Riflessioni su alcuni problemi
Buongiorno a tutti!
Dalla risoluzione di alcuni esercizi di cinematica sono scaturite delle incomprensioni, che ho pensato di sottoporre alla vostra esperienza, sperando di riuscire ad avere qualche raccapezzamento.
1.Un proiettile viene lanciato con velocità iniziale $v_o=200m/s$ dalla sommità di un colle che domina
una vallata pianeggiante. Si assuma $ h=200m $ l’altezza del colle rispetto alla vallata. Il lancio
prevede che il proiettile cada nella vallata. Determinare l’alzo migliore (rispetto all’orizzontale) che
garantisce la massima gittata (distanza dalla base della montagna). Determinare il raggio di
curvatura della traiettoria dopo $t=1s$.
Questo problema sembra di facile soluzione, ma dopo la prima impressione ho faticato ad andare avanti. So che esiste una formula che si può imparare a pappagallo per calcolare la gittata di un lancio, nota la velocità e l'angolo di alzo, ma ho la quasi certezza che essa valga solamente quando la quota di lancio e quella di atterraggio sono uguali, cioè non in questo caso. Allora mi sono messo lì a scrivere i moti componenti del proiettile, poi ho cercato gli zeri dell'equazione che indica la quota verticale del proiettile, ma ottengo una radice poco piacevole. L'idea era quella di calcolare il tempo di volo, inserirlo nell'equazione del moto componente orizzontale e determinare così la gittata...tuttavia i calcoli non sono stati miei amici...ho sbagliato qualcosa?
2. Dovendo attraversare un fiume largo $ L=50m $ e puntando
ortogonalmente alla riva opposta, si ha che la velocità dell’acqua è
data da $ v (y) = ky(L-y) $ con $k=5*10^-3 m^-1*s^-1$. Partendo da A e volendo raggiungere B spostato a valle di $d=20m$, si determini con quale velocità costante $v_(oy)$ occorre muoversi per raggiungere B ed il tempo impiegato.
Qui il problema è di difficile decrittazione. Ho pensato di calcolare anche qui i moti componenti rispetto x e y. Ho scritto l'accelerazione della corrente come derivata della velocità della stessa...e poi?
Ho pensato di calcolare l'angolo $ABO$ ma mi è risultato di poca utilità. Ho provato a tirare fuori qualcosa dall'uguaglianza vettoriale $v^2=(v_x)^2+(v_y)^2$, ma procedendo nei calcoli non sembra si possa arrivare a qualcosa di buono. Insomma qui buio totale...
Qualcuno vorrà aiutarmi? Ci tengo a sottolineare che non sono compiti che mi verranno controllati, visto che sono all'università, ma esercizi di cui vorrei comprendere bene lo svolgimento.
Grazie.
Dalla risoluzione di alcuni esercizi di cinematica sono scaturite delle incomprensioni, che ho pensato di sottoporre alla vostra esperienza, sperando di riuscire ad avere qualche raccapezzamento.
1.Un proiettile viene lanciato con velocità iniziale $v_o=200m/s$ dalla sommità di un colle che domina
una vallata pianeggiante. Si assuma $ h=200m $ l’altezza del colle rispetto alla vallata. Il lancio
prevede che il proiettile cada nella vallata. Determinare l’alzo migliore (rispetto all’orizzontale) che
garantisce la massima gittata (distanza dalla base della montagna). Determinare il raggio di
curvatura della traiettoria dopo $t=1s$.
Questo problema sembra di facile soluzione, ma dopo la prima impressione ho faticato ad andare avanti. So che esiste una formula che si può imparare a pappagallo per calcolare la gittata di un lancio, nota la velocità e l'angolo di alzo, ma ho la quasi certezza che essa valga solamente quando la quota di lancio e quella di atterraggio sono uguali, cioè non in questo caso. Allora mi sono messo lì a scrivere i moti componenti del proiettile, poi ho cercato gli zeri dell'equazione che indica la quota verticale del proiettile, ma ottengo una radice poco piacevole. L'idea era quella di calcolare il tempo di volo, inserirlo nell'equazione del moto componente orizzontale e determinare così la gittata...tuttavia i calcoli non sono stati miei amici...ho sbagliato qualcosa?
2. Dovendo attraversare un fiume largo $ L=50m $ e puntando
ortogonalmente alla riva opposta, si ha che la velocità dell’acqua è
data da $ v (y) = ky(L-y) $ con $k=5*10^-3 m^-1*s^-1$. Partendo da A e volendo raggiungere B spostato a valle di $d=20m$, si determini con quale velocità costante $v_(oy)$ occorre muoversi per raggiungere B ed il tempo impiegato.
Qui il problema è di difficile decrittazione. Ho pensato di calcolare anche qui i moti componenti rispetto x e y. Ho scritto l'accelerazione della corrente come derivata della velocità della stessa...e poi?
Ho pensato di calcolare l'angolo $ABO$ ma mi è risultato di poca utilità. Ho provato a tirare fuori qualcosa dall'uguaglianza vettoriale $v^2=(v_x)^2+(v_y)^2$, ma procedendo nei calcoli non sembra si possa arrivare a qualcosa di buono. Insomma qui buio totale...
Qualcuno vorrà aiutarmi? Ci tengo a sottolineare che non sono compiti che mi verranno controllati, visto che sono all'università, ma esercizi di cui vorrei comprendere bene lo svolgimento.
Grazie.
Risposte
1) Probabilmente hai sbagliato qualche calcolo.
La gittata massima a me viene: $R_(max)=v_o/g.sqrt(v_o^2+2gh)$.
2) Io lo svolgerei così.
Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt. Lo spostamento orizzontale dx sarà:
$dx=v(y)dt=ky(L-y)dt$
Essendo $y=v_(oy)t$ essa diventa:
$dx=kv_(oy)t(L-v_(oy)t)dt$
Integrando rispetto al tempo (da 0 a $L/v_(oy)$) si trova lo spazio percorso in direzione perpendicolare alla corrente...
Io ho trovato una velocità di circa 5,21 m/s.
La gittata massima a me viene: $R_(max)=v_o/g.sqrt(v_o^2+2gh)$.
2) Io lo svolgerei così.
Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt. Lo spostamento orizzontale dx sarà:
$dx=v(y)dt=ky(L-y)dt$
Essendo $y=v_(oy)t$ essa diventa:
$dx=kv_(oy)t(L-v_(oy)t)dt$
Integrando rispetto al tempo (da 0 a $L/v_(oy)$) si trova lo spazio percorso in direzione perpendicolare alla corrente...
Io ho trovato una velocità di circa 5,21 m/s.
Riprovando a calcolare il tempo di volo fatico ancora a risolvere l'equazione di secondo grado. Sembra avere radici poco simpatiche.
Rimango con
$t_(1,2)=$ [tex]v_0sen(\alpha) \over g[/tex] [tex]\mp \sqrt{{v^2_0sen^2(\alpha) \over g^2} + {2h \over g}}[/tex]
Cosa sbaglio?
Rimango con
$t_(1,2)=$ [tex]v_0sen(\alpha) \over g[/tex] [tex]\mp \sqrt{{v^2_0sen^2(\alpha) \over g^2} + {2h \over g}}[/tex]
Cosa sbaglio?
Non sbagli nulla (la soluzione giusta è quella con il segno positivo).
Anche i calcoli della derivata prima sono un po' laboriosi ma il risultato finale è abbastanza semplice.
Anche i calcoli della derivata prima sono un po' laboriosi ma il risultato finale è abbastanza semplice.
Ok, proverò ad andare avanti con questo mostro di radice...
grazie tante anche per la dritta sull'altro problema, l'ho risolto liscio come l'olio.
grazie tante anche per la dritta sull'altro problema, l'ho risolto liscio come l'olio.
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