Risonanza
Un ventilatore avente M=25 kg, è montato all'estremità di una trave incastrata avente rigidezza Kf,di massa trascurabile rispetto a quella del ventilatore.L'inflessione statica della trave,prodotta dalla M è "delta statica" =50mm,mentre lo smorzamento del sistema si può ritenere pressocchè nullo.
Se il rotore rappresentato dalle pale è sbilanciato per effetto di una massa equivalente m=3,5kg collocata ad una distanza r=100mm, determinare:
1)la velocità angolare in corrispondenza della quale si verifica risonanza.
2)l'ampiezza del moto forzato del sistema quando le pale rutano ad una velocità angolare "omega"=10rad/s.
3)l'ampiezza del moto forzato del sistema quando le pale ruotano ad una velocità angolare "omega"=18 rad/s.
Un mega ringraziamento a chi mi darà una mano,ciao.
Se il rotore rappresentato dalle pale è sbilanciato per effetto di una massa equivalente m=3,5kg collocata ad una distanza r=100mm, determinare:
1)la velocità angolare in corrispondenza della quale si verifica risonanza.
2)l'ampiezza del moto forzato del sistema quando le pale rutano ad una velocità angolare "omega"=10rad/s.
3)l'ampiezza del moto forzato del sistema quando le pale ruotano ad una velocità angolare "omega"=18 rad/s.
Un mega ringraziamento a chi mi darà una mano,ciao.
Risposte
Casomai ci do un'occhiata più tardi, collega... 
grazie caro,speravo di trovare proprio te!!!
ciao a dopo,e cmq sono un "aspirante" collega...
ciao a dopo,e cmq sono un "aspirante" collega...
Non ti preoccupare siamo "aspiranti" entrambi... 
L'inflessione statica della trave,prodotta dalla M è "delta statica" =50mm
Per inflessione statica si intende la freccia della trave all' "estremità" in cui è collegata la ventola nel caso statico? Ovvero conoscendo questa e il peso si ricava $K_f$ ?
si
Allora visto che il problema è semplice, ma interessante dal punto di vista concettuale ti do solo delle dritte...
Secondo te la trave che ruolo ha nel sistema (ricorda che non ha proprietà inerziali, ma solo...). Inoltre credo che il problema possa esser considerato piano per l'aspetto del moto, ossia che la trave sia in realtà vincolata a muoversi su una guida che impedisce i movimenti ortogonali al piano, sennò tutto si comlica notevolmente...
Una volta che ti riconduci ad un modello equivalente puoi facilemnte cavartela con le nozioni che già conosci...
Se hai ancora qualche dubbio fammi sapere.
Secondo te la trave che ruolo ha nel sistema (ricorda che non ha proprietà inerziali, ma solo...). Inoltre credo che il problema possa esser considerato piano per l'aspetto del moto, ossia che la trave sia in realtà vincolata a muoversi su una guida che impedisce i movimenti ortogonali al piano, sennò tutto si comlica notevolmente...
Una volta che ti riconduci ad un modello equivalente puoi facilemnte cavartela con le nozioni che già conosci...
Se hai ancora qualche dubbio fammi sapere.
Ciao cavallipurosangue,le volevo dire che dopo queste dritte sull'esercizio ho provato a farlo.Come risultati mi trovo:
per la prima domanda omega=omega n=14(rad/s);
per la seconda Xf=14.5*(10^(-3)) metri;
e la terza Xf=35.4*(10^(-3)) metri.
se Gentilmente lo ha svolto anke lei se può darmi i risultati e lo svolgimento così da confrontarli con i miei,grazie
Joseph05
per la prima domanda omega=omega n=14(rad/s);
per la seconda Xf=14.5*(10^(-3)) metri;
e la terza Xf=35.4*(10^(-3)) metri.
se Gentilmente lo ha svolto anke lei se può darmi i risultati e lo svolgimento così da confrontarli con i miei,grazie
Joseph05
Ciao giuseppe, ti prego dammi del tu...
In ogni caso visto che siete interessati vi dico qualcosa in più anche se i conti non li ho fatti...
Potete come avrete capito ricondurvi al sistema massa molla con eccitazione rotante dipendente dall'angolo (lavatrice).
La rigidezza della molla Si calcola ipotizzando di rimanere nei piccoli spostamenti:
$\delta=Mg/k=>k=(Mg)/\delta$, dove delta è la freccia statica.
L'equazione del moto (con le considerazioni più su dette) è:
$M\ddot{x}+kx=m\Omega^2r\sin(\Omegat)=>\omega_n^2=k/m$
Ponendo: $m/M=a$ cercando la soluzione particolare (a regime) si ottiene la famosa legge che regola l'ampiezza in risposta:
$A=(ar)/((\omega_n/\Omega)^2-1)$
Chiaramente si ha risonanza quando $\Omega\approx\omega_n$
Adesso basta sostituire...
In ogni caso visto che siete interessati vi dico qualcosa in più anche se i conti non li ho fatti...
Potete come avrete capito ricondurvi al sistema massa molla con eccitazione rotante dipendente dall'angolo (lavatrice).
La rigidezza della molla Si calcola ipotizzando di rimanere nei piccoli spostamenti:
$\delta=Mg/k=>k=(Mg)/\delta$, dove delta è la freccia statica.
L'equazione del moto (con le considerazioni più su dette) è:
$M\ddot{x}+kx=m\Omega^2r\sin(\Omegat)=>\omega_n^2=k/m$
Ponendo: $m/M=a$ cercando la soluzione particolare (a regime) si ottiene la famosa legge che regola l'ampiezza in risposta:
$A=(ar)/((\omega_n/\Omega)^2-1)$
Chiaramente si ha risonanza quando $\Omega\approx\omega_n$
Adesso basta sostituire...
OK,io però per calcolarmi la (omega n) ho usato:
delta=g/(omegan^2) e da qui ho ricavato la pulsazione naturale anke perkè nell'equazione ke hai usato la massa è quella del ventilatore=25kg oppure quella equivalente da 3.5kg?
delta=g/(omegan^2) e da qui ho ricavato la pulsazione naturale anke perkè nell'equazione ke hai usato la massa è quella del ventilatore=25kg oppure quella equivalente da 3.5kg?
M è la somma delle due masse, ed m quella del ventilatore. Anche perchè la forzante è influenzata solo dalla forza della massa eccentrica, mente la risposta del sistema dipende sia da quella che dalla massa stessa del ventilatore.
Grazie collegha...
Di nulla... e se volete potete divertirvi anche con gli atri problemi che ho postato...
C'è anche un altro problema da tenere in considerazione, non so quanto possa essere trascurabile in questo caso:
nella trave che si inflette non cambia solo la freccia all'estremità, ma anche l'inclinazione rispetto all'orizzontale... l'angolo di cui ruota è dello stesso ordine di grandezza della freccia.
Per far ruotare la ventola attorno ad un asse perpendicolare a quello della ventola stessa ci vuole una coppia, quindi in definitiva sulla estremità della trave avremo sia una forza che una coppia e la freccia dipende da entrambe.
Seconda equazione cardinale
nella trave che si inflette non cambia solo la freccia all'estremità, ma anche l'inclinazione rispetto all'orizzontale... l'angolo di cui ruota è dello stesso ordine di grandezza della freccia.
Per far ruotare la ventola attorno ad un asse perpendicolare a quello della ventola stessa ci vuole una coppia, quindi in definitiva sulla estremità della trave avremo sia una forza che una coppia e la freccia dipende da entrambe.
Seconda equazione cardinale
Come dici tu ciò è in linea di massima vero, la rotazione è confrontabile con la freccia. Infatti facendo due rapidi conti si trova che: $\phi=3/2\delta/l$ dove $l$ è la luce della trave. Per verificare le ipotesi di piccoli spostamenti bisogna che sia $\delta<
$k_t=(Mg)/\phi=18639$ N contro $k=5591$ N/m
Per quanto riguarda le proprietà inerziali possiamo trovare il momento d'inerzia delle pale facilemte ed in modo preciso: $J'_G=0.035$ kgm^2
Poi però dobbiamo stimare quelle del ventilatore stesso... Consideriamolo come un disco di massa data e raggio pari alla freccia.
Si ottiene: $J''_G=0.031$ kgm^2.
A noi interessa però il momento totale rispetto al baricentro della trave. Considerando $GO$, la distanza tra il centro della trave ed il centro del ventilatore pari a circa 75mm: $J_O\approx0.066+0.16=0.226$ kgm^2.
Confrontando le due pulsazioni naturali dovute alla freccia ed alla rotazione si ha rispettivamente: $\omega_n=14$ rad/s, $\omega'_n=287.2$, quindi $\omega_n/(\omega'_n)=0.05=5%$ Come si sa solo le pulsazioni di frequenza piu bassa sono importanti a livello di meccanica, quindi questo potrebbe già essere un buon pretesto per toglierla di torno.
In ogni caso esiste pure una componente forzante che provoca momento ad esser precisi ed al massimo è $F/(M_f) =1/(GO)$ se $GO=75mm$ allora quel rapporto è circa 13. Sono stime ma danno l'idea delle caratteristice genrali del problema.
$k_t=(Mg)/\phi=18639$ N contro $k=5591$ N/m
Per quanto riguarda le proprietà inerziali possiamo trovare il momento d'inerzia delle pale facilemte ed in modo preciso: $J'_G=0.035$ kgm^2
Poi però dobbiamo stimare quelle del ventilatore stesso... Consideriamolo come un disco di massa data e raggio pari alla freccia.
Si ottiene: $J''_G=0.031$ kgm^2.
A noi interessa però il momento totale rispetto al baricentro della trave. Considerando $GO$, la distanza tra il centro della trave ed il centro del ventilatore pari a circa 75mm: $J_O\approx0.066+0.16=0.226$ kgm^2.
Confrontando le due pulsazioni naturali dovute alla freccia ed alla rotazione si ha rispettivamente: $\omega_n=14$ rad/s, $\omega'_n=287.2$, quindi $\omega_n/(\omega'_n)=0.05=5%$ Come si sa solo le pulsazioni di frequenza piu bassa sono importanti a livello di meccanica, quindi questo potrebbe già essere un buon pretesto per toglierla di torno.
In ogni caso esiste pure una componente forzante che provoca momento ad esser precisi ed al massimo è $F/(M_f) =1/(GO)$ se $GO=75mm$ allora quel rapporto è circa 13. Sono stime ma danno l'idea delle caratteristice genrali del problema.
Va precisato, che questo non mi sembra in generale il problema che considera i 2 gradi di libertà della trave (i piu vistosi, perchè ne avrebbe infiniti).
Però invece spesso bisogna considerare anche la rotazione della sezione d'estremità come grandezza caratteristica del problema oscillatorio... nonsoxke ha fatto bene a precisare...
Però invece spesso bisogna considerare anche la rotazione della sezione d'estremità come grandezza caratteristica del problema oscillatorio... nonsoxke ha fatto bene a precisare...
"nnsoxke":
... l'angolo di cui ruota è dello stesso ordine di grandezza della freccia.....
Come fai a confrontare una freccia con un angolo?
Per i dati del problema, la soluzione proposta mi sembra corretta (forse a parte la questione su come è stato definito lo sbilanciamento statico nel testo, che mi lascia un po' perplesso).
Il resto del discorso di nnsoxke ha tuttavia un certo fondamento. Anche considerando la trave come un elemento solo elastico (e nel piano) il ventilatore (corpo rigido) ha effettivamente 3 gradi di libertà. Trascuriamo pure il modo proprio nella direzione dell'asse della trave (disaccoppiato dagli altri e presumibilmente caratterizzato da frequenza molto alta), ne rimangono però due significativi e quindi 2 frequenze proprie e 2 possibili risonanze (difficile dire quale sia la più bassa a priori, anche perché i moti verticale e rotazionale sono inerzialmente disaccoppiati ma elasticamente accoppiati). Tuttavia, per analizzare questo caso, è necessario avere il momento d'inerzia del corpo, quantità che però non viene fornita a dimostrazione che chi ha formulato l'esercizio si accontentava della soluzione proposta.
Inoltre, se si considera che il corpo è nello spazio e che il ventilatore gira, vi sarebbero anche altre più complicate questioni (connesse all'effetto giroscopico) che rendono il problema non più semplicemente trattabile come un sistema massa-molla a parametri costanti...
ciao a tutti
Come fai a confrontare una freccia con un angolo?
Mi sono espresso male , volevo scrivere che freccia e angolo sono infinitesimi dello stesso ordine.
Infatti facendo due rapidi conti si trova che: φ=32δl dove l è la luce della trave. Per verificare le ipotesi di piccoli spostamenti bisogna che sia δ〈l, almeno 2 ordini di grandezza inferiore, quindi deduciamo che la luce è almeno 5 m. Di conseguenza: φ=0.015 rad ed è circa i 3/10 della freccia. Ok.
I rapidi conti li hai fatti considerando solo la forza applicata all'estremità immagino.
Prendendo anche la coppia che la ventola esercita sulla trave la sua deformata non sarà la stessa a parità di forza e quindi anche la freccia all'estremo sarà diversa.
$vec M(O) = sigma (O) dot (vec omega) + vec omega xx sigma (O) vec omega$
$vec M(O)$ è il momento rispetto ad un punto O
$sigma (O)$ è la matrice d'inerzia della ventola
Come si vede il secondo termine è praticamente proporzionale al quadrato della velocità angolare.
"nnsoxke":Come fai a confrontare una freccia con un angolo?
Mi sono espresso male , volevo scrivere che freccia e angolo sono infinitesimi dello stesso ordine.
Non vorrei infierire, ma ciò che hai detto ora è ancora peggio.
Non si tratta di infinitesimi bensì di quantità 'piccole' ma finite!
In ogni caso, anche se fossero infinitesimi, essendo non dimensionalmente omogenei non li potresti confrontare.
ciao
@ nonsoxkè
I conti che ho fatto all'inizio sono per trovare la costante elastica delle presunta molla torsionale; dato che siamo in campo elastico lineare, basta conoscere quanto è la rotazione sotto l'influenza di un carico qualsiasi per trovare ciò che ci serve.
Quello che dici tu, ossia il momento che genera il ventilatore va considerato come la parte forzante, cosa che io ho fatto alla fine. Il fatto è ancora che non abbiamo nessun dato preciso ne su quest'ultimo, nè sulle caratteristiche inerziali del ventilatore. Quindi come dicevo su ed ha precisato anche mirco, probabilmente a chi ha scritto il problema non interessava questo aspetto.
I conti che ho fatto all'inizio sono per trovare la costante elastica delle presunta molla torsionale; dato che siamo in campo elastico lineare, basta conoscere quanto è la rotazione sotto l'influenza di un carico qualsiasi per trovare ciò che ci serve.
Quello che dici tu, ossia il momento che genera il ventilatore va considerato come la parte forzante, cosa che io ho fatto alla fine. Il fatto è ancora che non abbiamo nessun dato preciso ne su quest'ultimo, nè sulle caratteristiche inerziali del ventilatore. Quindi come dicevo su ed ha precisato anche mirco, probabilmente a chi ha scritto il problema non interessava questo aspetto.
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