Richiesta d'aiuto per risoluzione quesito di fisica teorica
Salve a Tutti,
son un nuovo iscritto e vorrei cortesemente che qualcuno della lista (esperto di Fisica Teorica) mi potesse aiutare a risolvere un esercizio d'esame.
Resto in attesa di un Vs. graditissimo riscontro.
GRAZIE e a presto.
stefano
son un nuovo iscritto e vorrei cortesemente che qualcuno della lista (esperto di Fisica Teorica) mi potesse aiutare a risolvere un esercizio d'esame.
Resto in attesa di un Vs. graditissimo riscontro.
GRAZIE e a presto.
stefano
Risposte
Ciao stefano, non ho ben capito il tuo post: stai chiedendo il permesso di postare una domanda su un problema? Puoi farlo senza chiedere permesso eh... 
grazie mathbells...ok...il mio quesito è il seguente:
Una Particella di Massa m e Carica elettrica q è sottoposta all'azione di un campo elettromagnetico indipendente dal tempo di potenziali (U, $\vec A $):
(1) - supponendo che la particella sia libera, ma relativistica, si sostituisca nella parte cinetica dell'Hamiltoniano la corrispondente espressione relativistica. Per eliminare le radici quadrate di operatori si moltiplichi per $sqrt ($\vec $p^2$*$c^2$ + $m^2$*$c^4$) + E
(2) - Usando le identità per le matrici di Pauli $\sigma_i$*$\sigma_j$ = $\delta_{i,j}$ + i*$\epsilon_{i,j,k}*$\sigma_k$, dimostrare che sull'operatore ($\hat sigma$*$\vec p$)*($\hat sigma$*$\vec p$) che agisce su uno spinore di Pauli (due componenti) corrisponde all'operatore $\vec p^2$. Si dimostri, inoltre, che le equazioni per la coppia di spinori $\Phi$ = $($\hat sigma$*$\vec p$)/(E+m)$*$\Psi$ ed $\Psi$ = $($\hat sigma$*$\vec p$)/(E-m)$*$\Phi$ sono equivalenti all'equazione determinata al punto (1). Si scriva infine, una sola equazione matriciale per lo spinore a 4 componenti $($\Psi$,$\Phi$)^T$ (equazione di Dirac) equivalente all'equazione del punto (1)
(3) - Si esprima in queste componenti la conservazione della densità di probabilità
(4) - Si sostituisca nelle precedenti equazioni l'autovalore dell'energia a meno del termine di massa E = $\epsilon$ + (m*$\c^2$). Inoltre, s'introducano i potenziali elettromagnetici nei momenti coniugati secondo l'accoppiamento minimale $\vec p$ $rarr$ $\vec p$ - $q/c$*$\vec A$($\vec r$) ed $\epsilon$ $rarr$ $\epsilon$ - U($\vec r$), dove U è l'energia potenziale elettrica
(5) - Usando l'identità seguente $(2*m*$c^2$) + $\epsilon$ - U)^(-1)$ = $1/(2*m*$c^2$)$ * (1 + $(U- $\epsilon$) /(2*m*$c^2$+$\epsilon$-U)$ ed assumendo che U $<=$0 e $I$\epsilon$I $<<$ 2*m*$c^2$, scrivere un'equazione per il solo spinore $\Psi$ , nella quale si trascuri il termine (U-$\epsilon$) rispetto a 2*m*$c^2$ e si considerino solo i termini al più fino a $1/$c^2$$
(6)- Si definisca $\Psi$ = (1 - $($\vec $p^2$)/(4*$m^2$*$c^2$)$*$\Chi$, con $\langle $\Chi$ | $\Chi$$\rangle = 1 verificando che la conservazione della densità di probabilità fino all'ordine $1/$c^2$$. Si scriva quindi la corrispondente equazione per $\Chi$, isolando la parte che contiene il momento coniugato con potenziale vettore dalla parte puramente scalare
(7)- Si dimostrino le seguenti identità:
$\hat sigma$*$vec p$(U-$\epsilon$)$\hat sigma$*$\vec p$ = $\vec $p^2$$(U-$\epsilon$) + $\grad^2$U + i*$\grad U$*$\vec p$ + $\hat sigma$*$\grad U$ x $\vec p$
(U-$\epsilon$)*$\vec $p^2$$ = $\vec $p^2$$*(U-$\epsilon$) + $\grad^2$(U-$\epsilon) + 2*i*$\grad$(U-$\epsilon$)*$\vec p$
ed avendo definito $\vec S$ = $$\hat sigma$/2$ anche la relazione per potenziali centrali:
$\vec S$*$\grad$U x $\vec p$ = ($1/r$*$d/dr$*U)$\vec S$*$\vec L$
Sarei molto grato se qualcuno di Voi potesse aiutarmi a risolvere questo ahimè lungo quesito di Fisica Teorica...nel ringraziarVi ancora di cuore.....a presto
Una Particella di Massa m e Carica elettrica q è sottoposta all'azione di un campo elettromagnetico indipendente dal tempo di potenziali (U, $\vec A $):
(1) - supponendo che la particella sia libera, ma relativistica, si sostituisca nella parte cinetica dell'Hamiltoniano la corrispondente espressione relativistica. Per eliminare le radici quadrate di operatori si moltiplichi per $sqrt ($\vec $p^2$*$c^2$ + $m^2$*$c^4$) + E
(2) - Usando le identità per le matrici di Pauli $\sigma_i$*$\sigma_j$ = $\delta_{i,j}$ + i*$\epsilon_{i,j,k}*$\sigma_k$, dimostrare che sull'operatore ($\hat sigma$*$\vec p$)*($\hat sigma$*$\vec p$) che agisce su uno spinore di Pauli (due componenti) corrisponde all'operatore $\vec p^2$. Si dimostri, inoltre, che le equazioni per la coppia di spinori $\Phi$ = $($\hat sigma$*$\vec p$)/(E+m)$*$\Psi$ ed $\Psi$ = $($\hat sigma$*$\vec p$)/(E-m)$*$\Phi$ sono equivalenti all'equazione determinata al punto (1). Si scriva infine, una sola equazione matriciale per lo spinore a 4 componenti $($\Psi$,$\Phi$)^T$ (equazione di Dirac) equivalente all'equazione del punto (1)
(3) - Si esprima in queste componenti la conservazione della densità di probabilità
(4) - Si sostituisca nelle precedenti equazioni l'autovalore dell'energia a meno del termine di massa E = $\epsilon$ + (m*$\c^2$). Inoltre, s'introducano i potenziali elettromagnetici nei momenti coniugati secondo l'accoppiamento minimale $\vec p$ $rarr$ $\vec p$ - $q/c$*$\vec A$($\vec r$) ed $\epsilon$ $rarr$ $\epsilon$ - U($\vec r$), dove U è l'energia potenziale elettrica
(5) - Usando l'identità seguente $(2*m*$c^2$) + $\epsilon$ - U)^(-1)$ = $1/(2*m*$c^2$)$ * (1 + $(U- $\epsilon$) /(2*m*$c^2$+$\epsilon$-U)$ ed assumendo che U $<=$0 e $I$\epsilon$I $<<$ 2*m*$c^2$, scrivere un'equazione per il solo spinore $\Psi$ , nella quale si trascuri il termine (U-$\epsilon$) rispetto a 2*m*$c^2$ e si considerino solo i termini al più fino a $1/$c^2$$
(6)- Si definisca $\Psi$ = (1 - $($\vec $p^2$)/(4*$m^2$*$c^2$)$*$\Chi$, con $\langle $\Chi$ | $\Chi$$\rangle = 1 verificando che la conservazione della densità di probabilità fino all'ordine $1/$c^2$$. Si scriva quindi la corrispondente equazione per $\Chi$, isolando la parte che contiene il momento coniugato con potenziale vettore dalla parte puramente scalare
(7)- Si dimostrino le seguenti identità:
$\hat sigma$*$vec p$(U-$\epsilon$)$\hat sigma$*$\vec p$ = $\vec $p^2$$(U-$\epsilon$) + $\grad^2$U + i*$\grad U$*$\vec p$ + $\hat sigma$*$\grad U$ x $\vec p$
(U-$\epsilon$)*$\vec $p^2$$ = $\vec $p^2$$*(U-$\epsilon$) + $\grad^2$(U-$\epsilon) + 2*i*$\grad$(U-$\epsilon$)*$\vec p$
ed avendo definito $\vec S$ = $$\hat sigma$/2$ anche la relazione per potenziali centrali:
$\vec S$*$\grad$U x $\vec p$ = ($1/r$*$d/dr$*U)$\vec S$*$\vec L$
Sarei molto grato se qualcuno di Voi potesse aiutarmi a risolvere questo ahimè lungo quesito di Fisica Teorica...nel ringraziarVi ancora di cuore.....a presto
scusatemi...questo è il testo integrale del problema di fisica teorica per cui mi serve il vs aiuto...grazie e a presto
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