[RISOLTO] Molla che gira su un piano orizzontale
Buongiorno, ho un problema con questo esercizio:
Una molla di lunghezza di riposo \(\displaystyle L_{0} \) , praticamente priva di massa, ruota su un piano orizzontale privo di attrito con velocità angolare costante \(\displaystyle \omega = 2 s^{-1} \) attorno a un asse verticale passante per un suo estremo fissato a un punto, mentre all’altro estremo è collegata una massa puntiforme m = 0,7kg.
Sapendo che se si raddoppia la massa, mantenendo la stessa velocità angolare di rotazione, l’allungamento della molla passa dal valore \(\displaystyle \Delta L \) ad \(\displaystyle \alpha \Delta L \), con \(\displaystyle \alpha = 2.5 \), si chiede quale sia la costante elastica k della molla
Io ho pensato subito di applicare la conservazione dell'energia meccanica nella situazione iniziale (ossia quando gira con sopra la massa m) e nella situazione finale (ossia quando la molla gira con la massa raddoppiata 2m).
\(\displaystyle E_{M,f} = E_{M,i} \)
\(\displaystyle E_{M,i} = \begin{cases} E_{k,i} = 0 + \frac{1}{2}m\omega^{2} \\ E_{p,i} = 0 + 0 \end{cases} \)
l'energia cinetica iniziale della molla è zero (ha massa trascurabile) mentre l'energia cinetica della massa e' \(\displaystyle \frac{1}{2}m\omega^{2} \).
Nel mio sistema di riferimento ho scelto di mettere lo zero nella posizione di equilibrio della molla (quando e' a riposo), quindi
l'energia potenziale iniziale della molla e' zero in quanto si trova proprio in zero (allungamento dalla posizione di riposo è zero). Stessa cosa per l'energia potenziale della massa (quota zero).
\(\displaystyle E_{M,f} = \begin{cases} E_{k,f} = 0 + \frac{1}{2}(2m)\omega^{2} \\ E_{p,f} = \frac{1}{2}k(\alpha \Delta L)^{2} + 2mg(\alpha \Delta L) \end{cases} \)
Nella situazione finale, l'energia cinetica della molla è zero (sempre massa trascurabile) mentre l'energia cinetica della massa e' \(\displaystyle \frac{1}{2}(2m)\omega^{2} \).
L'energia potenziale finale della molla e' \(\displaystyle \frac{1}{2}k(\alpha \Delta L)^{2} \) ossia il suo allungamento dalla posizione a riposo (il testo dice che si allunga di \(\displaystyle \alpha \Delta L \) ) mentre l'energia potenziale finale della massa è \(\displaystyle 2mg(\alpha \Delta L) \) in quanto ha acquisito una quota che e' uguale all'allungamento della molla.
L'energia potenziale della massa e' positiva perchè ho scelto l'asse y appoggiato sul piano in modo orizzontale cioè che passa per tutta la lunghezza della molla dalla base fino alla massa.
E' giusto fin qui?
Il problema è però che guardando la soluzione, non si parla di conservazione di energia meccanica, ma piuttosto che la forza elastica prodotta dall’allungamento \(\displaystyle \Delta L \) della molla equilibra la forza centrifuga.
Io sinceramente non ci avevo pensato, e' sbagliato risolverlo come stavo facendo io? Vorrei continuare su quella strada in quanto era quello che mi era venuta in mente.
Grazie delle eventuali risposte.
Una molla di lunghezza di riposo \(\displaystyle L_{0} \) , praticamente priva di massa, ruota su un piano orizzontale privo di attrito con velocità angolare costante \(\displaystyle \omega = 2 s^{-1} \) attorno a un asse verticale passante per un suo estremo fissato a un punto, mentre all’altro estremo è collegata una massa puntiforme m = 0,7kg.
Sapendo che se si raddoppia la massa, mantenendo la stessa velocità angolare di rotazione, l’allungamento della molla passa dal valore \(\displaystyle \Delta L \) ad \(\displaystyle \alpha \Delta L \), con \(\displaystyle \alpha = 2.5 \), si chiede quale sia la costante elastica k della molla
Io ho pensato subito di applicare la conservazione dell'energia meccanica nella situazione iniziale (ossia quando gira con sopra la massa m) e nella situazione finale (ossia quando la molla gira con la massa raddoppiata 2m).
\(\displaystyle E_{M,f} = E_{M,i} \)
\(\displaystyle E_{M,i} = \begin{cases} E_{k,i} = 0 + \frac{1}{2}m\omega^{2} \\ E_{p,i} = 0 + 0 \end{cases} \)
l'energia cinetica iniziale della molla è zero (ha massa trascurabile) mentre l'energia cinetica della massa e' \(\displaystyle \frac{1}{2}m\omega^{2} \).
Nel mio sistema di riferimento ho scelto di mettere lo zero nella posizione di equilibrio della molla (quando e' a riposo), quindi
l'energia potenziale iniziale della molla e' zero in quanto si trova proprio in zero (allungamento dalla posizione di riposo è zero). Stessa cosa per l'energia potenziale della massa (quota zero).
\(\displaystyle E_{M,f} = \begin{cases} E_{k,f} = 0 + \frac{1}{2}(2m)\omega^{2} \\ E_{p,f} = \frac{1}{2}k(\alpha \Delta L)^{2} + 2mg(\alpha \Delta L) \end{cases} \)
Nella situazione finale, l'energia cinetica della molla è zero (sempre massa trascurabile) mentre l'energia cinetica della massa e' \(\displaystyle \frac{1}{2}(2m)\omega^{2} \).
L'energia potenziale finale della molla e' \(\displaystyle \frac{1}{2}k(\alpha \Delta L)^{2} \) ossia il suo allungamento dalla posizione a riposo (il testo dice che si allunga di \(\displaystyle \alpha \Delta L \) ) mentre l'energia potenziale finale della massa è \(\displaystyle 2mg(\alpha \Delta L) \) in quanto ha acquisito una quota che e' uguale all'allungamento della molla.
L'energia potenziale della massa e' positiva perchè ho scelto l'asse y appoggiato sul piano in modo orizzontale cioè che passa per tutta la lunghezza della molla dalla base fino alla massa.
E' giusto fin qui?
Il problema è però che guardando la soluzione, non si parla di conservazione di energia meccanica, ma piuttosto che la forza elastica prodotta dall’allungamento \(\displaystyle \Delta L \) della molla equilibra la forza centrifuga.
Io sinceramente non ci avevo pensato, e' sbagliato risolverlo come stavo facendo io? Vorrei continuare su quella strada in quanto era quello che mi era venuta in mente.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Se stai dicendo che l'energia nelle due situazioni (massa m e massa 2m) è la stessa, ti sbagli di grosso. Nel secondo caso è aumentata sia l'energia cinetica (sia perchè la massa è doppia, sia perchè la velocità è maggiore) sia l'energia potenziale della molla.
Se invece stai dicendo un'altra cosa, allora ho capito male...
Se invece stai dicendo un'altra cosa, allora ho capito male...
Hai ragione, ho applicato la conservazione dell'energia pensando solo che fossero tutte forze conservative mentre come dici tu la massa cambia e l'energia potenziale della molla anche.
Grazie mille!
Grazie mille!
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