Risoluzione equazioni Lagrange e variabili azione-angolo
Ciao ragazzi, sto preparando l'esame di Meccanica Analitica ma, non avendo potuto seguire il corso, sto avendo non pochi problemi nel capire come si svolgono alcuni esercizi... sento proprio che mi manca qualcosa di teorico alla base che non riesco però ad estrapolare dai libri! 
Come libro di esercizi ho usato il Celletti e varie dispense trovate su internet di esercizi svolti, e non ho avuto grandi problemi; il mio professore però è abbastanza accanito sulle variabili Azione-Angolo e sulla risoluzione delle equazioni del moto, cosa che sul Celletti e su tutti gli altri testi di cui dispongo non viene trattata o viene trattata in modo diverso da come fa lui nei suoi esercizi (esempio: il Celletti chiede al massimo di "scrivere le equazioni di Lagrange del moto", ma mai di risolverle!!).
Volevo farvi quindi delle domande che potrebbero risultare banali, ma che per me sono fondamentali:
1) Quando il mio professore (nel 90% degli esercizi d'esame) chiede di "trovare la soluzione generale delle equazioni di Lagrange del moto" (eventualmente assegnando i dati iniziali), si riferisce sempre al trovarla approssimando al primo ordine attorno ai punti di equilibrio?
Perché poi nello svolgimento ciò che fa è quasi sempre ridurre la lagrangiana, nel caso in cui essa non lo sia già, ad una forma quadratica cambiando variabili (introducendo le deviazioni dall'equilibrio), ricavare le matrici cinetica e potenziale e risolvere il problema agli autovalori, trovando poi autovettori e scrivendo la soluzione... ma in questo caso non avrei una soluzione in funzione delle deviazioni dall'equilibrio? E in ogni caso, non sarebbe mica la soluzione generale delle equazioni di Lagrange.. sarebbe solo una sua approssimazione! Non dovrebbe scriverlo nel testo dell'esercizio, oppure per "soluzione generale" si intende proprio questo?
2) quando ho equazioni del moto non omogenee, nella loro risoluzione seguendo il metodo scritto sopra trovo prima la soluzione all'omogenea associata e poi ci sommo un termine: si tratta delle coordinate del punto di equilibrio? O di cosa?
3) A cosa servono le variabili Azione-Angolo? Quando devo usarle negli esercizi? Inoltre conoscete esercizi su questo argomento da consigliarmi? Sui vari siti segnalati mi sembra vengano trattate poco..
Scusate la banalità, vi prego di non prendermi in giro.. E spero di non aver posto domande già trattate, ho fatto una ricerca sul forum e mi sembra di no! In caso ditemelo! Ciao e grazie a chi risponderà!!!
Come libro di esercizi ho usato il Celletti e varie dispense trovate su internet di esercizi svolti, e non ho avuto grandi problemi; il mio professore però è abbastanza accanito sulle variabili Azione-Angolo e sulla risoluzione delle equazioni del moto, cosa che sul Celletti e su tutti gli altri testi di cui dispongo non viene trattata o viene trattata in modo diverso da come fa lui nei suoi esercizi (esempio: il Celletti chiede al massimo di "scrivere le equazioni di Lagrange del moto", ma mai di risolverle!!).
Volevo farvi quindi delle domande che potrebbero risultare banali, ma che per me sono fondamentali:
1) Quando il mio professore (nel 90% degli esercizi d'esame) chiede di "trovare la soluzione generale delle equazioni di Lagrange del moto" (eventualmente assegnando i dati iniziali), si riferisce sempre al trovarla approssimando al primo ordine attorno ai punti di equilibrio?
Perché poi nello svolgimento ciò che fa è quasi sempre ridurre la lagrangiana, nel caso in cui essa non lo sia già, ad una forma quadratica cambiando variabili (introducendo le deviazioni dall'equilibrio), ricavare le matrici cinetica e potenziale e risolvere il problema agli autovalori, trovando poi autovettori e scrivendo la soluzione... ma in questo caso non avrei una soluzione in funzione delle deviazioni dall'equilibrio? E in ogni caso, non sarebbe mica la soluzione generale delle equazioni di Lagrange.. sarebbe solo una sua approssimazione! Non dovrebbe scriverlo nel testo dell'esercizio, oppure per "soluzione generale" si intende proprio questo?
2) quando ho equazioni del moto non omogenee, nella loro risoluzione seguendo il metodo scritto sopra trovo prima la soluzione all'omogenea associata e poi ci sommo un termine: si tratta delle coordinate del punto di equilibrio? O di cosa?
3) A cosa servono le variabili Azione-Angolo? Quando devo usarle negli esercizi? Inoltre conoscete esercizi su questo argomento da consigliarmi? Sui vari siti segnalati mi sembra vengano trattate poco..
Scusate la banalità, vi prego di non prendermi in giro.. E spero di non aver posto domande già trattate, ho fatto una ricerca sul forum e mi sembra di no! In caso ditemelo! Ciao e grazie a chi risponderà!!!
Risposte
Cerco di rispondere con ordine.
1) Assolutamente vero. Quella che il tuo prof ti chiede di calcolare è la soluzione generale (o l'unica soluzione se ti da le condizioni iniziali) delle cosiddette piccole oscillazioni del sistema. Le equazioni del moto che ne derivano sono sempre risolubili, per definizione, perchè si riducono a quelle di una specie di molla. Altrettanto non si può dire per le equazioni del moto "vere" che in generale possono essere non lineari e un vero casino da risolvere...
2) Dipende da com'è il termine non omogeneo. Se, ad esempio, dipende esplicitamente dal tempo non è detto che una soluzione particolare costante funzioni. Per una risposta esauriente dovresti riguardarti un po' come si trovano le soluzioni particolari di un'equazione non omogenea e per questo ti rimando ad un testo di analisi.
3) Le variabili azione-angolo sono delle variabili hamiltoniane particolarmente semplici perchè in queste variabili il sistema esegue un moto a velocità costante in tutte le direzioni, che sono periodiche. Quindi lo spazio delle configurazioni è un toro $d$-dimensionale (dove $d$ è il numero di gradi di libertà). Sono quindi comode perchè il moto descritto in queste coordinate risulta particolarmente semplice. Di esercizi non saprei consigliartene.
Spero di non averti confuso le idee...
1) Assolutamente vero. Quella che il tuo prof ti chiede di calcolare è la soluzione generale (o l'unica soluzione se ti da le condizioni iniziali) delle cosiddette piccole oscillazioni del sistema. Le equazioni del moto che ne derivano sono sempre risolubili, per definizione, perchè si riducono a quelle di una specie di molla. Altrettanto non si può dire per le equazioni del moto "vere" che in generale possono essere non lineari e un vero casino da risolvere...
2) Dipende da com'è il termine non omogeneo. Se, ad esempio, dipende esplicitamente dal tempo non è detto che una soluzione particolare costante funzioni. Per una risposta esauriente dovresti riguardarti un po' come si trovano le soluzioni particolari di un'equazione non omogenea e per questo ti rimando ad un testo di analisi.
3) Le variabili azione-angolo sono delle variabili hamiltoniane particolarmente semplici perchè in queste variabili il sistema esegue un moto a velocità costante in tutte le direzioni, che sono periodiche. Quindi lo spazio delle configurazioni è un toro $d$-dimensionale (dove $d$ è il numero di gradi di libertà). Sono quindi comode perchè il moto descritto in queste coordinate risulta particolarmente semplice. Di esercizi non saprei consigliartene.
Spero di non averti confuso le idee...
No anzi grazie mille, mi hai dato delle conferme e dei chiarimenti!
Per quanto riguarda le variabili azione-angolo, ti viene in mente per caso un testo in cui vengono spiegate per bene? A me ciò che interessa particolarmente è capirle anche dal punto di vista fisico.. non soltanto matematico. So che chiedo troppo forse da un corso di meccanica razionale
Per quanto riguarda le variabili azione-angolo, ti viene in mente per caso un testo in cui vengono spiegate per bene? A me ciò che interessa particolarmente è capirle anche dal punto di vista fisico.. non soltanto matematico. So che chiedo troppo forse da un corso di meccanica razionale
Sinceramente non saprei
Grazie lo stesso 
Ho trovato qualcosa, poi magari se ho domande apro una nuova discussione
Ho ancora una domanda... sempre al riguardo del trovare la soluzione del sistema linearizzato (cioè la soluzione delle piccole oscillazioni): per prima cosa mi calcolo i punti di equilibrio, e poi faccio la Lagrangiana delle piccole oscillazioni... ecco, se il mio sistema ha più punti di equilibrio e mi viene richiesta la "soluzione generale delle equazioni di Lagrange", attorno a quale dei punti di equilibrio sviluppo il problema?! :-O E' un dubbio amletico
Ho trovato qualcosa, poi magari se ho domande apro una nuova discussione Ho ancora una domanda... sempre al riguardo del trovare la soluzione del sistema linearizzato (cioè la soluzione delle piccole oscillazioni): per prima cosa mi calcolo i punti di equilibrio, e poi faccio la Lagrangiana delle piccole oscillazioni... ecco, se il mio sistema ha più punti di equilibrio e mi viene richiesta la "soluzione generale delle equazioni di Lagrange", attorno a quale dei punti di equilibrio sviluppo il problema?! :-O E' un dubbio amletico
Un testo che potrebbe risultarti utile è il Romano Meccanica analitica Apogeo costa pochi euro... E' molto ermetico ma contiene esercizi e fornisce una buona infarinatura. Sappi che non puoi pretendere di capire molto, o meglio, approfonditamente se sei alla triennale. La matematica che sta alla base dell'esame è davvero complessa e la geometria differenziale non credo si affronti se non marginalmente in una laurea triennale. Poi on line dovrest trovare qualcosa di fatto bene dal prof. Galgani però non ricordo se ci sono esercizi. 
Buona meccanica analitica!
Buona meccanica analitica!
Sì in effetti di non poterla capire a fondo me ne sono resa conto. Poi ho il corso in comune con gli studenti di matematica e quindi é tutto improntato più sulla matematica che sugli aspetti fisici..
Per il problema di attorno a quale equilibrio (se ce n'é più d'uno) sviluppare la soluzione delle eq. di lagrange sapete dirmi qualcosa?
Per il problema di attorno a quale equilibrio (se ce n'é più d'uno) sviluppare la soluzione delle eq. di lagrange sapete dirmi qualcosa?
Forse rispondo con una banalità. Nel caso in cui ci siano più punti di equilibrio, si studiano le piccole oscillazioni attorno a quelli stabili (quelli cioè per cui la matrice hessiana del potenziale è definita positiva). Se hai più punti di equilibrio stabile allora, in teoria, in ognuno di questi puoi studiare le piccole oscillazioni.
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