Risoluzione es. corpo rigido-carrucola
Ciao,
Ho questo esercizio:
"Si considerino due masse collegate da una fune che passa attraverso una carrucola di momento d'inerzia I rispetto al suo asse di rotazione (le masse "pendono" verticalmente). La fune non slitta sulla carrucola, e il sistema è lasciato libero da fermo. Si usi il principio di conservazione dell'energia per trovare la velocità delle masse dopo che una è scesa di $h$, e la velocità angolare della carrucola nello stesso istante.
Vorrei capire se l'ho risolto bene.
Per la prima domanda ho completamente trascurato la carrucola, ho applicato la conservazione dell'energia meccanica alle due masse. Se $m_2$ scende:
$m_2gh=1/2(m_1+m_2)v^2+m_1gh$
Da cui:
$v=sqrt((2gh(m_2-m_1))/(m_1+m_2))$
Per la seconda domanda, supponendo che la fune sia molto sottile, è come se fosse il bordo della carrucola, quindi:
$v=Romega leftrightarrow omega=v/R=sqrt((2gh(m_2-m_1))/(R^2(m_1+m_2)))$
Giusto?
Ho questo esercizio:
"Si considerino due masse collegate da una fune che passa attraverso una carrucola di momento d'inerzia I rispetto al suo asse di rotazione (le masse "pendono" verticalmente). La fune non slitta sulla carrucola, e il sistema è lasciato libero da fermo. Si usi il principio di conservazione dell'energia per trovare la velocità delle masse dopo che una è scesa di $h$, e la velocità angolare della carrucola nello stesso istante.
Vorrei capire se l'ho risolto bene.
Per la prima domanda ho completamente trascurato la carrucola, ho applicato la conservazione dell'energia meccanica alle due masse. Se $m_2$ scende:
$m_2gh=1/2(m_1+m_2)v^2+m_1gh$
Da cui:
$v=sqrt((2gh(m_2-m_1))/(m_1+m_2))$
Per la seconda domanda, supponendo che la fune sia molto sottile, è come se fosse il bordo della carrucola, quindi:
$v=Romega leftrightarrow omega=v/R=sqrt((2gh(m_2-m_1))/(R^2(m_1+m_2)))$
Giusto?
Risposte
Non si fanno così gli esercizi, posta un'immagine del problema e le forze coinvolte e tutto, così sembra che applichi formule a caso
In ogni caso non puoi trascurare la massa della carrucola.
I lavori fatti dalla tensione della fune si annullano, quindi resta solo la forza di gravità (conservativa), e l'energia meccanica del sistema composto dai due blocchi si conserva.
A parte il fatto che l'esercizio è proprio """"guidato""",insomma ti dice che la carrucola ha "momento di inerzia I" (non bastava sapere che ha massa?", inotre ti dice pure di "applicare il principio di conservazione dell'energia"...resto sempre più basito da certi esercizi...
Se ti dice che la carucola ha momento di inerzia I, perché mai la trascuri?
Se ti dice che la carucola ha momento di inerzia I, perché mai la trascuri?
Perché mi è sembrato più semplice applicare la conservazione dell'energia meccanica al sistema delle sole due masse, visto che fanno lavoro solo forze conservative
Le tensioni della fune sulle due masse non sono uguali, come detto, c'è la carrucola
"Vulplasir":
Le tensioni della fune sulle due masse non sono uguali, come detto, c'è la carrucola
Non è una coppia di forze interne che si scambiano le due masse?
O forse dovrei cosiderare che la massa che cade deve mettere in rotazione la carrucola? Nel caso, visto che la carrucola ha un'accelerazione angolare costante c'è un momento costante, però non ho capito bene come agiscono le forze
Dai a questo punto dovresti avere un po' di dimenstichezza con le forze...Le forze che si scambiano la fune e la carrucola sono applicate nei punti di tangenza della fune sulla carrucola. Che ne sai che la carrucola ha accelerazione angolare costante?
La massa maggiore è soggetta alla forza peso in giu e alla tensione T1 in su, la massa minore è soggetta alla forza peso in giù e alla tensione T2 in su, la carrucola è soggetta alle tensioni T1 e T2 che producono un momento (T1-T2)R...
La massa maggiore è soggetta alla forza peso in giu e alla tensione T1 in su, la massa minore è soggetta alla forza peso in giù e alla tensione T2 in su, la carrucola è soggetta alle tensioni T1 e T2 che producono un momento (T1-T2)R...
"Vulplasir":Più o meno ho capito. Quindi considerando la carrucola, la cui energia potenziale non varia, applico al sistema la conservazione dell'energia meccanica (considerando $m_2$ che scende)
Dai a questo punto dovresti avere un po' di dimenstichezza con le forze...Le forze che si scambiano la fune e la carrucola sono applicate nei punti di tangenza della fune sulla carrucola. Che ne sai che la carrucola ha accelerazione angolare costante?
La massa maggiore è soggetta alla forza peso in giu e alla tensione T1 in su, la massa minore è soggetta alla forza peso in giù e alla tensione T2 in su, la carrucola è soggetta alle tensioni T1 e T2 che producono un momento (T1-T2)R...
$DeltaU_1=m_1gh$
$DeltaU_2=-m_2gh$
$DeltaK=DeltaK_1+DeltaK_2+DeltaK_c=1/2m_1v^2+1/2m_2v^2+1/2Iomega^2$
Conservazione dell' energia meccanica:
$DeltaU_1+DeltaU_2+DeltaK=0$
Svolgendo i calcoli e considerando che $I=1/2MR^2$, mi viene:
$v=sqrt((2gh(m_2-m_1))/(m_1+m_2+1/2M))$
E supposta che la fune sia molto sottile:
$omega=v/R=sqrt((2gh(m_2-m_1))/(R^2(m_1+m_2)+I))$
Non credo vada bene, non avrei dovuto trovare soluzioni senza massa e raggio della carrucola?
No, è giusto, non è sufficiente solo il momento di inerzia per determinare il moto del sistema, infatti un dato momento di inerzia può essere ottenuto tra infiniti combinazioni di M e R
Un'ultima cosa, se dovessi fare il diagramma di corpo libero della carrucola, in quale punto sono applicate di preciso le due forze dovute alle masse?
Non sono forze dovute alle masse, ma sono le tensioni della fune, e sono applicate nei punti di tangenza delle funi rispetto alla carrucola
"Vulplasir":
nei punti di tangenza delle funi rispetto alla carrucola
Cioè dove "inizia" il contatto fune carrucola?
SI, detto volgarmente
A questo punto mi chiedo: come si vede in questo caso che l'energia meccanica si conserva? Se il punto d'applicazione delle tensioni sulla carrucola è fisso non possono fare lavoro sulla carrucola..
Il punto di applicazione della tensione non è fisso, è solidale con la carrucola, nell'istante successivo viene sostituito dal punto successivo mentre la fune scorre. Nel tempo elementare $dt$ in cui un certo punto della fune è a contatto senza strisciare sulla carrucola, provoca una rotazione $d theta$ della puleggia, e quindi uno spostamento $Rd theta$ e pertanto un lavoro $dL=TRd theta$
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