Ricavare l'equazione del moto dalla legge della forza
Non mi è molto chiaro come da $F(x)=-\omega^2x+F_{0}cos^2\omega t$, ovvero la forza, ottengo l'equazione del moto $\ddot x +\omega^2x=\frac{F_{o}}{2}+\frac{F_{0}}{2}cos(2\omega t)$.
Risposte
Immagino che assumi la massa pari ad 1... In questo caso, la tua equazione è semplicemente [tex]\ddot x = F(x)[/tex]
con [tex]\omega^2 x[/tex] portato a primo membro e dove si è fatto uso dell'identità trigonometrica [tex]$\cos^2\theta = \frac{1+\cos\left(2\theta\right)}{2}[/tex], niente di più e niente di meno.
con [tex]\omega^2 x[/tex] portato a primo membro e dove si è fatto uso dell'identità trigonometrica [tex]$\cos^2\theta = \frac{1+\cos\left(2\theta\right)}{2}[/tex], niente di più e niente di meno.
Grazie mille. Il quesito è ricavare la legge oraria. Ora, il quesito è ricavare la legge oraria. Io mio proporrei di risolvere l'equazione differenziale, ma non capisco il modo di procedere della risoluzione:
ciao, ti elenco i vari passaggi per risolvere l'equazione:
1) risolvi prima di tutto l'equazione omogenea associata: $ ddot{x} + omega^2 x = 0$ . Se hai un minimo di nozioni di equazioni differenziali del 2° ordine, saprai che la soluzione è del tipo $ x(t) = C_1 cos(omegat) + C_2 sen(omegat) $
2) A questo punto inserisci gli altri termini 'esterni', e risolvi l'equazione per ognuno di essi: $ ddot{x} + omega^2 x = F_0 / 2 $ . Per farlo usi il metodo di somiglianza, cioè ipotizzi che la soluzione abbia la stessa forma del termine che hai aggiunto, ovvero ipotizzi che sia una costante: $ x(t) = C_3 $ , inserisci quindi questa nell'equazione differenziale che hai appena scritto, e cosi ti trovi $ C_3 = F_0 / (2omega^2) $
3) Fai lo stesso procedimento con l'altro termine: $ ddot{x} + omega^2 x = F_0 / 2 cos(2omegat) $ ; anche qui, ipotizzi che la soluzione sia simile al termine che hai inserito, ovvero del tipo $ x(t) = C_4 cos(2omegat) $ , la inserisci nell'eq.differenziale e ricavi $ C_4 = - F_0/(6omega^2) $
4) La soluzione generale quindi sarà la somma delle soluzione dei punti 1,2,3: $ x(t) = C_1 cos(omegat) + C_2 sen(omegat) + F_0/(2omega^2) - F_0/(6omega^2) cos(2omegat) $
5) inserendo le condizioni al contorno, trovi i valori di C1 e C2. Dopodichè se chiami il termine costante $ x_c = F_0/(2omega^2) $ , ottieni proprio la soluzione che cerchi.
1) risolvi prima di tutto l'equazione omogenea associata: $ ddot{x} + omega^2 x = 0$ . Se hai un minimo di nozioni di equazioni differenziali del 2° ordine, saprai che la soluzione è del tipo $ x(t) = C_1 cos(omegat) + C_2 sen(omegat) $
2) A questo punto inserisci gli altri termini 'esterni', e risolvi l'equazione per ognuno di essi: $ ddot{x} + omega^2 x = F_0 / 2 $ . Per farlo usi il metodo di somiglianza, cioè ipotizzi che la soluzione abbia la stessa forma del termine che hai aggiunto, ovvero ipotizzi che sia una costante: $ x(t) = C_3 $ , inserisci quindi questa nell'equazione differenziale che hai appena scritto, e cosi ti trovi $ C_3 = F_0 / (2omega^2) $
3) Fai lo stesso procedimento con l'altro termine: $ ddot{x} + omega^2 x = F_0 / 2 cos(2omegat) $ ; anche qui, ipotizzi che la soluzione sia simile al termine che hai inserito, ovvero del tipo $ x(t) = C_4 cos(2omegat) $ , la inserisci nell'eq.differenziale e ricavi $ C_4 = - F_0/(6omega^2) $
4) La soluzione generale quindi sarà la somma delle soluzione dei punti 1,2,3: $ x(t) = C_1 cos(omegat) + C_2 sen(omegat) + F_0/(2omega^2) - F_0/(6omega^2) cos(2omegat) $
5) inserendo le condizioni al contorno, trovi i valori di C1 e C2. Dopodichè se chiami il termine costante $ x_c = F_0/(2omega^2) $ , ottieni proprio la soluzione che cerchi.
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