Rotazione + attrito
vi propongo un bell'esercizio di Fisica con la mia soluzione (così qualcuno si esercita e controlla 
)
Un disco omogeneo di raggio R e massa M ruota con velocità angolare $omega_0$ su un piano orizzontale con attrito dinamico $mu_k$.
Calcolare in quanto tempo il disco si ferma.
Buon divertimento!!!
qui la mia soluzione
1) calcoliamo il momento d'inerzia del disco
$I=int r^2 dm$
dopo aver trovato la massa infinitesima rispetto al raggio
$dm=(2pi r dr)/rho=(2 r M dr)/R^2$
l'integrale diventa $I=2M/R^2 int_(0)^R r^3 dr = 1/2 M R^2$
2) calcoliamo il momento torcente della forza d'attrito: essa agisce su ogni massa infinitesima del disco in direzione opposta al moto, perpendicolare cioè all'asse di rotazione
$tau(F_a)= int_(0)^R F ^^ r dr = int_(0)^R (-mu dm g) ^^ r dr = int_(0)^R (-mu dm g) r = mu2Mg/R^2 int_(0)^R r^2 dr = (2/3)RmuMg$
3) ricordando la II legge di Newton per i moti rotatori $tau=Ia$ e la relazione velocità-accelerazione $omega=omega_0-at$ sono solo calcoli elementari.
la soluzione finale dovrebbe essere $t=(3 omega_0 R )/ (4 mu g) $
)Un disco omogeneo di raggio R e massa M ruota con velocità angolare $omega_0$ su un piano orizzontale con attrito dinamico $mu_k$.
Calcolare in quanto tempo il disco si ferma.
Buon divertimento!!!
qui la mia soluzione
1) calcoliamo il momento d'inerzia del disco
$I=int r^2 dm$
dopo aver trovato la massa infinitesima rispetto al raggio
$dm=(2pi r dr)/rho=(2 r M dr)/R^2$
l'integrale diventa $I=2M/R^2 int_(0)^R r^3 dr = 1/2 M R^2$
2) calcoliamo il momento torcente della forza d'attrito: essa agisce su ogni massa infinitesima del disco in direzione opposta al moto, perpendicolare cioè all'asse di rotazione
$tau(F_a)= int_(0)^R F ^^ r dr = int_(0)^R (-mu dm g) ^^ r dr = int_(0)^R (-mu dm g) r = mu2Mg/R^2 int_(0)^R r^2 dr = (2/3)RmuMg$
3) ricordando la II legge di Newton per i moti rotatori $tau=Ia$ e la relazione velocità-accelerazione $omega=omega_0-at$ sono solo calcoli elementari.
la soluzione finale dovrebbe essere $t=(3 omega_0 R )/ (4 mu g) $
Risposte
Dovrei avere ottenuto il tuo stesso risultato.
Effettivamente un simpatico problema.
Ho qualche perplessità sulla soluzione. Come si giustifica l'ipotesi di pressione uniforme sulla superficie di contatto?
E' sicuramente possibile (almeno all'inizio del moto) se tutto è perfettamente piano, liscio, ecc.
Tuttavia, pensiamo a cosa succede appena il disco comincia a girare e si manifesta anche la minima usura. Il disco si consumerebbe più sul bordo che nel centro (lì il lavoro delle forze di attrito è maggiore) e quindi la pressione di contatto non sarebbe più uniforme. Questo porterebbe la zona centrale a sopportare una pressione più alta e quindi a usurarsi di più successivamente, ecc...
Se quindi facciamo l'ipotesi che il contatto si mantenga sempre su tutta la superficie (ovvero che l'usura e non la pressione sia uniforme) e che la quantità di materiale asportato sia proporzionale al lavoro fatto dalle forze d'attrito (se non ricordo male si chiama ipotesi di Reye) la pressione di contatto risulta:
$p(r)=\frac(Mg)(2\piRr)$
In questo caso il tempo di arresto è un po' superiore, a me torna
$t=\frac(omega_0 R)(mu g) $
Tuttavia, anche questa ipotesi ha qualche incongruenza perchè prevede pressioni di contatto illimitate nel centro del disco.
Sarebbe simpatico fare un esperimento per vedere quale delle due ipotesi è più ragionevole.
Cosa ne pensate?
Ho qualche perplessità sulla soluzione. Come si giustifica l'ipotesi di pressione uniforme sulla superficie di contatto?
E' sicuramente possibile (almeno all'inizio del moto) se tutto è perfettamente piano, liscio, ecc.
Tuttavia, pensiamo a cosa succede appena il disco comincia a girare e si manifesta anche la minima usura. Il disco si consumerebbe più sul bordo che nel centro (lì il lavoro delle forze di attrito è maggiore) e quindi la pressione di contatto non sarebbe più uniforme. Questo porterebbe la zona centrale a sopportare una pressione più alta e quindi a usurarsi di più successivamente, ecc...
Se quindi facciamo l'ipotesi che il contatto si mantenga sempre su tutta la superficie (ovvero che l'usura e non la pressione sia uniforme) e che la quantità di materiale asportato sia proporzionale al lavoro fatto dalle forze d'attrito (se non ricordo male si chiama ipotesi di Reye) la pressione di contatto risulta:
$p(r)=\frac(Mg)(2\piRr)$
In questo caso il tempo di arresto è un po' superiore, a me torna
$t=\frac(omega_0 R)(mu g) $
Tuttavia, anche questa ipotesi ha qualche incongruenza perchè prevede pressioni di contatto illimitate nel centro del disco.
Sarebbe simpatico fare un esperimento per vedere quale delle due ipotesi è più ragionevole.
Cosa ne pensate?
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