Ricavare espressione Altezza massima con velocità di fuga
salve.. ho porvato in vari modi, ma proprio non riesco ad arrivare alla soluzione del libro.. il testo è:
"Un corpo è lanciato dalla superficie della terra (di raggio $R_T$) verso l'alto con una velocità iniziale $v_i$, confrontabile ma minore della velocità di fuga $v_(fuga)$. Mostrare che il corpo raggiunge la massima altezza $h$ data da
$h= (R_T v_i^2) / (v_(fuga)^2 - v_i^2)$
ho provato con l'energia gravitazionale.. ma la v di fuga non c'è.. quindi non so proprio come inserirla per arrivare a questa espressione!!
un altro punto che vorrei mi fosse chiarito è questo:
supporre che una palla da baseball sia lanciata verso l'alto con una velocità iniziale molto piccola rispetto alla velocità di fuga. Mostrare che l'equazione trovata è CONSISTENTE con l'equazione
$h=v_i^2 / (2g)$
allora prima di tutto vorrei sapere cosa significa il termine "Consistente" in questo contesto... poi io le ho provate a paragonare.. l'analisi dimensionale è uguale... poi ho provato a sostituire dei valori in entrambe... considerando la velocità iniziale prossima a 1 e effettivamente mi danno entrambe un valore quasi identico..
le ho eguagliate.. ho semplificato la $v_i$ e dopo ho provato a mettere i valori e mi veniva
0.510 la prima e 0.5087 circa la seconda però non so.. sinceramente non saprei che altro fare con quelle due formule! o.O e no nso che significa quel consistente O.O
"Un corpo è lanciato dalla superficie della terra (di raggio $R_T$) verso l'alto con una velocità iniziale $v_i$, confrontabile ma minore della velocità di fuga $v_(fuga)$. Mostrare che il corpo raggiunge la massima altezza $h$ data da
$h= (R_T v_i^2) / (v_(fuga)^2 - v_i^2)$
ho provato con l'energia gravitazionale.. ma la v di fuga non c'è.. quindi non so proprio come inserirla per arrivare a questa espressione!!
un altro punto che vorrei mi fosse chiarito è questo:
supporre che una palla da baseball sia lanciata verso l'alto con una velocità iniziale molto piccola rispetto alla velocità di fuga. Mostrare che l'equazione trovata è CONSISTENTE con l'equazione
$h=v_i^2 / (2g)$
allora prima di tutto vorrei sapere cosa significa il termine "Consistente" in questo contesto... poi io le ho provate a paragonare.. l'analisi dimensionale è uguale... poi ho provato a sostituire dei valori in entrambe... considerando la velocità iniziale prossima a 1 e effettivamente mi danno entrambe un valore quasi identico..
le ho eguagliate.. ho semplificato la $v_i$ e dopo ho provato a mettere i valori e mi veniva
0.510 la prima e 0.5087 circa la seconda però non so.. sinceramente non saprei che altro fare con quelle due formule! o.O e no nso che significa quel consistente O.O
Risposte
La velocità di fuga è quella velocità limite alla quale l'energia cinetica del corpo è uguale all'energia potenziale gravitazionale.
Se il corpo ha velocità iniziale maggiore della velocità di fuga non esaurisce mai la sua energia cinetica nel campo gravitazionale del pianeta e quindi gli sfugge.
Se la velocità iniziale del corpo è minore della velocità di fuga la sua energia cinetica prima o poi si esaurisce, il corpo si ferma alla distanza massima raggiunta e quindi torna a ricadere sul pianeta.
Dunque per calcolare la velocità di fuga basta che tu scriva l'uguaglianza delle energie.
Tutto il resto viene di conseguenza con passaggi algebrici.
Se il corpo ha velocità iniziale maggiore della velocità di fuga non esaurisce mai la sua energia cinetica nel campo gravitazionale del pianeta e quindi gli sfugge.
Se la velocità iniziale del corpo è minore della velocità di fuga la sua energia cinetica prima o poi si esaurisce, il corpo si ferma alla distanza massima raggiunta e quindi torna a ricadere sul pianeta.
Dunque per calcolare la velocità di fuga basta che tu scriva l'uguaglianza delle energie.
Tutto il resto viene di conseguenza con passaggi algebrici.
perfetto.. ho risolto il primo punto... però non mi hai spiegato le mie domande sul secondo... sai cosa significa quel "Consistente" riferito a 2 equazioni??? e come dovrei mostrare che l'equazione appena tovata è "consistente" con l'altra ben nota $h=(v_0)^2/(2g)$ ???
"Aint":
perfetto.. ho risolto il primo punto... però non mi hai spiegato le mie domande sul secondo... sai cosa significa quel "Consistente" riferito a 2 equazioni??? e come dovrei mostrare che l'equazione appena tovata è "consistente" con l'altra ben nota $h=(v_0)^2/(2g)$ ???
Prendi l'espressione [tex]h = \frac{{{R_T}{v_i}^2}}{{{v_{fuga}}^2 - {v_i}^2}}[/tex], fa' l'approssimazione richiesta, scrivi la [tex]{v_{fuga}}[/tex] in funzione di g (basta che scrivi l'espressione di entrambe in funzione di G, M e [tex]{{R_T}}[/tex] e le confronti) e vedrai che esce la [tex]h \approx \frac{{{v_i}^2}}{{2g}}[/tex].
Consistente penso sia un modo un po' letterario per dire coerente, cioè che l'una si ricava dall'altra.
uhm.. che sarebbe l'approssimazione richiesta?? non mi richiede nessuna approssimazione...
comunque ho scritto:
$v_(fuga)^2= GM/R_T$
e
$v_i^2= 2GM/R_T$
poi
$g=MG/R_T^2$
ma risolvendo non mi torna quell'espressione.. sono arrivato qui
$h= (v_i^2 * R_T/2) / (gR_T^2 - GM)$
ma non riesco ad arrivare alla sua formula...
EDIT
niente da fare
anche in un altro modo sono giunto solo a questa conclusione
$h=(v_i^2*R_T) / (2gR_T - V_i^2)$
comunque ho scritto:
$v_(fuga)^2= GM/R_T$
e
$v_i^2= 2GM/R_T$
poi
$g=MG/R_T^2$
ma risolvendo non mi torna quell'espressione.. sono arrivato qui
$h= (v_i^2 * R_T/2) / (gR_T^2 - GM)$
ma non riesco ad arrivare alla sua formula...
EDIT
niente da fare
anche in un altro modo sono giunto solo a questa conclusione
$h=(v_i^2*R_T) / (2gR_T - V_i^2)$
"Aint":
uhm.. che sarebbe l'approssimazione richiesta?? non mi richiede nessuna approssimazione...
Ma come sarebbe a dire? e allora questo secondo te che significa:
supporre che una palla da baseball sia lanciata verso l'alto con una velocità iniziale molto piccola rispetto alla velocità di fuga
eh ho capito ma che approssimazione devo fare quindi?? a zero non posso metterla sennò mi si annulla tutto!
"Aint":
eh ho capito ma che approssimazione devo fare quindi?? a zero non posso metterla sennò mi si annulla tutto!
Non hai dimestichezza con gli infinitesimi? fa' conto che la v sia un infinitesimo rispetto alla velocità di fuga.
Insomma l'approssimazione richiesta è semplicemente questa:
[tex]h = \frac{{{R_T}{v_i}^2}}{{{v_{fuga}}^2 - {v_i}^2}} \approx \frac{{{R_T}{v_i}^2}}{{{v_{fuga}}^2}}[/tex]
eh... adesso provo a farla.. è che non capivo perché avrei dovuto farlo solo al denominatore e non al numeratore... adesso provo a risolvere un attimo!
EDIT: OOH Adesso torna tutto!! =D
Grazie infinite!
EDIT: OOH Adesso torna tutto!! =D
Grazie infinite!
"Aint":
è che non capivo perché avrei dovuto farlo solo al denominatore e non al numeratore...
vedo che gli infinitesimi non li mastichi proprio!
ma avevo preso in considerazione quell'idea ve.. solo che l'ho applicata male... ho porvato a fare il limite per v che tendeva a 0 ma in tutte le salse mi veniva che si azzerava tutto...
e mi ero detto "ah al denominatore non fa tanto danno se è piccolo posso ingorarlo" però mi sembrava errato fare sto trucchetto solo in un pezzo!!
sai noi studenti siamo insicuri... al 99% le nostre ipotesi su risoluzioni sono errate! =(
e mi ero detto "ah al denominatore non fa tanto danno se è piccolo posso ingorarlo" però mi sembrava errato fare sto trucchetto solo in un pezzo!!
sai noi studenti siamo insicuri... al 99% le nostre ipotesi su risoluzioni sono errate! =(
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