[RISOLTO] Piano inclinato problematico.
Ho difficoltà a immaginare cosa succeda nella seguente situazione: due masse puntiformi a contatto scivolano senza rotolare lungo un piano inclinato. Una delle due masse ha un coefficiente d'attrito più alto rispetto all'altra. Come scrivere le equazioni del moto?
Mi aspetterei che se la massa (m_2), con coefficiente d'attrito più alto, sia in posizione tale da impedire all'altra (m1) di scivolare con l'accelerazione che avrebbe se fosse da sola nel sistema potrei scrivere:
per il corpo m_1 con coefficiente d'attrito più basso, che si trova in testa a quello con attrito più alto
$-m_1 g * sin\alpha + \mu m_2 g * cos\alpha = m_1 a$
e per il corpo che invece viene spinto da m_1 (i.e. m_2)
$-m_2 g * sin\alpha + \mu m_2 g * cos\alpha - m_1 g * sin\alpha = m_2 a$
Cosa c'è di gravemente sbagliato in quanto ho scritto?
Mi aspetterei che se la massa (m_2), con coefficiente d'attrito più alto, sia in posizione tale da impedire all'altra (m1) di scivolare con l'accelerazione che avrebbe se fosse da sola nel sistema potrei scrivere:
per il corpo m_1 con coefficiente d'attrito più basso, che si trova in testa a quello con attrito più alto
$-m_1 g * sin\alpha + \mu m_2 g * cos\alpha = m_1 a$
e per il corpo che invece viene spinto da m_1 (i.e. m_2)
$-m_2 g * sin\alpha + \mu m_2 g * cos\alpha - m_1 g * sin\alpha = m_2 a$
Cosa c'è di gravemente sbagliato in quanto ho scritto?
Risposte
Ciao. Trascuri la forza di contatto tra le due masse, o forse pensi sia uguale alla forza d'attrito (come mi pare di capire dalla tua seconda equazione). Ciò ti porta a due equazioni nella sola incognita $a$.
Se invece supponi che la forza di contatto (quella con cui $m_1$ spinge $m_2$ verso il basso ed opposta da parte di $m_2$ su $m_1$ con effetto frenante su quest'ultima) abbia componente $f$ incognita, le due equazioni del moto diventano (assumendo come fai tu le componenti dei vettori positive se verso l'alto lungo il piano):
$-m_1 g cdot sin alpha+mu_1 m_1 g cdot cos alpha+f=m_1 a$ per la massa $m_1$ ,
$-m_2 g cdot sin alpha+mu_2 m_2 g cdot cos alpha-f=m_2 a$ per la massa $m_2$.
Salvo errori miei.
Se invece supponi che la forza di contatto (quella con cui $m_1$ spinge $m_2$ verso il basso ed opposta da parte di $m_2$ su $m_1$ con effetto frenante su quest'ultima) abbia componente $f$ incognita, le due equazioni del moto diventano (assumendo come fai tu le componenti dei vettori positive se verso l'alto lungo il piano):
$-m_1 g cdot sin alpha+mu_1 m_1 g cdot cos alpha+f=m_1 a$ per la massa $m_1$ ,
$-m_2 g cdot sin alpha+mu_2 m_2 g cdot cos alpha-f=m_2 a$ per la massa $m_2$.
Salvo errori miei.
Perchè sul corpo a monte non consideri anche la sua forza di attrito?
Sul corpo a valle, nel tuo caso mi sembra di capire $m_2$, agisce il suo peso, la sua forza di attrito e la forza che esercita il corpo a monte, pari al peso meno l'attrito. Quindi si ha (considero le componenti sul piano):
[tex]P_2 -F_{attr2} + F_{12} = m_2gsin\alpha - \mu_2m_2cos\alpha + (m_1gsin\alpha - \mu_1m_1cos\alpha) = m_2a[/tex]
Sul corpo a monte abbiamo la forza peso, il suo attrito e la forza che si oppone al suo moto esercitata dalla massa 2:
[tex]P_1 -F_{attr1} + F_{21} = m_1gsin\alpha - \mu_1m_1cos\alpha + (- \mu_2m_2cos\alpha) = m_1a[/tex]
Che ti sembra così?
EDIT Non avevo visto il tuo post, scusate per la sovrapposizione
Sul corpo a valle, nel tuo caso mi sembra di capire $m_2$, agisce il suo peso, la sua forza di attrito e la forza che esercita il corpo a monte, pari al peso meno l'attrito. Quindi si ha (considero le componenti sul piano):
[tex]P_2 -F_{attr2} + F_{12} = m_2gsin\alpha - \mu_2m_2cos\alpha + (m_1gsin\alpha - \mu_1m_1cos\alpha) = m_2a[/tex]
Sul corpo a monte abbiamo la forza peso, il suo attrito e la forza che si oppone al suo moto esercitata dalla massa 2:
[tex]P_1 -F_{attr1} + F_{21} = m_1gsin\alpha - \mu_1m_1cos\alpha + (- \mu_2m_2cos\alpha) = m_1a[/tex]
Che ti sembra così?
EDIT Non avevo visto il tuo post, scusate per la sovrapposizione
Ha ragione Palliit, la mia soluzione è errata! 
Si può risolverlo più semplicemente considerando che poiché il corpo con attrito maggiore "blocca" il moto di quello con attrito minore, allora i due corpi si muovono solidalmente come un unico corpo di massa \(\displaystyle m_{1}+m_{2} \). In questo modo si possono ignorare le forze "interne" tra i due corpi e si ottiene una sola equazione. Per tale corpo vale l'equazione:
\(\displaystyle -(m_{1}+m_{2})g\sin \theta + m_{1}g\mu_{1}\cos \theta + m_{2}g\mu_{2}\cos \theta = (m_{1}+m_{2})a\)
In questa equazione si è considerato che su ciascun corpo agisce il proprio attrito dinamico, dipendente dal proprio peso e dal proprio coefficiente.
Da notare che tale equazione è esattamente quella che si ottiene sommando membro a membro le equazioni scritte da Palliit. sommandole, la forza \(\displaystyle f \) tra i due corpi si elimina
\(\displaystyle -(m_{1}+m_{2})g\sin \theta + m_{1}g\mu_{1}\cos \theta + m_{2}g\mu_{2}\cos \theta = (m_{1}+m_{2})a\)
In questa equazione si è considerato che su ciascun corpo agisce il proprio attrito dinamico, dipendente dal proprio peso e dal proprio coefficiente.
Da notare che tale equazione è esattamente quella che si ottiene sommando membro a membro le equazioni scritte da Palliit. sommandole, la forza \(\displaystyle f \) tra i due corpi si elimina
Ok, grazie per le risposte.
Dunque l'errore nel ragionamento di Emar dovrebbe essere quando dice
vero?
Mi ritrovo.
Tra l'altro
$f_(2,1) = f_(1,2) = f$
(i.e. la reazione di un corpo al contatto con l'altro) vale per il terzo principio della Dinamica, mi sbaglio?
EDIT: il problema era nato proprio guardando un problema svolto che chiudeva il problema con un espressione praticamente identica a quella proposta da mathbells, cioé
che mi metteva in imbarazzo perché pur sembrandomi ragionevole non riuscivo a giustificare.
Dunque l'errore nel ragionamento di Emar dovrebbe essere quando dice
"Emar":
la forza che esercita il corpo a monte, pari al peso meno l'attrito.
vero?
"Palliit":
$-m_1 g cdot sin alpha+mu_1 m_1 g cdot cos alpha+f=m_1 a$ per la massa $m_1$ ,
$-m_2 g cdot sin alpha+mu_2 m_2 g cdot cos alpha-f=m_2 a$ per la massa $m_2$.
Mi ritrovo.
Tra l'altro
$f_(2,1) = f_(1,2) = f$
(i.e. la reazione di un corpo al contatto con l'altro) vale per il terzo principio della Dinamica, mi sbaglio?
EDIT: il problema era nato proprio guardando un problema svolto che chiudeva il problema con un espressione praticamente identica a quella proposta da mathbells, cioé
$-(m_1 + m_2) * gsin\alpha + \mu_1 m_1* gcos\alpha + \mu_2 m_2 * gcos\alpha = (m_1 + m_2) * a$
che mi metteva in imbarazzo perché pur sembrandomi ragionevole non riuscivo a giustificare.
@Giuscri:
Vero.
Esattamente.
@mathbells: la tua soluzione è senz'altro corretta, tuttavia mi trovo un po' in disaccordo quando dici che le due masse possono considerarsi come un unico corpo di massa pari alla loro somma. L'equazione di cui sopra contiene effettivamente termini proporzionali ad $(m_1+m_2)$ , ma anche la quantità: $(m_1 mu_1 + m_2 mu_2)g cdot cos alpha$ , che nasce proprio dal considerarle oggetti indipendenti. Almeno mi pare.
A meno di considerare un coefficiente d'attrito che sia la media pesata dei due, con pesi le rispettive masse.
Saluti a tutti.
l'errore nel ragionamento di Emar dovrebbe essere quando dice
"Emar":
la forza che esercita il corpo a monte, pari al peso meno l'attrito.
vero?
Vero.
$f_(2,1) = f_(1,2) = f$
(i.e. la reazione di un corpo al contatto con l'altro) vale per il terzo principio della Dinamica, mi sbaglio?
Esattamente.
@mathbells: la tua soluzione è senz'altro corretta, tuttavia mi trovo un po' in disaccordo quando dici che le due masse possono considerarsi come un unico corpo di massa pari alla loro somma. L'equazione di cui sopra contiene effettivamente termini proporzionali ad $(m_1+m_2)$ , ma anche la quantità: $(m_1 mu_1 + m_2 mu_2)g cdot cos alpha$ , che nasce proprio dal considerarle oggetti indipendenti. Almeno mi pare.
A meno di considerare un coefficiente d'attrito che sia la media pesata dei due, con pesi le rispettive masse.
Saluti a tutti.
"Palliit":
ma anche la quantità: (m1μ1+m2μ2)g⋅cosα , che nasce proprio dal considerarle oggetti indipendenti
dipende dalla direzione che consideriamo. Nella direzione parallela al piano inclinato, i due corpi sono un tutt'uno, quindi hanno accelerazione unica e possiamo considerare un peso unico. Nella direzione perpendicolare al piano, invece, i due corpi non sono "saldati" e quindi ciascuno è libero di "premere" sul piano con il proprio peso in modo indipendente dall'altro, e quindi l'attrito dinamico risentito da ciascuno dei due è diverso. Se i due corpi fossero, invece, realmente "incollati" l'uno all'altro, allora effettivamente non è banale calcolare l'attrito dinamico agente sul blocco. Invece che una media pesata sulle masse, però, mi viene di pensare ad una media pesata con la superficie di contatto di ciascun corpo col piano inclinato. Questo perché se i corpi sono incollati, credo che la reazione del piano sia uniforme su tutta la superficie di contatto del blocco (è comunque una approssimazione, perché in realtà, a seconda delle dimensioni e della rigidità del blocco risultante, la reazione varia da punto a punto). Che dici?
"Palliit":
@Giuscri:l'errore nel ragionamento di Emar dovrebbe essere quando dice
[quote="Emar"]la forza che esercita il corpo a monte, pari al peso meno l'attrito.
vero?
Vero.
[/quote]
Ebbene sì. Mea culpa
@mathbells: in effetti ieri sera ho ripensato alla tua soluzione, e mi pare del tutto sensata, basta intendere il termine, somma dei due contenenti i coefficienti d'attrito, come un'unica forza agente sul sistema costituito dalle due masse.
La mia osservazione sul coefficiente medio viene dalla constatazione che se si riscrive il termine di cui sopra come:
$(m_1 mu_1 + m_2 mu_2)cdot g cdot cos alpha=(m_1+m_2) cdot (m_1 mu_1 + m_2 mu_2)/(m_1+m_2) cdot g cdot cos alpha=(m_1+m_2)cdot mu_(ave) cdot g cdot cos alpha$ ,
dove : $mu_(ave)=(m_1 mu_1 + m_2 mu_2)/(m_1+m_2)$__è appunto la media pesata cui mi riferivo, l'equazione che hai esposto si può
interpretare come riferita ad un'unica massa $M=m_1+m_2$.
La mia osservazione sul coefficiente medio viene dalla constatazione che se si riscrive il termine di cui sopra come:
$(m_1 mu_1 + m_2 mu_2)cdot g cdot cos alpha=(m_1+m_2) cdot (m_1 mu_1 + m_2 mu_2)/(m_1+m_2) cdot g cdot cos alpha=(m_1+m_2)cdot mu_(ave) cdot g cdot cos alpha$ ,
dove : $mu_(ave)=(m_1 mu_1 + m_2 mu_2)/(m_1+m_2)$__è appunto la media pesata cui mi riferivo, l'equazione che hai esposto si può
interpretare come riferita ad un'unica massa $M=m_1+m_2$.
"Palliit":
La mia osservazione sul coefficiente medio viene dalla constatazione che se si riscrive il termine di cui sopra come:....
Il tuo calcolo non fa una grinza, e l'introduzione di un coefficiente pesato con le masse è corretto. Pensavo, tuttavia, che questo modo di "riunire" i due termini contenenti i coefficienti d'attrito in un solo termine associato ad un unico corpo di massa \(\displaystyle M=m_{1}+m_{2} \) è paradossalmente basato sull'ipotesi di considerare comunque i due corpi separati nella direzione perpendicolare al piano, che poi è la situazione del nostro esercizio (e quindi confermo che la tua soluzione è corretta!). Infatti, se immaginiamo di fare il limite, ad esempio, per \(\displaystyle m_{1} \) che tende a zero, il tuo termine si riduce correttamente a \(\displaystyle m_{2}\mu _{2}g\cos \alpha \) che è quello valido per la sola massa \(\displaystyle m_{2} \). Facciamo ora invece l'ipotesi che i due corpi siano effettivamente incollati tra loro. Consideriamo le dimensioni dei due corpi fissate ed indipendenti dalla loro massa (da notare che questa ipotesi è valida anche nel caso precedente!). Se ora mandiamo a zero la massa \(\displaystyle m_{1} \) ma ne teniamo fissa la dimensione (ad esempio sostituiamo il blocco di metallo con un blocco di polistirolo di pari dimensioni), il risultato \(\displaystyle m_{2}\mu _{2}g\cos \alpha \) non sarebbe più corretto poiché il coefficiente d'attrito del blocco non sarebbe \(\displaystyle \mu_{2} \) ma sarebbe ancora influenzato dalla presenza del polistirolo e quindi dal coefficiente \(\displaystyle \mu_{1} \) (il blocco di polistirolo, pur non pesando "nulla" viene comunque premuto sul piano dal corpo 2 con forza pari al peso di 2 e quindi contribuisce all'attrito agente sul blocco totale). In questo scenario, penso che la formula da usare per il blocco totale sia
\(\displaystyle (m_{1}+m_{2})\frac{\mu_{1}s_{1}+\mu_{2}s_{2}}{s_{1}+s_{2}}g\cos \alpha \)
dove \(\displaystyle s_{1} \) ed \(\displaystyle s_{2} \) sono le superfici di contatto dei due corpi col piano. Questa formula tiene conto sia della reazione normale al piano totale (dipendente dalla massa totale del blocco) che dell'importanza relativa dei due coefficienti d'attrito. Il discorso forse è un po' ingarbugliato, ma spero di essere riuscito a farmi capire
L'idea delle superfici nella media mi lascia perplesso. Anche perchè l'attrito dipende poco dall'estensione delle superfici a contatto e invece in misura rilevante dalla forza normale. Ad esempio, se i due blocchi fossero (1) di polistirolo levigato (quindi $m_1$ piccola ma non nulla e $mu_1$ idem, ma con $S_1$ significativa) , mentre (2) è una lama estremamente scabra su cui grava una massa consistente (penso ad un pattinatore su un pattino da ghiaccio molto rovinato, quindi con $m_2">>"0$, $mu_2 approx 1$ ma $S_2 approx 0$ ), nella media pesata sulle superfici si avrebbe $mu_(ave) approx mu_1$ , mentre credo, a naso, che il grosso dell'attrito sarebbe in quel caso dovuto al pattino... Mah, forse l'unica sarebbe provare sperimentalmente, viceversa si tratta solo di congetture, che dici?
"Palliit":
che dici?
eh...dico che hai ragione, nel senso che nel nostro caso in esame la media corretta è sulle masse e non sulle superfici
Allora, ricapitolando, eravamo arrivati a considerare il caso in cui i due corpi sono saldamente legati l'uno all'altro (non possono scorrere). In questo caso credo che possiamo riformulare il problema così:
Ho un mattone formato da due parti fatte di materiali diversi di massa totale $M=m_(1)+m_(2)$ (dove $m_(1)$ ed $m_(2)$ sono le masse delle due parti) e superficie $S=S_(1)+S_(2)$ ((dove $S_(1)$ ed $S_(2)$ sono le superfici delle due parti). Il materiale (1) ha coefficiente $mu_(1)$ e il materiale (2) ha coefficiente $mu_(2)$. Quale sarà il coefficiente di attrito globale del mattone?
Per rispondere, dobbiamo chiederci con quale forza ciascuna parte del mattone preme contro il piano. Ora (e qui sta il nocciolo) se, come ho erroneamente fatto io, si fa l'ipotesi che la pressione del mattone sul piano sia uniforme, e quindi pari a $p=(Mg cos alpha)/S$, allora la forza con cui ciascuna parte preme sul piano è $F_(1)=pS_(1)$ ed $F_(2)=pS_(2)$ e quindi la forza d'attrito totale è
$A=A_(1)+A_(2)=F_(1) mu_(1) + F_(2) mu_(2) = (Mg cos alpha)((mu_(1)S_(1)+mu_(2)S_(2))/(S_(1)+S_(2)))$
e quindi viene fuori la media pesata con le superfici.
In realtà la pressione non è costante, perché è maggiore sulla parte più pesante. Se si tiene conto di ciò, viene fuori la tua media pesata sulle masse. Che la pressione non è uniforme si può vedere bene se si considera il moto rotatorio del mattone intorno al suo centro di massa: se il centro di massa si trova decentrato mentre la pressione è uniforme, il mattone dovrebbe mettersi a ruotare!
La media sulle superfici, quindi, sarebbe corretta solo in un problema in cui si prenda un mattone omogeneo e sul quale si attacchino due pezzi di carta vetrata di superfici diverse e coefficienti di attrito diversi. In questo caso la pressione sarebbe uniforme ed il mio ragionamento sarebbe corretto. Ma non è certo il nostro caso...
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