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Studiare il campo gravitazionale di un toro di densità uniforme 
Risposte
nessuno?
io ho pensato questo:
caso semplice: il toro ha spessore trascurabile, lo consideriamo come un anello sottile di massa lineare uniforme $rho$ e raggio R e ne studiamo il potenziale in vari punti del piano passante per i suoi diametri.
vediamo la cosa in coordinate polari $(r, theta)$ dove r è la distanza dal centro dell'anello.
considerando una "particella esploratrice" a coordinate $(r, 0)$ (per ragioni di simmetria l'angolo è ovviamente indifferente) ogni porzione infinitesimale $dm=rhoRd theta$ del toro avrà distanza da essa pari a $d=SQRT( (R-rcostheta)^2+ (Rsintheta)^2)$ (teorema di Pitagora ) ossia $d=SQRT( R^2 - 2Rrcostheta + r^2)$
il potenziale sarà dunque $V(r)= int_0 ^(2pi) ((-rho R d theta) / sqrt(R^2 - 2Rrcostheta + r^2) )$
fin qui nessun problema, l'integrale non mi sembra risolvibile in forma chiusa ma plottando col Derive ottengo cose ragionevoli: nel centro c'è un punto di equilibrio instabile, per 01 la forza è diretta verso l'interno
quando avrò tempo proverò a tornare sul caso in 3 dimensioni che mi aveva fatto incasinare...
ciao
io ho pensato questo:
caso semplice: il toro ha spessore trascurabile, lo consideriamo come un anello sottile di massa lineare uniforme $rho$ e raggio R e ne studiamo il potenziale in vari punti del piano passante per i suoi diametri.
vediamo la cosa in coordinate polari $(r, theta)$ dove r è la distanza dal centro dell'anello.
considerando una "particella esploratrice" a coordinate $(r, 0)$ (per ragioni di simmetria l'angolo è ovviamente indifferente) ogni porzione infinitesimale $dm=rhoRd theta$ del toro avrà distanza da essa pari a $d=SQRT( (R-rcostheta)^2+ (Rsintheta)^2)$ (teorema di Pitagora
) ossia $d=SQRT( R^2 - 2Rrcostheta + r^2)$il potenziale sarà dunque $V(r)= int_0 ^(2pi) ((-rho R d theta) / sqrt(R^2 - 2Rrcostheta + r^2) )$
fin qui nessun problema, l'integrale non mi sembra risolvibile in forma chiusa ma plottando col Derive ottengo cose ragionevoli: nel centro c'è un punto di equilibrio instabile, per 0
quando avrò tempo proverò a tornare sul caso in 3 dimensioni che mi aveva fatto incasinare...
ciao
uhm non avevo scritto cose buone. doma ci ripenso e riposto.
"wedge":
Studiare il campo gravitazionale di un toro di densità uniforme
applicando il teorema di gauss dovrebbe essere semplicissimo
Non credo possa esser così semplice, infatti il teorema di Gauss prevede l'utilizzo di una superficie chiusa, ovviamente dobbiamo scegliere una superficie con certe caratteristiche di simmetria e tale da rendere il campo su di essa costante, in modo da poter portare fuori dall'integrale $E$. Trovare il flusso attraverso una superficie non è mai banale, eccetto alcuni particolari casi, "didattici". Quindi per poter applicare il teorema di Gauss anche qui dovremmo poter ipotizzare il campo costante ad un certo valore di $(R,r)$, chiaramente prenderei come superficie un toro di raggio fisso $R$ e di raggio variabile $r$, dove l'ultimo è il raggio della circonferenza che genera il toro, ed $R$ la distanza tra l'asse di rotazione ed il centro di tale circonferenza. Un dato importante è che possiamo considerare il campo ortogonale alla superficie scelta e quindi $\vec{E}\cdotd\vec{A}=EdA$, vista l'ortogonalità. Sarebbe bello quindi poter dire che $\oint_T\vec{E}\cdotd\vec{A}=EA$. Se così fosse sarebbe facile davvero, infatti: $E=GM/{\piRr}:G=1/{4\pi\zeta}$, dove $zeta$ è una costante. Ma non credo possa esser così facile. Chiaramente ho considerato solo l'esterno al toro, all'interno la situazione sarebbe diversa...
per calcolare il valore del campo sulla superficie dei toro considera la massa del toro concentrato tutto nel suo centro per ragioni di simmetria 
Non mi convince... Dimostralo
"cavallipurosangue":
Non mi convince... Dimostralo
non c'è bisogno (credo, ma converrai anche tu), il punto d'applicazione della forza di gravità su un corpo è il suo centro di massa che quindi sarebbe il centro del toro
"GuillaumedeL'Hopital":
non c'è bisogno (credo, ma converrai anche tu), il punto d'applicazione della forza di gravità su un corpo è il suo centro di massa che quindi sarebbe il centro del toro
beh, veramente non è proprio cosi'. Il CM e il centro di applicazione del peso coincidono solo in un campo uniforme e non in un campo che varia col quadrato della distanza.
Inoltre nel caso del toro, possiamo certamente dire che a grande distanza il campo tende a quello di una massa puntiforme concentrata nel centro. A distanze confrontabili col raggio c'è invece un effetto di forma che rende il campo non isotropo (per quanto assialsimmetrico). Non è difficile dimostrarlo considerando il campo prodotto da un anello di piccolo spessore sul suo asse.
Up!Com'è finita con questa ciambella?
comunque $vec(G)=int_{V}(rhodVhat(r))/(4pizetar^2)$ e risolvere questo è sicuro
Beh si in teoria sì, ma non credo sia di facile risoluzione. Perchè non ci provi?
urgh...non credo che avrei le conoscenze per farlo, il programma di analisi che ho fatto arrivava fino agli integrali doppi e il teorema di fubini-tonelli di integrali tripli per giunta di funzioni vettoriali non ne ho mai visti, poi non so proprio come scrivere matematicamente una superficie toroidale, sarebbe interessante vederlo risolvere da qualche matematico esperto, tu lo sapresti fare?
Il fatto è che io non credo che sia la strada giusta, seguirei la starda del teroema di Gauss, che mi fa ricavare in un istante il campo all'interno del toro:
Infatti basta prendere una superficie torica di "spessore più piccolo ed il gioco è fatto. Se consideri infatti il toro come volume generato dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse parallelo al piano su cui esso giaceche dista $R$ dal centro di tale cerchio che ha di per sè raggio $r$, basta prendere una superficie che abbia come dimensioni caratteristiche lo stesso $R$, ma un raggio diverso $d
Poi è ovvio che se prendi una sfera di raggio infinito e fai un pò di approssimazioni trovi quello che dice mirco ovviamente, per punti vicini alla superficie sono invece un pochino piu dubbioso, però in linea generale farei sempre allo stesso modo.
Infatti basta prendere una superficie torica di "spessore più piccolo ed il gioco è fatto. Se consideri infatti il toro come volume generato dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse parallelo al piano su cui esso giaceche dista $R$ dal centro di tale cerchio che ha di per sè raggio $r$, basta prendere una superficie che abbia come dimensioni caratteristiche lo stesso $R$, ma un raggio diverso $d
Poi è ovvio che se prendi una sfera di raggio infinito e fai un pò di approssimazioni trovi quello che dice mirco ovviamente, per punti vicini alla superficie sono invece un pochino piu dubbioso, però in linea generale farei sempre allo stesso modo.
Sono molto dubbioso che si possa ottenere una espressione in forma chiusa della soluzione. Ho fatto qualche tentativo con un anello sottile e non sono riuscito ad esprimere in forma analitica il campo nemmeno nel piano dell'anello. Non vedo aternative alla soluzine dell'integrale tridimensionale vettoriale di cui parla DeL'Hopital che si può comunque eseguire in forma numerica.
Il teorema di Gauss non vedo come si possa applicare in un campo non uniforme come questo.
ciao
Il teorema di Gauss non vedo come si possa applicare in un campo non uniforme come questo.
ciao
mi sono assentato per qualche giorno e ho letto con interesse tutti i vostri interventi 
mirco, hai ottenuto lo stesso risultato del mio primo post? suppongo di si...
il teorema di gauss è anche secondo me inapplicabile
mi è sorto inoltre un interrogativo. tale struttura è stabile? un omino sul toro sentirebbe la forza di gravità non diretta perpendicolarmente sopra i propri piedi ma percepirebbe anche una componente tangente alla superficie dovuta alla parte del toro più lontana da sè (a meno che egli non giaccia sul piano del raggio maggiore del toro, ovviamente)... quindi temo che il sistema alla prima perturbazione tenderebbe ad evolversi verso qualcosa di più stabile... forse un disco...
mirco, hai ottenuto lo stesso risultato del mio primo post? suppongo di si...
il teorema di gauss è anche secondo me inapplicabile
mi è sorto inoltre un interrogativo. tale struttura è stabile? un omino sul toro sentirebbe la forza di gravità non diretta perpendicolarmente sopra i propri piedi ma percepirebbe anche una componente tangente alla superficie dovuta alla parte del toro più lontana da sè (a meno che egli non giaccia sul piano del raggio maggiore del toro, ovviamente)... quindi temo che il sistema alla prima perturbazione tenderebbe ad evolversi verso qualcosa di più stabile... forse un disco...
"wedge":
mi sono assentato per qualche giorno e ho letto con interesse tutti i vostri interventi
mirco, hai ottenuto lo stesso risultato del mio primo intervento? suppongo di si...
il teorema di gauss è anche secondo me inapplicabile
...
Si, qualcosa di simile, anche se ho espresso il campo vettoriale e non il potenziale
"wedge":
mi è sorto inoltre un interrogativo. tale struttura è stabile? un omino sul toro sentirebbe la forza di gravità non diretta perpendicolarmente sopra i propri piedi ma percepirebbe anche una componente tangente alla superficie dovuta alla parte del toro più lontana da sè (a meno che egli non giaccia sul piano del raggio maggiore del toro, ovviamente)... quindi temo che il sistema alla prima perturbazione tenderebbe ad evolversi verso qualcosa di più stabile... forse un disco...
Non ti seguo.... forse vuoi dire che il toro cercherebbe di modificare la sua forma sotto l'azione della sua stessa gravità se fosse deformabile?
Se intendi questo, penso proprio di si, a quanto ne so (ma purtroppo ne so poco) non ci sono molti oggetti torici circolari naturali nell'Universo, mentre forme ad anello schiacciato ce ne sono parecchie.
ciao
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