considerare $\omega$ come data dalla somma di tre velocità indipendenti date legate agli angoli di Eulero, e questo grazie al fatto che trasformazioni infinitesime possono essere rappresentate da vettori. Ma non fa cenno al calcolo esplicito.