[Risolto] Termodinamica e derivate parziali
Salve a tutti,
intanto vi faccio i complimenti per il bel forum, e poi ecco il mio quesito:
in molti esercizi di termodinamica è necessario utilizzare una relazione della quale però non ho mai visto la dimostrazione, quindi non ne conosco i limiti di applicabilità.
In particolare supponamo di avere una funzione $f=f(x,y,z)$, allora
\[ \Bigl( \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigr)_y = \Bigl( \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigr)_z +\Bigl( \dfrac{\partial f}{\partial z} \Bigr)_x \Bigl( \dfrac{\partial z}{\partial x} \Bigr)_y \] dove la variabile a pedice viene mantenuta costante durante la derivazione.
vi faccio anche un esempio pratico dalla termodinamica per essere più chiaro:
\[ \Bigl( \dfrac{\partial E}{\partial T} \Bigr)_p = \Bigl( \dfrac{\partial E}{\partial T} \Bigr)_V +\Bigl( \dfrac{\partial E}{\partial V} \Bigr)_T \Bigl( \dfrac{\partial V}{\partial T} \Bigr)_p \] La relazione generale può essere applicata ad una qualunque funzione di statp per tutte le sue variabile di stato intensive e/o estensive (intendo la variabile che viene tenuta fissa durante la derivazione) ?
Nel caso riuscireste anche a dirmi su quale testo posso trovare una dimostrazione?
vi ringrazio in anticipo per qualunque risposta riuscirete a darmi!
intanto vi faccio i complimenti per il bel forum, e poi ecco il mio quesito:
in molti esercizi di termodinamica è necessario utilizzare una relazione della quale però non ho mai visto la dimostrazione, quindi non ne conosco i limiti di applicabilità.
In particolare supponamo di avere una funzione $f=f(x,y,z)$, allora
\[ \Bigl( \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigr)_y = \Bigl( \dfrac{\partial f}{\partial x} \Bigr)_z +\Bigl( \dfrac{\partial f}{\partial z} \Bigr)_x \Bigl( \dfrac{\partial z}{\partial x} \Bigr)_y \] dove la variabile a pedice viene mantenuta costante durante la derivazione.
vi faccio anche un esempio pratico dalla termodinamica per essere più chiaro:
\[ \Bigl( \dfrac{\partial E}{\partial T} \Bigr)_p = \Bigl( \dfrac{\partial E}{\partial T} \Bigr)_V +\Bigl( \dfrac{\partial E}{\partial V} \Bigr)_T \Bigl( \dfrac{\partial V}{\partial T} \Bigr)_p \] La relazione generale può essere applicata ad una qualunque funzione di statp per tutte le sue variabile di stato intensive e/o estensive (intendo la variabile che viene tenuta fissa durante la derivazione) ?
Nel caso riuscireste anche a dirmi su quale testo posso trovare una dimostrazione?
vi ringrazio in anticipo per qualunque risposta riuscirete a darmi!
Risposte
Argh! Quanto odio le derivate parziali e i differenziali in termodinamica! 
In questa dispensa, a pagina 31, trovi una "spiegazione": http://www.dm.unito.it/personalpages/co ... ivate2.pdf
Fammi sapere se ti è d'aiuto, per me, un $\epsilon$, lo è stato (anche se è un po' una spiegazione intuitiva e non troppo formale)
In questa dispensa, a pagina 31, trovi una "spiegazione": http://www.dm.unito.it/personalpages/co ... ivate2.pdf
Fammi sapere se ti è d'aiuto, per me, un $\epsilon$, lo è stato (anche se è un po' una spiegazione intuitiva e non troppo formale)
Perfetto grazie mille, era proprio quello di cui avevo bisogno!
Per una spiegazioe più rigorosa da un punto di vista matematico cerca "Teorema del Dini" detto a volte anche "Teorema delle funzioni Implicite"
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