Ribaltamento di un cubo
Un cubo solido di lato L è collocato su una superficie orizzontale.
Il coefficiente d'attrito è [tex]\mu[/tex], dove [tex]\mu< 1/2[/tex].
Una forza orizzontale variabile è applicata alla faccia superiore del cubo, perpendicolare a uno dei lati e passante per il punto medio del lato, come mostrato in figura.
Determinare la massima accelerazione che può subire il cubo senza che si ribalti.
Io ho determinato l'equilibrio delle coppie rispetto al lato anteriore a contatto con il piano (preso come asse di rotazione).
Le due forze in gioco sono P con un braccio pari a L e la forza peso mg con braccio L/2.
Se
[tex]P = ma+\mu mg[/tex]
e il momento delle coppie torcenti
[tex]PL - mgL/2 =0[/tex]
allora l'accelerazione massima è
[tex]a = g \left({1 \over 2 } - \mu \right)[/tex]
Nel caso che ad es. [tex]\mu = 0[/tex] alora basta una accelerazione [tex]g/2[/tex] per far ribaltare il cubo.
Se [tex]\mu = 1/2[/tex] qualsiasi forza P farà ribaltare il cubo.
E' corretto ?
Risposte
..comunque a me non piace come è scritto il testo del problema, perché poi si chiede l'accelerazione e non direttamente la $P$?
Per quanto riguarda l'equilibrio delle forze a me pare sia corretta l'equazione che ha scritto Quinzio all'inizio.
Mirco forse voleva scrivere [tex]P- mg \mu_d=ma[/tex]?
Per quanto riguarda l'equilibrio delle forze a me pare sia corretta l'equazione che ha scritto Quinzio all'inizio.
Mirco forse voleva scrivere [tex]P- mg \mu_d=ma[/tex]?
N.B: Questo messaggio è stato editato e corretto a seguito segnalazione di Speculor.
Quindi abbiamo:
[tex]m*a= P- mg \mu_d[/tex]
Nel tuo intervento precedente hai anche detto
ed allora provo ad aggiungerlo in quella equazione.
[tex]P*L - mg*L/2 - m*a*L/2 = 0[/tex]
E' lecito sostituire ad m*a il valore [tex]m*a= P- mg \mu_d[/tex] ?
quindi:
[tex]P*L - mg*L/2 - (P- mg \mu_d)*L /2= 0[/tex]
ed otteniamo un bell'assurdo.
Infatti sviluppando si ha:
[tex]P*L - mg*L/2 - P*L/2 + mg \mu_d*L /2= 0[/tex]
[tex]P*L/2 - mg*L/2 + mg \mu_d*L /2= 0[/tex]
semplificando L/2:
[tex]P - mg + mg \mu_d= 0[/tex]
aggiungo e sottraggo [tex]mg \mu_d[/tex] al primo membro
[tex]P - mg \mu_d - mg +2 mg \mu_d= 0[/tex]
ma [tex]P - mg \mu_d =m*a[/tex] quindi:
[tex]m*a= mg -2mg \mu_d[/tex]
da cui
[tex]a= g (1-2\mu_d )[/tex]
Per attrito nullo, l'accelerazione che ribalterebbe il blocco sarebbe g, mentre aumentando l'attrito diminuirebbe l'accelerazione fino ad avere accelerazione ribaltante nulla per coefficiente di attrito pari a 0.5.
Ed allora cosa c'è che non funziona?
C'è che non funziona il fatto che nulla si deve aggiungere in quella equazione e nessun contributo stabilizzante e' stato trascurato.
"Faussone":
..comunque a me non piace come è scritto il testo del problema, perché poi si chiede l'accelerazione e non direttamente la $P$?
Per quanto riguarda l'equilibrio delle forze a me pare sia corretta l'equazione che ha scritto Quinzio all'inizio.
Mirco forse voleva scrivere [tex]P- mg \mu_d=ma[/tex]?
Quindi abbiamo:
[tex]m*a= P- mg \mu_d[/tex]
Nel tuo intervento precedente hai anche detto
"Faussone":
Comunque mi pare che a questa equazione manchi un termine.
[tex]PL - mgL/2 =0[/tex]
manca [tex]-ma L/2$[/tex]....
ed allora provo ad aggiungerlo in quella equazione.
[tex]P*L - mg*L/2 - m*a*L/2 = 0[/tex]
E' lecito sostituire ad m*a il valore [tex]m*a= P- mg \mu_d[/tex] ?
quindi:
[tex]P*L - mg*L/2 - (P- mg \mu_d)*L /2= 0[/tex]
ed otteniamo un bell'assurdo.
Infatti sviluppando si ha:
[tex]P*L - mg*L/2 - P*L/2 + mg \mu_d*L /2= 0[/tex]
[tex]P*L/2 - mg*L/2 + mg \mu_d*L /2= 0[/tex]
semplificando L/2:
[tex]P - mg + mg \mu_d= 0[/tex]
aggiungo e sottraggo [tex]mg \mu_d[/tex] al primo membro
[tex]P - mg \mu_d - mg +2 mg \mu_d= 0[/tex]
ma [tex]P - mg \mu_d =m*a[/tex] quindi:
[tex]m*a= mg -2mg \mu_d[/tex]
da cui
[tex]a= g (1-2\mu_d )[/tex]
Per attrito nullo, l'accelerazione che ribalterebbe il blocco sarebbe g, mentre aumentando l'attrito diminuirebbe l'accelerazione fino ad avere accelerazione ribaltante nulla per coefficiente di attrito pari a 0.5.
Ed allora cosa c'è che non funziona?
C'è che non funziona il fatto che nulla si deve aggiungere in quella equazione e nessun contributo stabilizzante e' stato trascurato.
Nella risorsa da me indicata è scritto:
"Per valori di F appena superiori a mg/2 il cubo incomincia a ruotare intorno allo spigolo. Se F rimane costante la rotazione continua con una accelerazione angolare e il cubo si ribalta."
Non mi sembra si stia riferendo al caso statico.
"Per valori di F appena superiori a mg/2 il cubo incomincia a ruotare intorno allo spigolo. Se F rimane costante la rotazione continua con una accelerazione angolare e il cubo si ribalta."
Non mi sembra si stia riferendo al caso statico.
Xato, nel tuo ultimo messaggio hai sbagliato un segno.
"speculor":
Xato, nel tuo ultimo messaggio hai sbagliato un segno.
si, hai ragione, dopo lo correggo.
Grazie
P.S.: Corretto
"speculor":
Quinzio, dove hai preso l'esercizio?
L'avevo letto in giro su internet tempo fa (non ricordo la pagina).
"Xato":
da cui
[tex]a= g (1-2\mu_d )[/tex]
Per attrito nullo, l'accelerazione che ribalterebbe il blocco sarebbe g, mentre aumentando l'attrito diminuirebbe l'accelerazione fino ad avere accelerazione ribaltante nulla per coefficiente di attrito pari a 0.5.
Ed allora cosa c'è che non funziona?
C'è che non funziona il fatto che nulla si deve aggiungere in quella equazione e nessun contributo stabilizzante e' stato trascurato.
[tex]a= g (1-2\mu_d )[/tex]
Questa dovrebbe essere la soluzione corretta.
"speculor":
Nella risorsa da me indicata è scritto:
"Per valori di F appena superiori a mg/2 il cubo incomincia a ruotare intorno allo spigolo. Se F rimane costante la rotazione continua con una accelerazione angolare e il cubo si ribalta."
Non mi sembra si stia riferendo al caso statico.
Beh, quella pagina di fatto si riferisce al caso statico.
Se il cubo sta accelerando, compare la "famosa" forza fittizia "massa x acc." che cambia tutto.
Se al cubo viene impedito di muoversi, ad esempio perchè sul pavimento c'è una piccola sporgenza, la forza necessaria è g/2.
La condizione $\mu < 1/2$ è più importante di quanto immaginassi. Se non vale, il cubo si può ribaltare prima di accelerare, quindi il termine di mircoFN non deve essere considerato. Ma se vale, il cubo prima accelera e poi si può ribaltare, quindi il termine di mircoFN deve essere considerato. Siccome il testo indica questa condizione, e sicuramente la indica per discriminare i due casi sopra citati, mircoFN ha ragione. Evidentemente avrei dovuto continuare a ragionare.
mircoFN, scusa se ti sono sembrato polemico e onore al merito.
mircoFN, scusa se ti sono sembrato polemico e onore al merito.
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