Riflessioni su due esercizi di cinematica (moto unidimensionale)
Un giocatore di hockey è fermo sui suoi pattini su di una pista gelata,quando un giocatore avversario passa pattinando con il dischetto , muovendosi con una velocità uniforme di 12 m/s .Dopo 3 s,il primo giocatore comincia ad inseguire l'avversario.Se egli accelera uniformemente a 4 m/s^2 quanto tempo impiega a raggiungere l'avversario ?
Le due equazioni che descrivono i due moti sono,per il tizio che parte da fermo e per quello che va ad una velocità costante,rispettivamente :
$x=12t$
$x=2t^2$
Poi io ho pensato che in 3 secondi , il tizio a velocità costante,percorre 36 m in quanto ne fa 12 al secondo .A questo punto ho scritto senza pensare il sistema
$x-36=12t$
$x=2t^2$
Ho risolto l'equazione di secondo grado e ho scartato il risultato negativo (ovviamente) .Viene 8,20 s come dice il libro .A questo punto tutto ok direte,no ? Il problema è che mi è capitato un esercizio simile che mi ha fatto nascere un sacco di dubbi. Fortunatamente il libro è inglese quindi sono riuscito facilmente a reperire la soluzione (purtroppo i dati numerici sono diversi e qui nascono altri problemi..! ) .
Una giovane donna di nome Kathy Kool compra una macchina sportiva che può accelerare di 4,9 m/s^2.Decide di provare la macchina gareggiando con un altro velocista,Stan Speedy. Entrambi partono da fermi,ma Stan, che ha più esperienza,parte 1s prima di Kathy .Se Stan si muove con una accelerazione costante di 3,6 m/s^2 e Kathy mantiene una accelerazione di 4,9 m/s^2,trovare il tempo che impiega Kathy a sorpassare Stan .
All'inizio ero partito fiducioso con l'approccio che avevo usato per l'altro problema però non ha funzionato (il libro da come soluzione 6,46 s ) .Cos'ho fatto ? Ho messo a sistema le equazioni che descrivono i due moti ossia,per Kathy e per Stan :
$x=1/2 *4,9*t^2$
$x=1/2 *3,6*t^2$
Tenendo conto del distacco di un secondo ho pensato bene di fare il ragionamento precedente .In un secondo stan si porta a
$x=(3,6)/2=1,8 m$
quindi avevo riscritto il sistema come
$x=1/2 *4,9*t^2$
$x-1,8=1/2 *3,6*t^2$
e conseguentemente ,l'equazione di secondo grado veniva sbagliata.. (penso) ! Dopo diverso tempo (abbastanza,eh!) e varie visioni mistiche penso di aver capito che non posso fare la stessa cosa che ho fatto nell'esercizio del tizio dell'hockey perchè il moto non avviene a velocità costante e quindi non posso semplicemente sottrarre 1,8 perchè in tempi uguali lui non percorre spazi uguali cosa che faceva quello che andava a velocità costante di 12 m/s .A questo punto ho cercato su internet (come uno stupido non c'ero arrivato) e ho trovato questa soluzione! : http://answers.yahoo.com/question/index ... 351AAHbDRO
è il mio problema (scritto in inglese) con dati diversi ma il ragionamento dovrebbe andare! Siccome mettendoci i miei dati e controllando con la soluzione del libro non mi torna mi sento in obbligo di scrivervi che ho fatto anche se dovrebbe essere ovvio :/
rispettivamente ,per Kathy e per Stan , ho scritto il sistema :
$x= 1/2 * 4,9 * (t-1)^2$
$x=1/2 *3,6 *t^2$
che diventa la seguente equazione di secondo grado (se vi è possibile controllateli i passaggi perchè ,anche se credo che il libro riporti la soluzione errata,non si sa mai..!) :
0,65*t^2 -4,9*t +2,45=0
le cui soluzioni sono 7 & 0,54 .
Il fatto di sottrarre 1 secondo al tempo di Kathy nell'equazione da mettere a sistema l'ho capito però poi ho notato che il tizio di yahoo answer (il link che vi ho dato) , nel dare la risposta al ragazzo che ha posto la domanda , ha sottratto un'altra unità al tempo (vi copio perchè temo venga fuori un casino altrimenti) :
Working formula is
D = VT + (1/2)aT^2
where
D = distance travelled
V = initial velocity
T = travel time
a = acceleration
Since both started from rest, then the above formula simplifies to
D = (1/2)aT^2
For Stan Speedy,
D = (1/2)(3.5)(T^2) --- call this Equation 1
For Kool Kathy,
D = (1/2)(5.1)(T - 1)^2 --- call this Equation 2
<< Find the time it takes Kathy to overtake Stan from when she starts. >>
At this point, Equation 1 = Equation 2, hence
(1/2)(3.5)T^2 = (1/2)(5.1)(T - 1)^2
3.5T^2 = 5.1(T^2 - 2T + 1)
3.5T^2 = 5.1T^2 - 10.2T + 5.1
Simplifying the above,
1.6T^2 - 10.2T + 5.1 = 0
and using the quadratic formula,
T = 5.83 sec.
Kool Kathy's time = 5.83 - 1 = 4.83 sec.
Quindi le mie soluzioni dovrebbero essere 7-1 & 0,54-1 ossia 6 e -0,46 .Prendendo solamente in considerazione il risultato positivo : 6 ? Il risultato che mi da il libro,come già scritto , è 6,46 s che non è proprio la stessa cosa!
Senza farmi bastare questo ho pensato quindi di tornare all'esercizio precedente che stavolta risolverò con il metodo dell'esercizio di Kathy e Stan .Lo ricopio :
Un giocatore di hockey è fermo sui suoi pattini su di una pista gelata,quando un giocatore avversario passa pattinando con il dischetto , muovendosi con una velocità uniforme di 12 m/s .Dopo 3 s,il primo giocatore comincia ad inseguire l'avversario.Se egli accelera uniformemente a 4 m/s^2 quanto tempo impiega a raggiungere l'avversario ?
$x=12t$
$x=2(t-1)^2$
da cui,facendo il quadrato etc.. , con il sistema e cose varie dovrebbe venire
$2t^2-16t+2=0$
che ha soluzioni 7,87 e 0,13 . Già così non torna ! se poi dovessi tener conto di quella storia di sottrarre un secondo (non ho capito perchè) al risultato finale otterrei 6,87 e -0,87 .Prendendo il risultato positivo, 6,87 che è ben diverso da 8,20 (risultato che riporta il libro e a cui ero pervenuto precedentemente).Quindi perchè cavolo non tornano i risultati ?
Adesso volevo riassumere tutte le domande sperando che in questo casino possa essere d'aiuto avere una scaletta con i punti che mi interessa risolvere ..!
1.Ciò che ho scritto in viola è esatto ? In altre parole,se mi muovo a velocità costante posso sottrarre all'equazione la distanza percorsa in quel lasso di tempo per farmi tornare le cose mentre se accelero non è così facile e non posso farlo ; giusto ?
2.Ciò che ho scritto in blu qualcuno me lo spiega? Nel senso,Kathy parte con un secondo di ritardo e ne ho già tenuto conto nell'equazione che ho usato per lei nel sistema! Come mai sottrarre (sempre se quello che ha svolto l'esercizio lo ha fatto bene) un'altro secondo ?
3.I passaggi per arrivarci e l'equazione di secondo grado in arancione sono giusti ? Se sì, devo dedurre che la risposta all'esercizio di Kathy e Stan è 6 secondi e non 6,46 s come riporta il mio libro ?
4.L'esercizio del tizio dell'hockey è risolvibile con il secondo metodo che ho usato alla fine (quello dell'esercizio di Kathy e Stan) ? A me sembra che stavolta lo possa risolvere anche in questa maniera o no?! E se sì perchè non mi tornano i conti (primo metodo : 8,20 s ; secondo : 6,87) .
..Buona fortuna! .. (e grazie per eventuali risposte)
Le due equazioni che descrivono i due moti sono,per il tizio che parte da fermo e per quello che va ad una velocità costante,rispettivamente :
$x=12t$
$x=2t^2$
Poi io ho pensato che in 3 secondi , il tizio a velocità costante,percorre 36 m in quanto ne fa 12 al secondo .A questo punto ho scritto senza pensare il sistema
$x-36=12t$
$x=2t^2$
Ho risolto l'equazione di secondo grado e ho scartato il risultato negativo (ovviamente) .Viene 8,20 s come dice il libro .A questo punto tutto ok direte,no ? Il problema è che mi è capitato un esercizio simile che mi ha fatto nascere un sacco di dubbi. Fortunatamente il libro è inglese quindi sono riuscito facilmente a reperire la soluzione (purtroppo i dati numerici sono diversi e qui nascono altri problemi..! ) .
Una giovane donna di nome Kathy Kool compra una macchina sportiva che può accelerare di 4,9 m/s^2.Decide di provare la macchina gareggiando con un altro velocista,Stan Speedy. Entrambi partono da fermi,ma Stan, che ha più esperienza,parte 1s prima di Kathy .Se Stan si muove con una accelerazione costante di 3,6 m/s^2 e Kathy mantiene una accelerazione di 4,9 m/s^2,trovare il tempo che impiega Kathy a sorpassare Stan .
All'inizio ero partito fiducioso con l'approccio che avevo usato per l'altro problema però non ha funzionato (il libro da come soluzione 6,46 s ) .Cos'ho fatto ? Ho messo a sistema le equazioni che descrivono i due moti ossia,per Kathy e per Stan :
$x=1/2 *4,9*t^2$
$x=1/2 *3,6*t^2$
Tenendo conto del distacco di un secondo ho pensato bene di fare il ragionamento precedente .In un secondo stan si porta a
$x=(3,6)/2=1,8 m$
quindi avevo riscritto il sistema come
$x=1/2 *4,9*t^2$
$x-1,8=1/2 *3,6*t^2$
e conseguentemente ,l'equazione di secondo grado veniva sbagliata.. (penso) ! Dopo diverso tempo (abbastanza,eh!) e varie visioni mistiche penso di aver capito che non posso fare la stessa cosa che ho fatto nell'esercizio del tizio dell'hockey perchè il moto non avviene a velocità costante e quindi non posso semplicemente sottrarre 1,8 perchè in tempi uguali lui non percorre spazi uguali cosa che faceva quello che andava a velocità costante di 12 m/s .A questo punto ho cercato su internet (come uno stupido non c'ero arrivato) e ho trovato questa soluzione! : http://answers.yahoo.com/question/index ... 351AAHbDRO
è il mio problema (scritto in inglese) con dati diversi ma il ragionamento dovrebbe andare! Siccome mettendoci i miei dati e controllando con la soluzione del libro non mi torna mi sento in obbligo di scrivervi che ho fatto anche se dovrebbe essere ovvio :/
rispettivamente ,per Kathy e per Stan , ho scritto il sistema :
$x= 1/2 * 4,9 * (t-1)^2$
$x=1/2 *3,6 *t^2$
che diventa la seguente equazione di secondo grado (se vi è possibile controllateli i passaggi perchè ,anche se credo che il libro riporti la soluzione errata,non si sa mai..!) :
0,65*t^2 -4,9*t +2,45=0
le cui soluzioni sono 7 & 0,54 .
Il fatto di sottrarre 1 secondo al tempo di Kathy nell'equazione da mettere a sistema l'ho capito però poi ho notato che il tizio di yahoo answer (il link che vi ho dato) , nel dare la risposta al ragazzo che ha posto la domanda , ha sottratto un'altra unità al tempo (vi copio perchè temo venga fuori un casino altrimenti) :
Working formula is
D = VT + (1/2)aT^2
where
D = distance travelled
V = initial velocity
T = travel time
a = acceleration
Since both started from rest, then the above formula simplifies to
D = (1/2)aT^2
For Stan Speedy,
D = (1/2)(3.5)(T^2) --- call this Equation 1
For Kool Kathy,
D = (1/2)(5.1)(T - 1)^2 --- call this Equation 2
<< Find the time it takes Kathy to overtake Stan from when she starts. >>
At this point, Equation 1 = Equation 2, hence
(1/2)(3.5)T^2 = (1/2)(5.1)(T - 1)^2
3.5T^2 = 5.1(T^2 - 2T + 1)
3.5T^2 = 5.1T^2 - 10.2T + 5.1
Simplifying the above,
1.6T^2 - 10.2T + 5.1 = 0
and using the quadratic formula,
T = 5.83 sec.
Kool Kathy's time = 5.83 - 1 = 4.83 sec.
Quindi le mie soluzioni dovrebbero essere 7-1 & 0,54-1 ossia 6 e -0,46 .Prendendo solamente in considerazione il risultato positivo : 6 ? Il risultato che mi da il libro,come già scritto , è 6,46 s che non è proprio la stessa cosa!
Senza farmi bastare questo ho pensato quindi di tornare all'esercizio precedente che stavolta risolverò con il metodo dell'esercizio di Kathy e Stan .Lo ricopio :
Un giocatore di hockey è fermo sui suoi pattini su di una pista gelata,quando un giocatore avversario passa pattinando con il dischetto , muovendosi con una velocità uniforme di 12 m/s .Dopo 3 s,il primo giocatore comincia ad inseguire l'avversario.Se egli accelera uniformemente a 4 m/s^2 quanto tempo impiega a raggiungere l'avversario ?
$x=12t$
$x=2(t-1)^2$
da cui,facendo il quadrato etc.. , con il sistema e cose varie dovrebbe venire
$2t^2-16t+2=0$
che ha soluzioni 7,87 e 0,13 . Già così non torna ! se poi dovessi tener conto di quella storia di sottrarre un secondo (non ho capito perchè) al risultato finale otterrei 6,87 e -0,87 .Prendendo il risultato positivo, 6,87 che è ben diverso da 8,20 (risultato che riporta il libro e a cui ero pervenuto precedentemente).Quindi perchè cavolo non tornano i risultati ?
Adesso volevo riassumere tutte le domande sperando che in questo casino possa essere d'aiuto avere una scaletta con i punti che mi interessa risolvere ..!
1.Ciò che ho scritto in viola è esatto ? In altre parole,se mi muovo a velocità costante posso sottrarre all'equazione la distanza percorsa in quel lasso di tempo per farmi tornare le cose mentre se accelero non è così facile e non posso farlo ; giusto ?
2.Ciò che ho scritto in blu qualcuno me lo spiega? Nel senso,Kathy parte con un secondo di ritardo e ne ho già tenuto conto nell'equazione che ho usato per lei nel sistema! Come mai sottrarre (sempre se quello che ha svolto l'esercizio lo ha fatto bene) un'altro secondo ?
3.I passaggi per arrivarci e l'equazione di secondo grado in arancione sono giusti ? Se sì, devo dedurre che la risposta all'esercizio di Kathy e Stan è 6 secondi e non 6,46 s come riporta il mio libro ?
4.L'esercizio del tizio dell'hockey è risolvibile con il secondo metodo che ho usato alla fine (quello dell'esercizio di Kathy e Stan) ? A me sembra che stavolta lo possa risolvere anche in questa maniera o no?! E se sì perchè non mi tornano i conti (primo metodo : 8,20 s ; secondo : 6,87) .
..Buona fortuna! ..
(e grazie per eventuali risposte)
Risposte
Ho ricevuto risposta qui se a qualcuno interessava! : http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 605AAr1JhY
Aiuto !!!
Senza offesa, ma sono due esercizi da fare in 5 minuti...
Katy e Sten.
Passano 6 s da quando Katy parte a quando raggiunge Sten. Fine.
Quello che si dice su Yahoo o sul libro, non importa.
Il fatto che devi sottrarre un secondo dai risultati è perchè stai considerando il riferimento di Sten.
Altrimenti le equazioni cambiano così:
$x=1/2*4,9t^2$
$x=1/2*3,6(t+1)^2$
Risolvile e vedrai che ottieni 6 s da subito.
Fatti un grafico su un foglio di carta che rappresenta il moto dei due corpi e cerca di capire bene questi cambi di riferimento.
Anche per il 1° esercizio.
Il giocatore A accelera di $3 m/s^2$ quindi scriviamo $x=1/2*3t^2$
B viaggia a 12 m/s, ma passa dallo zero (la posizione di A all'inizio, a $t=0$) 3 secondi prima, quindi scriviamo $x=12(t+3)$.
A $t=0$ B sarà a 36 m davanti ad A, il che ha senso, è quello che ci si aspetta.
Senza offesa, ma sono due esercizi da fare in 5 minuti...
Katy e Sten.
Passano 6 s da quando Katy parte a quando raggiunge Sten. Fine.
Quello che si dice su Yahoo o sul libro, non importa.
Il fatto che devi sottrarre un secondo dai risultati è perchè stai considerando il riferimento di Sten.
Altrimenti le equazioni cambiano così:
$x=1/2*4,9t^2$
$x=1/2*3,6(t+1)^2$
Risolvile e vedrai che ottieni 6 s da subito.
Fatti un grafico su un foglio di carta che rappresenta il moto dei due corpi e cerca di capire bene questi cambi di riferimento.
Anche per il 1° esercizio.
Il giocatore A accelera di $3 m/s^2$ quindi scriviamo $x=1/2*3t^2$
B viaggia a 12 m/s, ma passa dallo zero (la posizione di A all'inizio, a $t=0$) 3 secondi prima, quindi scriviamo $x=12(t+3)$.
A $t=0$ B sarà a 36 m davanti ad A, il che ha senso, è quello che ci si aspetta.
Figurati..! Anzi,grazie della risposta! Ci sono stato diverso tempo perchè volevo essere sicuro di tutto nonostante alla fine mi veniva (:
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