Rimbalzo n-esimo
Una pallina cade da un'altezza $h_0=1m$ e con $v_0=10 m\s$.Una volta toccato il suolo la pallina inizia a rimbalzare con una velocità lungo l'asse y che si riduce del 10% dopo ogni rimbalzo ed una velocità lungo l'asse x costante. Mi viene chiesto di calcolare:
1. L'altezza massima $h_n$ raggiunta tra il rimbalzo n-esimo e quello (n+1)-esimo;
2. L'intervallo di tempo $/Delta (t_n)$ che scorre tra un rimbalzo e l'altro;
3. Il tempo a cui avviene il rimbalzo (n+1)-esimo.
Nel primo punto non ho trovato grosse difficoltà e sono riuscito a risolverlo e a far tornare i conti. Il secondo invece ho un problema. Allora la mia idea è che l'intervallo di tempo che scorre fra un rimbalzo e l'altro è pari al tempo di salita + il tempo di discesa della palla e poiché i due intervalli di tempo sono uguali posso trovarlo come 2 volte il tempo di salita. Io ho calcolato la velocità del primo rimbalzo (tenendo conto della riduzione del 10%) in questo modo: $v1=0.9*v_0= 0.9*\sqrt(2h_0/g)$. Mentre ho calcolato il tempo di salita con $t_s=v_1/g=0.9*\sqrt(2h_0/g)$ e l'altezza massima con $h_1= v_1 t_s - 1/2 g (t_s)^2=g(t_s)^2-1/2 g (t_s)^2= 1/2 g (t_s)^2=(0.9)^2 h_0$ . L'esercizio però mi chiede il tempo ennesimo quindi mi sono calcolato l'altezza ennesima cosi: $h_n=(0,9)^{2n}h_0$. A questo punto calcolo l'intervallo di tempo sommando 2 volte il tempo di salita calcolato con l'altezza ennesima ed ottengo $\Delta (t_n)= 2 * 0.9^{2n} \sqrt(2h_0/g)$.
Mentre nella soluzione mi da: $\Delta (t_n)=2* 0.9^n * v_0 \sqrt(2 h_0/g) $
Perche moltiplica per $v_0$ e perche è elevato ad n e non a 2n?
1. L'altezza massima $h_n$ raggiunta tra il rimbalzo n-esimo e quello (n+1)-esimo;
2. L'intervallo di tempo $/Delta (t_n)$ che scorre tra un rimbalzo e l'altro;
3. Il tempo a cui avviene il rimbalzo (n+1)-esimo.
Nel primo punto non ho trovato grosse difficoltà e sono riuscito a risolverlo e a far tornare i conti. Il secondo invece ho un problema. Allora la mia idea è che l'intervallo di tempo che scorre fra un rimbalzo e l'altro è pari al tempo di salita + il tempo di discesa della palla e poiché i due intervalli di tempo sono uguali posso trovarlo come 2 volte il tempo di salita. Io ho calcolato la velocità del primo rimbalzo (tenendo conto della riduzione del 10%) in questo modo: $v1=0.9*v_0= 0.9*\sqrt(2h_0/g)$. Mentre ho calcolato il tempo di salita con $t_s=v_1/g=0.9*\sqrt(2h_0/g)$ e l'altezza massima con $h_1= v_1 t_s - 1/2 g (t_s)^2=g(t_s)^2-1/2 g (t_s)^2= 1/2 g (t_s)^2=(0.9)^2 h_0$ . L'esercizio però mi chiede il tempo ennesimo quindi mi sono calcolato l'altezza ennesima cosi: $h_n=(0,9)^{2n}h_0$. A questo punto calcolo l'intervallo di tempo sommando 2 volte il tempo di salita calcolato con l'altezza ennesima ed ottengo $\Delta (t_n)= 2 * 0.9^{2n} \sqrt(2h_0/g)$.
Mentre nella soluzione mi da: $\Delta (t_n)=2* 0.9^n * v_0 \sqrt(2 h_0/g) $
Perche moltiplica per $v_0$ e perche è elevato ad n e non a 2n?
Risposte
Me lo devo riguardare bene perche' ora gli occhi mi fanno pupi pupi, ma gia' la prima relazione e' sbagliata: $v_1=0.9$v_0=0.9sqrt([2h_0]/g)$ e' un tempo, non una velocita'
"Bob95":
Una pallina cade da un'altezza $h_0=1m$ e con $v_0=10 m\s$.Una volta toccato il suolo la pallina inizia a rimbalzare con una velocità lungo l'asse y che si riduce del 10% dopo ogni rimbalzo ed una velocità lungo l'asse x costante. Mi viene chiesto di calcolare:
1. L'altezza massima $h_n$ raggiunta tra il rimbalzo n-esimo e quello (n+1)-esimo;
2. L'intervallo di tempo $/Delta (t_n)$ che scorre tra un rimbalzo e l'altro;
3. Il tempo a cui avviene il rimbalzo (n+1)-esimo.
Nel primo punto non ho trovato grosse difficoltà e sono riuscito a risolverlo e a far tornare i conti. Il secondo invece ho un problema. Allora la mia idea è che l'intervallo di tempo che scorre fra un rimbalzo e l'altro è pari al tempo di salita + il tempo di discesa della palla e poiché i due intervalli di tempo sono uguali posso trovarlo come 2 volte il tempo di salita. Io ho calcolato la velocità del primo rimbalzo (tenendo conto della riduzione del 10%) in questo modo: $v1=0.9*v_0= 0.9*\sqrt(2h_0/g)$. Mentre ho calcolato il tempo di salita con $t_s=v_1/g=0.9*\sqrt(2h_0/g)$ e l'altezza massima con $h_1= v_1 t_s - 1/2 g (t_s)^2=g(t_s)^2-1/2 g (t_s)^2= 1/2 g (t_s)^2=(0.9)^2 h_0$ . L'esercizio però mi chiede il tempo ennesimo quindi mi sono calcolato l'altezza ennesima cosi: $h_n=(0,9)^{2n}h_0$. A questo punto calcolo l'intervallo di tempo sommando 2 volte il tempo di salita calcolato con l'altezza ennesima ed ottengo $\Delta (t_n)= 2 * 0.9^{2n} \sqrt(2h_0/g)$.
Mentre nella soluzione mi da: $\Delta (t_n)=2* 0.9^n * v_0 \sqrt(2 h_0/g) $
Perche moltiplica per $v_0$ e perche è elevato ad n e non a 2n?
Me lo devo riguardare bene perche' ora gli occhi mi fanno pupi pupi, ma gia' la prima relazione e' sbagliata: $v1=0.9*v_0= 0.9*\sqrt(2h_0/g)$ e' un tempo, non una velocita'
Il tempo di risalita. E' sbagliato anche quello: $v_1$ non e' costante, quindi ci va $1/2g t^2$
La soluzione del testo mi sembra dimensionalmente sbagliata, nel senso che la $v_0$ non dovrebbe esserci: la radice di $2h_0/g$ sono secondi, quindi dimensionalmente quello e' uno spazio, non un tempo.
Lo riguardo con calma
La soluzione del testo mi sembra dimensionalmente sbagliata, nel senso che la $v_0$ non dovrebbe esserci: la radice di $2h_0/g$ sono secondi, quindi dimensionalmente quello e' uno spazio, non un tempo.
Lo riguardo con calma
Intanto grazie per la risposta, comunque si hai ragione errore mio dovevo scrivere $v_1= 0.9* v_0= 0.9 * sqrt(2gh_0)$ quella che ho scritto per errore dovrebbe essere il tempo di salita (solo del primo rimbalzo)... ma comunque rimane il problema di come calcola l'intervallo di tempo
Ci sono diversi errori da tutte le parti.
Andiamo per ordine:
La palla parte con velocita' $v_0$ da $h_0$, te lo dice il testo.
Quindi arrivera al suolo con velocita' $v_s=sqrt(v_0^2+2gh_0)$
Al primo rimbalzo, la velocita' di partenza, al netto della perdita, sara' $v_1$ (lasciamola indicata cosi per ora)
Quindi:
Altezza $h_1$ raggiunta: $h_1=v_1^2/[2g]$
Al secondo rimbalzo, la palla parte con $0.9v_1$, quindi altezza del secondo rimbalzo: $h_2=(0.9v_1)^2/[2g]=0.9^2v_1^2/[2g]$
Al terzo rimbalzo, la palla parte con $0.9*0.9v_1$, quindi altezza del terzo rimbalzo: $h_3=[0.9*0.9v_1]^2/[2g]=0.9^4v_1^2/[2g]$
ne consegue che la legge e' del tipo $h_[n+1]=0.9^(2n)*v_1^2/[2g]$ e, ricordando che $v_1=0.9v_s$, usando le espressioni sopra, si ottiene: $h_[n+1]=[0.9^(2n)*0.9^2(v_0^2+2gh_0)]/[2g]=[0.9^(2n+2)(v_0^2+2gh_0)]/[2g]=[0.9^[2(n+1)](v_0^2+2gh_0)]/[2g]$.
Dal che si deduce che al salto n-esimo, $h_n=[0.9^[2n](v_0^2+2gh_0)]/[2g]$
Tempi:
Durante il primo rimbalzo, quando la palla parte a velocita $v_1$, il tempo impiegato a tornare a terra $t_1=2v_1/g$
Il tempo impiegato per il secondo rimbalzo e' $t_2=v_2/g=2*0.9v_1/g$
Al terzo rimbalzo si ha $t_3=v_3/g=2*0.9v_2/g=2*0.9^2v_1/g$
Il tempo di un rimbalzo n+1 e' $t_[n+1]=2*0.9^nv_1/g$ e, di nuovo, essendo $v_1=0.9v_s$,
$t_[n+1]=2*0.9^n*0.9v_s/g=2*0.9^[n+1]*v_s/g$. Quindi:
$t_n=2*0.9^n*v_s/g=2*0.9^n*sqrt(v_0^2+2gh_0)/g$
Dove l'esercizio confonde le acque e' nel fatto, secondo me, che intendeva che la pallina viene rilasciata da ferma, cioe' con $v_0=0$, e quindi i risultati sono
$h_n=0.9^[2n]h_0$
e il tempo:
$t_n=2*0.9^n*sqrt(2gh_0)/g=2*0.9^n*sqrt([2h_0]/g)$
Andiamo per ordine:
La palla parte con velocita' $v_0$ da $h_0$, te lo dice il testo.
Quindi arrivera al suolo con velocita' $v_s=sqrt(v_0^2+2gh_0)$
Al primo rimbalzo, la velocita' di partenza, al netto della perdita, sara' $v_1$ (lasciamola indicata cosi per ora)
Quindi:
Altezza $h_1$ raggiunta: $h_1=v_1^2/[2g]$
Al secondo rimbalzo, la palla parte con $0.9v_1$, quindi altezza del secondo rimbalzo: $h_2=(0.9v_1)^2/[2g]=0.9^2v_1^2/[2g]$
Al terzo rimbalzo, la palla parte con $0.9*0.9v_1$, quindi altezza del terzo rimbalzo: $h_3=[0.9*0.9v_1]^2/[2g]=0.9^4v_1^2/[2g]$
ne consegue che la legge e' del tipo $h_[n+1]=0.9^(2n)*v_1^2/[2g]$ e, ricordando che $v_1=0.9v_s$, usando le espressioni sopra, si ottiene: $h_[n+1]=[0.9^(2n)*0.9^2(v_0^2+2gh_0)]/[2g]=[0.9^(2n+2)(v_0^2+2gh_0)]/[2g]=[0.9^[2(n+1)](v_0^2+2gh_0)]/[2g]$.
Dal che si deduce che al salto n-esimo, $h_n=[0.9^[2n](v_0^2+2gh_0)]/[2g]$
Tempi:
Durante il primo rimbalzo, quando la palla parte a velocita $v_1$, il tempo impiegato a tornare a terra $t_1=2v_1/g$
Il tempo impiegato per il secondo rimbalzo e' $t_2=v_2/g=2*0.9v_1/g$
Al terzo rimbalzo si ha $t_3=v_3/g=2*0.9v_2/g=2*0.9^2v_1/g$
Il tempo di un rimbalzo n+1 e' $t_[n+1]=2*0.9^nv_1/g$ e, di nuovo, essendo $v_1=0.9v_s$,
$t_[n+1]=2*0.9^n*0.9v_s/g=2*0.9^[n+1]*v_s/g$. Quindi:
$t_n=2*0.9^n*v_s/g=2*0.9^n*sqrt(v_0^2+2gh_0)/g$
Dove l'esercizio confonde le acque e' nel fatto, secondo me, che intendeva che la pallina viene rilasciata da ferma, cioe' con $v_0=0$, e quindi i risultati sono
$h_n=0.9^[2n]h_0$
e il tempo:
$t_n=2*0.9^n*sqrt(2gh_0)/g=2*0.9^n*sqrt([2h_0]/g)$
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