[RISOLTO] Un esercizio un po' diverso sul piano inclinato
Ci sono due masse appoggiate su un piano inclinato di un angolo \(\theta\); sono collegate tra loro da una molla di costante elastica \(k\). Sia \(m_1\) la massa più in alto, \(m_2\) quella più in basso: il coefficiente di attrito per \(m_2\) si può considerare trascurabile, quello per \(m_1\) è pari a \(\mu\). Ad un certo istante \(m_1\) si trova in quiete, \(m_2\) scende con velocità \(v_0\) e la molla ha la sua lunghezza a riposo. In tale istante trovare l'accelerazione della massa \(m_2\) e la forza di attrito che agisce su \(m_1\).
Dato che la molla è a riposo, per la massa \(m_1\) vale semplicemente \[F_{peso} - F_{attrito} = 0 \Rightarrow m_1 g sin\theta = F_{attrito}\] mentre per la massa \(m_2\) vale \[m_2 g cos\theta = m_2 a_2 \Rightarrow a_2 = \dots \]
Successivamente la massa \(m_1\) si mette in moto. In tale istante calcolare l'allungamento della molla e la velocità della massa \(m_2\).
Supponiamo la molla non sia più a riposo, ma nonostante questo \(m_1\) sia ancora ferma (a causa della forza d'attrito). Quindi \[m_1 g cos\theta - F_{attrito} + k\Delta{x} = 0\] \[\Rightarrow m_1 g cos\theta + k\Delta{x} = F_{attrito} \le \mu m_1 g cos\theta\ \Rightarrow \Delta{x} \le \dots\] \[\Rightarrow \Delta{x}_{min} := \frac{m_1 g \cdot (\mu sin\theta - cos\theta)}k \]
Per trovare invece la velocità dalla massa \(m_2\) uso la conservazione dell'energia meccanica, i.e.: \[E_{m}^{(i)} = m_2 g \cdot (\Delta{x}_{min} sin\theta) + \frac{1}2 m_2 (v_0)^2 = \frac{1}2 k \Delta{x}^2 + \frac{1}2 m_2 v^2 = E_{m}^{(f)} \] \[\Rightarrow v = \dots\]
Che dite?
Dato che la molla è a riposo, per la massa \(m_1\) vale semplicemente \[F_{peso} - F_{attrito} = 0 \Rightarrow m_1 g sin\theta = F_{attrito}\] mentre per la massa \(m_2\) vale \[m_2 g cos\theta = m_2 a_2 \Rightarrow a_2 = \dots \]
Successivamente la massa \(m_1\) si mette in moto. In tale istante calcolare l'allungamento della molla e la velocità della massa \(m_2\).
Supponiamo la molla non sia più a riposo, ma nonostante questo \(m_1\) sia ancora ferma (a causa della forza d'attrito). Quindi \[m_1 g cos\theta - F_{attrito} + k\Delta{x} = 0\] \[\Rightarrow m_1 g cos\theta + k\Delta{x} = F_{attrito} \le \mu m_1 g cos\theta\ \Rightarrow \Delta{x} \le \dots\] \[\Rightarrow \Delta{x}_{min} := \frac{m_1 g \cdot (\mu sin\theta - cos\theta)}k \]
Per trovare invece la velocità dalla massa \(m_2\) uso la conservazione dell'energia meccanica, i.e.: \[E_{m}^{(i)} = m_2 g \cdot (\Delta{x}_{min} sin\theta) + \frac{1}2 m_2 (v_0)^2 = \frac{1}2 k \Delta{x}^2 + \frac{1}2 m_2 v^2 = E_{m}^{(f)} \] \[\Rightarrow v = \dots\]
Che dite?
Risposte
nell'energia finale non ti sei scordato il potenziale di $m_2$?
no scusa, l'hai solamente messo dall'altra parte dell'uguale. per il resto è ok
"eugeniobene58":
no scusa, l'hai solamente messo dall'altra parte dell'uguale. per il resto è ok
Grazie per l'occhiata
Supponiamo la molla non sia più a riposo, ma nonostante questo m1 sia ancora ferma (a causa della forza d'attrito).
Giuscri, solo una precisazione.
Penso che '' $m_1$ '' non rimanga ancora fermo a causa della forza di attrito. Nel primo caso, come da te indicato abbiamo '' $F_(peso)=-F_a$ ''. Pero' se dopo anche '' $m_1$ '' si mette in moto ( c'e' scritto anche nel testo ) allora questo dipendera' dal fatto che la molla nell'istante '' $dt$ '' si e' allungata e di conseguenza tende a richiamarlo a causa della forza elastica. Sappiamo che '' $m_2$ '' assume una certa accelerazione e percorre in '' $dt$ '' una distanza '' $dx$ ''. La forza elastica ha andamento ( come l'accelerazione ) sinusoidale; avremo la forza agente su '' $m_1$ '' in '' $dt$ '': $dx=F_1/k$.
Quindi '' $F_1$ '' sara' una forza infinitesima, e di conseguenza anche l'accelerazione impressa ad '' $m_1$ '', da cui segue a sua volta che in '' $dt$ '' lo spostamento '' $dx_1$ '' sara' un infinitesimo di quello relativo a '' $m_2$ ''. In pratica risulta trascurabile in un confronto.
"_GaS_":Supponiamo la molla non sia più a riposo, ma nonostante questo m1 sia ancora ferma (a causa della forza d'attrito).
Penso che '' $m_1$ '' non rimanga ancora fermo a causa della forza di attrito.
Mmm ... Quando la molla comincia ad allungarsi \(m_1\) non comincia subito a muoversi, non trovi? Viene frenata dalla forza d'attrito che la fa rimanere ferma. Stavo cercando l'allungamento minimo per cui la massa \(m_1\) comincia a muoversi.
Ho scritto che si muove, ma di un infinitesimo rispetto a '' $m_2$ '' nell'istante '' $dt$ '';nella pratica si puo' dire che e' fermo.
La tua soluzione e' giusta, ma ho specificato una causa. Lo stesso testo scrive:
Da qui ho dedotto che l'attrito fosse gia' al massimo del suo valore ( compensava esattamente la componente della forza peso, quindi ogni incremento di forza che spinge lo farebbe muovere ), e che fosse quindi, successivamente, l'allungamento della molla a spostarlo.
Aggiungo che in queste condizioni non c'e' alcuna soglia critica ( variazione di lunghezza della molla per la quale il corpo accelera ), ma data la risultante delle forze nulla, qualsiasi forza ( anche se parlando in termini infinitesimali, e inoltre in questo esercizio risulta un infinitesimo ( lo spostamento del corpo sopra ) al confronto ) genera lo spostamento.
La tua soluzione e' giusta, ma ho specificato una causa. Lo stesso testo scrive:
Successivamente la massa m1 si mette in moto. In tale istante calcolare l'allungamento della molla e la velocità della massa m2.
Da qui ho dedotto che l'attrito fosse gia' al massimo del suo valore ( compensava esattamente la componente della forza peso, quindi ogni incremento di forza che spinge lo farebbe muovere ), e che fosse quindi, successivamente, l'allungamento della molla a spostarlo.
Aggiungo che in queste condizioni non c'e' alcuna soglia critica ( variazione di lunghezza della molla per la quale il corpo accelera ), ma data la risultante delle forze nulla, qualsiasi forza ( anche se parlando in termini infinitesimali, e inoltre in questo esercizio risulta un infinitesimo ( lo spostamento del corpo sopra ) al confronto ) genera lo spostamento.
Non capisco perché non ci troviamo, e onestamente il discorso sugli infinitesimi mi sembra un po' fumoso ...
Non sono d'accordo con quello che dici. Il testo mi pare descriva la situazione che segue:
la massa \(m_2\) scende lungo il piano inclinato, tira con se la molla -facendola allungare. La molla dunque comincia a tirare il corpo \(m_1\) che non si muove appena riceve una scossetta dalla massa, ma solo una volta che la forza peso e la forza elastica vincono insieme la forza d'attrito -e se la molla avesse un coefficiente elastico adeguatamente basso potrebbero volerci chilometri prima che questo succeda!
Quindi la forza d'attrito non ha modulo massimo quando la molla comincia ad allungarsi.
La questione è che la forza d'attrito non ha un valore costante; quindi non mi sembra vero che sebbene la risultante delle forze sia nulla basti un niente perché si cominci a vedere una qualche accelerazione.
Se c'è ancora forza d'attrito nel barile, verrà usata fino alla fine perché il corpo non si muova.
"_GaS_":Successivamente la massa m1 si mette in moto. In tale istante calcolare l'allungamento della molla e la velocità della massa m2.
Da qui ho dedotto che l'attrito fosse gia' al massimo del suo valore ( compensava esattamente la componente della forza peso, quindi ogni incremento di forza che spinge lo farebbe muovere ), e che fosse quindi, successivamente, l'allungamento della molla a spostarlo.
Non sono d'accordo con quello che dici. Il testo mi pare descriva la situazione che segue:
la massa \(m_2\) scende lungo il piano inclinato, tira con se la molla -facendola allungare. La molla dunque comincia a tirare il corpo \(m_1\) che non si muove appena riceve una scossetta dalla massa, ma solo una volta che la forza peso e la forza elastica vincono insieme la forza d'attrito -e se la molla avesse un coefficiente elastico adeguatamente basso potrebbero volerci chilometri prima che questo succeda!
Quindi la forza d'attrito non ha modulo massimo quando la molla comincia ad allungarsi.
"_GaS_":
Aggiungo che in queste condizioni non c'e' alcuna soglia critica ( variazione di lunghezza della molla per la quale il corpo accelera ), ma data la risultante delle forze nulla, qualsiasi forza ( anche se parlando in termini infinitesimali, e inoltre in questo esercizio risulta un infinitesimo ( lo spostamento del corpo sopra ) al confronto ) genera lo spostamento.
La questione è che la forza d'attrito non ha un valore costante; quindi non mi sembra vero che sebbene la risultante delle forze sia nulla basti un niente perché si cominci a vedere una qualche accelerazione.
Se c'è ancora forza d'attrito nel barile, verrà usata fino alla fine perché il corpo non si muova.
Non capisco perché non ci troviamo, e onestamente il discorso sugli infinitesimi mi sembra un po' fumoso ...
Assolutamente no:
Sappiamo che '' $m_2$ '' assume una certa accelerazione e percorre in '' $dt$ '' una distanza '' $dx$ ''. La forza elastica ha andamento ( come l'accelerazione ) sinusoidale; avremo la forza agente su '' $m_1$ '' in '' $dt$ '': $dx=F_1k$.
Quindi '' $F_1$ '' sara' una forza infinitesima, e di conseguenza anche l'accelerazione impressa ad '' $m_1$ '', da cui segue a sua volta che in '' $dt$ '' lo spostamento '' $dx_1$ '' sara' un infinitesimo di quello relativo a '' $m_2$ ''. In pratica risulta trascurabile in un confronto.
Anzi, ti dico di piu': e' indipendente dal problema, e vale nel caso di una massa trascinata da forza elastica ( pero' sull'altro capo ci dev'essere un'altra massa ).
Ritornando al problema:
mi pare di capire che all'inizio siamo in condizioni di attrito statico:
Ad un certo istante $m_1$ si trova in quiete, $m_2$ scende con velocità $v_0$ e la molla ha la sua lunghezza a riposo. In tale istante trovare l'accelerazione della massa $m_2$ e la forza di attrito che agisce su $m_1$.
E qui '' $m_1$ '' e' fermo, mentre '' $m_2$ '' parte con velocita' '' $v_0$ '' e la molla non si deforma. Quindi per ora non si puo' dire che l'attrito sia massimo. Pero' nell'istante successivo:
Successivamente la massa $m_1$ si mette in moto. In tale istante calcolare l'allungamento della molla e la velocità della massa $m_2$.
Se basta l'allungamento dovuto all'istante successivo, allora l'attrito statico era gia' al massimo, e da qui seguirebbe quanto gia' da me scritto.
Penso di aver capito perche' non ci troviamo, ovvero a causa dell'interpretazione del '' successivamente '' ( ultimo quote ): tu intendi un istante generico dopo ( allora si' che avresti ragione, sarebbe l'attrito la causa della quiete del corpo sopra ), io l'ho inteso come istante successivo, e in questo caso avrei ragione io, ovvero l'attrito non avrebbe nulla a che fare con l'accelerazione relativa diversa da '' $0$ '' tra le due masse: lo spostamento '' $dx'$ '' del corpo sopra sarebbe in modo tale che:
$(dx')/dxto0$. Dove '' $dx$ '' e' lo spostamento del corpo sotto. In breve non concordiamo perche' abbiamo interpretato diversamente una parte del testo dell'esercizio.
"_GaS_":Non capisco perché non ci troviamo, e onestamente il discorso sugli infinitesimi mi sembra un po' fumoso ...
Assolutamente no:
Sappiamo che '' $m_2$ '' assume una certa accelerazione e percorre in '' $dt$ '' una distanza '' $dx$ ''. La forza elastica ha andamento ( come l'accelerazione ) sinusoidale; avremo la forza agente su '' $m_1$ '' in '' $dt$ '': $dx=F_1k$.
Quindi '' $F_1$ '' sara' una forza infinitesima, e di conseguenza anche l'accelerazione impressa ad '' $m_1$ '', da cui segue a sua volta che in '' $dt$ '' lo spostamento '' $dx_1$ '' sara' un infinitesimo di quello relativo a '' $m_2$ ''. In pratica risulta trascurabile in un confronto.
Anzi, ti dico di piu': e' indipendente dal problema, e vale nel caso di una massa trascinata da forza elastica ( pero' sull'altro capo ci dev'essere un'altra massa ).
Detto così non mi è per nulla chiaro quello che stai dicendo ... In altre parole?
"_GaS_":
io l'ho inteso come istante successivo
Non mi sembra tu non faccia alcun riferimento al sistema specifico del problema; soprattutto non in questo modo non riesci a quantificare l'allungamento. Quant'è?... \(\delta{x}\)?
Ok. Ma come la dai una stima di questo infinitesimo?
Bene, separiamo la questione dal problema in corso. Vi siano due masse '' $m_1$ '' e '' $m_2$ '' su un paino orizzontale e collegate da una molla ideale con costante elastica '' $k$ ''. Una forza '' $F$ '' tira '' $m_2$ ''. Determinare nell'istante iniziale del moto il rapporto tra le rispettive accelerazioni '' $a_1$ '' e '' $a_2$ ''.
Su '' $m_2$ '' agiscono in '' $dt$ '': $F-F_e=m_2a_2$.
Su '' $m_1$ '' agisce in '' $dt$ '': $F_e=m_1a_1$.
Con '' $F_e$ '' forza elastica.
La forza elastica si oppone al moto della seconda massa, ma trascina la prima. Inoltre quando la forza elastica eguagliera' quella esterna, si avra' l'allungamento massimo, e da qui le masse procederanno con accelerazione uguale: $a=F/(m_1+m_2)$.
Ma prima di raggiungere questo equlibrio abbiamo che '' $m_1$ '' e' sottoposto ad una forza variabile nel tempo: $F_e=Fsen(omegat)$. Infatti la forza massima che puo' essere raggiunta e' proprio quella esterna. Ma, come scritto, ci interessa l'istante iniziale. Per '' $(t)to0$ '' abbiamo '' $sen(omegat)to0$ '', quindi '' $F_(e((t)to0))to0$ ''.
Allora su '' $m_2$ '' sara' applicata un'accelerazione '' $a_2=F/m_2$ ''. Nell'istante '' $dt$ '' genera uno spostamento di '' $m_2$ ''
pari a '' $dx$ ''. Sappiamo gia' che '' $F_eto0$ '', comunque su '' $m_1$ '' abbiamo: $F_e=kdx=m_1a_1$. Infatti la forza elastica dipende dalla variazione di lunghezza. Da qui abbiamo: $a_1=k/m_1dx$. Da qui segue che lo spostamento di '' $m_1$ '' e' un infinitesimo di quello di '' $m_2$ ''.
In poche parole, essendo moltiplicate la massa e la costante elastica ( valori che sono finiti ) per un infinitesimo abbiamo un'accelerazione infinitesima. Quindi, nell'istante iniziale: $a_1/a_2to0$.
Questo intendevo.
Su '' $m_2$ '' agiscono in '' $dt$ '': $F-F_e=m_2a_2$.
Su '' $m_1$ '' agisce in '' $dt$ '': $F_e=m_1a_1$.
Con '' $F_e$ '' forza elastica.
La forza elastica si oppone al moto della seconda massa, ma trascina la prima. Inoltre quando la forza elastica eguagliera' quella esterna, si avra' l'allungamento massimo, e da qui le masse procederanno con accelerazione uguale: $a=F/(m_1+m_2)$.
Ma prima di raggiungere questo equlibrio abbiamo che '' $m_1$ '' e' sottoposto ad una forza variabile nel tempo: $F_e=Fsen(omegat)$. Infatti la forza massima che puo' essere raggiunta e' proprio quella esterna. Ma, come scritto, ci interessa l'istante iniziale. Per '' $(t)to0$ '' abbiamo '' $sen(omegat)to0$ '', quindi '' $F_(e((t)to0))to0$ ''.
Allora su '' $m_2$ '' sara' applicata un'accelerazione '' $a_2=F/m_2$ ''. Nell'istante '' $dt$ '' genera uno spostamento di '' $m_2$ ''
pari a '' $dx$ ''. Sappiamo gia' che '' $F_eto0$ '', comunque su '' $m_1$ '' abbiamo: $F_e=kdx=m_1a_1$. Infatti la forza elastica dipende dalla variazione di lunghezza. Da qui abbiamo: $a_1=k/m_1dx$. Da qui segue che lo spostamento di '' $m_1$ '' e' un infinitesimo di quello di '' $m_2$ ''.
In poche parole, essendo moltiplicate la massa e la costante elastica ( valori che sono finiti ) per un infinitesimo abbiamo un'accelerazione infinitesima. Quindi, nell'istante iniziale: $a_1/a_2to0$.
Questo intendevo.
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