Reticolo di Bravais (domanda elementare)
Ciao,
Stavo leggendo riguardo il reticolo di Bravais e mi sono incastrato in un dubbio.
La definizione di reticolo per traslazione di vettori base mi è chiara, ma non capisco invece la definizione di "cella".
In particolare mi pare di capire che in 2D prendendo i vettori primitivi a1 e a2 disposti con un certo angolo tra loro essi definiscano una struttura che ripetuta per traslazione (a passi d'interi) determina l'intero reticolo, posso altresì definire una cella (a1 x a2) ed è detta "cella unitaria" se contiene interamente un solo atomo o "cella convenzionale" se ne contiene più d'uno. Di fatto questa cella è una superficie che ripeto per traslazione.
Il problema mi sorge in 3D, prendiamo i vettori primitivi: a1=(a/2,a/2,0), a2=(a/2,0,a/2), a3=(0,a/2,a/2), traslandoli mi danno un reticolo, cioè un insieme di punti[nota]detti nodi[/nota] che ha come cella convenzionale la cella "cubica a facce centrate" ripetendola mi dà il reticolo stesso appunto.
Ma la mia domanda è, perché la cella convenzionale non può qui essere quella data da a1 x a2 x a3? Ho un volume che se ripetuto mi dà l'intero reticolo. Perché devo invece prendere una cella cubica come cella elementare? (in realtà questo cubo è già una struttura ben più complessa della cella da me indicata)
Stavo leggendo riguardo il reticolo di Bravais e mi sono incastrato in un dubbio.
La definizione di reticolo per traslazione di vettori base mi è chiara, ma non capisco invece la definizione di "cella".
In particolare mi pare di capire che in 2D prendendo i vettori primitivi a1 e a2 disposti con un certo angolo tra loro essi definiscano una struttura che ripetuta per traslazione (a passi d'interi) determina l'intero reticolo, posso altresì definire una cella (a1 x a2) ed è detta "cella unitaria" se contiene interamente un solo atomo o "cella convenzionale" se ne contiene più d'uno. Di fatto questa cella è una superficie che ripeto per traslazione.
Il problema mi sorge in 3D, prendiamo i vettori primitivi: a1=(a/2,a/2,0), a2=(a/2,0,a/2), a3=(0,a/2,a/2), traslandoli mi danno un reticolo, cioè un insieme di punti[nota]detti nodi[/nota] che ha come cella convenzionale la cella "cubica a facce centrate" ripetendola mi dà il reticolo stesso appunto.
Ma la mia domanda è, perché la cella convenzionale non può qui essere quella data da a1 x a2 x a3? Ho un volume che se ripetuto mi dà l'intero reticolo. Perché devo invece prendere una cella cubica come cella elementare? (in realtà questo cubo è già una struttura ben più complessa della cella da me indicata)
Risposte
"austalopitechio":
Ciao,
Stavo leggendo riguardo il reticolo di Bravais e mi sono incastrato in un dubbio.
Sarebbe utile mettere un link o una qualche descrizione quando si introduce un argomento.
Chi apre il post e legge probabilmente non ha idea di cosa si intenda per "reticolo di Bravais".
https://it.wikipedia.org/wiki/Reticolo_di_Bravais
La definizione di reticolo per traslazione di vettori base mi è chiara, ma non capisco invece la definizione di "cella".
La cella e' un parallelepipedo (in 3D) o un parallelogramma (in 2D).
Queste forme di base possono riempire interamente uno spazio.
In particolare mi pare di capire che in 2D prendendo i vettori primitivi a1 e a2 disposti con un certo angolo tra loro essi definiscano una struttura che ripetuta per traslazione (a passi d'interi) determina l'intero reticolo, posso altresì definire una cella (a1 x a2) ed è detta "cella unitaria" se contiene interamente un solo atomo o "cella convenzionale" se ne contiene più d'uno. Di fatto questa cella è una superficie che ripeto per traslazione.
Ok
Il problema mi sorge in 3D, prendiamo i vettori primitivi: a1=(a/2,a/2,0), a2=(a/2,0,a/2), a3=(0,a/2,a/2), traslandoli mi danno un reticolo, cioè un insieme di punti[nota]detti nodi[/nota] che ha come cella convenzionale la cella "cubica a facce centrate" ripetendola mi dà il reticolo stesso appunto.
Ma la mia domanda è, perché la cella convenzionale non può qui essere quella data da a1 x a2 x a3? Ho un volume che se ripetuto mi dà l'intero reticolo. Perché devo invece prendere una cella cubica come cella elementare? (in realtà questo cubo è già una struttura ben più complessa della cella da me indicata)
Secondo me nessuno dice che "devo invece prendere una cella cubica come cella elementare".
Probabilmente e' nei tuoi appunti o in una qualche slide che va interpretata bene.
La cella puo' essere benissimo formata da 3 vettori qualsiasi a1 x a2 x a3, da quanto si capisce nella pagina Wiki.
Se guardi qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Reticolo_ ... ificazione
ci sono elencate diverse celle di base, non solo quella a facce centrate.
Ciao, grazie per la risposta innanzitutto.
In realtà ero indeciso se linkare o meno, però poi mi sono detto "essendo una domanda abbastanza settoriale, penso risponderà solo chi ne avrà almeno sentito un accenno" e quindi mi era parso superfluo metterlo dato che se uno non sa cos'è pensavo manco si mettesse a rispondere. Me ne scuso, ma avevo pensato così.
Sicuramente sbaglio io, infatti volevo cercare di afferrare dove non comprendessi
Io prendo come esempio (per spiegare il mio dubbio, non come archetipo generale di cella, sia chiaro) la cella cubica a facce centrate, che per come è costituita è generata dai vettori primitivi: $a1=(a/2,a/2,0)$, $a2=(a/2,0,a/2)$ e $a3=(0,a/2,a/2)$. Ora, la cella che immagino più semplice è appunto a1 x a2 xa3.
Tuttavia su tutte le risorse che trovo vedo sempre indicato qualcosa del tipo: Ogni sistema cristallino accomuna le strutture ristalline che presentano una cella convenzionale (quindi non unitaria) della stessa forma (ad esempio cubica, tetragonale o esagonale)
Insomma, mi pareva di intuire che la cella base era quella cubica. In sostanza invece mi pare di capire che, le cubiche, sono celle (non per forza più semplici possibili) che però utilizzo per nomeclatura così da accomunare vari reticoli che possano avere almeno una cella di "proprietà cubica" che possano generarli. Corretto?
In realtà ero indeciso se linkare o meno, però poi mi sono detto "essendo una domanda abbastanza settoriale, penso risponderà solo chi ne avrà almeno sentito un accenno" e quindi mi era parso superfluo metterlo dato che se uno non sa cos'è pensavo manco si mettesse a rispondere. Me ne scuso, ma avevo pensato così.
Secondo me nessuno dice che "devo invece prendere una cella cubica come cella elementare".
Probabilmente e' nei tuoi appunti o in una qualche slide che va interpretata bene.
La cella puo' essere benissimo formata da 3 vettori qualsiasi a1 x a2 x a3, da quanto si capisce nella pagina Wiki.
Se guardi qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Reticolo_ ... ificazione
ci sono elencate diverse celle di base, non solo quella a facce centrate.
Sicuramente sbaglio io, infatti volevo cercare di afferrare dove non comprendessi
Io prendo come esempio (per spiegare il mio dubbio, non come archetipo generale di cella, sia chiaro) la cella cubica a facce centrate, che per come è costituita è generata dai vettori primitivi: $a1=(a/2,a/2,0)$, $a2=(a/2,0,a/2)$ e $a3=(0,a/2,a/2)$. Ora, la cella che immagino più semplice è appunto a1 x a2 xa3.
Tuttavia su tutte le risorse che trovo vedo sempre indicato qualcosa del tipo: Ogni sistema cristallino accomuna le strutture ristalline che presentano una cella convenzionale (quindi non unitaria) della stessa forma (ad esempio cubica, tetragonale o esagonale)
Insomma, mi pareva di intuire che la cella base era quella cubica. In sostanza invece mi pare di capire che, le cubiche, sono celle (non per forza più semplici possibili) che però utilizzo per nomeclatura così da accomunare vari reticoli che possano avere almeno una cella di "proprietà cubica" che possano generarli. Corretto?
"austalopitechio":
Io prendo come esempio (per spiegare il mio dubbio, non come archetipo generale di cella, sia chiaro) la cella cubica a facce centrate, che per come è costituita è generata dai vettori primitivi: $a1=(a/2,a/2,0)$, $a2=(a/2,0,a/2)$ e $a3=(0,a/2,a/2)$. Ora, la cella che immagino più semplice è appunto a1 x a2 xa3.
Onestamente non capisco perche' scrivi "piu' semplice".
Non esistono tante celle cubiche a facce centrate di cui tu potresti prendere la "piu' semplice".
Ne esiste una, una sola, quella che ti fanno vedere qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Reticolo_ ... ificazione
Ovviamente si intende che lo spigolo del cubo varia, quindi solo una fatto salvo la dimensione del cubo.
E poi non e' che la cella e' a1 x a2 x a3. Cosa vorrebbe dire il segno x tra i vettori ?
a1, a2, a3 sono 3 vettori di cui ti puoi prendere qualsiasi combinazione di interi e raggiungere ogni atomo che vuoi.
Per "combinazione di interi" intendo la formula
$\bb R = \sum_{n=1}^3 n_i\ \bb {a_i}$
Ad esempio un atomo potrebbe essere in questa posizione: $2 \bb {a_i}+ 10 \bb{a_2} -9 \bb {a_3}$
Tuttavia su tutte le risorse che trovo vedo sempre indicato qualcosa del tipo: Ogni sistema cristallino accomuna le strutture ristalline che presentano una cella convenzionale (quindi non unitaria) della stessa forma (ad esempio cubica, tetragonale o esagonale)
Veramente qui (https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_cristallino) si legge che e' la cella unitaria.
Tu scrivi il contrario, non capisco come mai.
Non esistono tante celle cubiche a facce centrate di cui tu potresti prendere la "piu' semplice".
Certo, infatti non sto dicendo questo. io stavo dicendo che: prendo la cella cubica a facce centrate la quale fa parte di un reticolo di bravais costituito da: $a1=(a/2,a/2,0)$, $a2=(a/2,0,a/2)$ e $a3=(0,a/2,a/2)$ vettori primitivi per loro traslazione tramite la formula da te indicata.
La mia idea era prendere una cella a1 x a2 x a3 (inteso come prodotto vettoriale) dei tre vettori, quello che voglio dire è che io posso prendere come cella un volume "racchiuso tra" vettori a1, a2, a3. E' tutto e per tutto una cella in quanto se traslata mi dà l'intero reticolo di bravais 3D. (e mi da lo stesso reticolo che avrei traslando la cella cubica a facce centrate, ma proprio lo stesso! Se fai un disegno con le coordinate che ho indicato lo vedrai)
=> a1 x a2 x a3 è ora una cella (un volume) più semplice della cubica a facce centrate? Sì, perché è più piccola e in realtà è proprio la più piccola cella semplice selezionabile per questo tipo di reticolo. Allora perché di solito per il reticolo che ho preso in considerazione scelgiamo la cubica a facce centrate e non questa minima cella da me indicata? Questo è il punto che non mi è chiaro.
Veramente qui (https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_cristallino) si legge che e' la cella unitaria.
Tu scrivi il contrario, non capisco come mai.
Il come mai: polysense.poliba.it/wp-content/uploads/2021/03/CAPITOLO-1.-Struttura-Cristallina.pdf
Qui trovera la parte da te citata.
"austalopitechio":Non esistono tante celle cubiche a facce centrate di cui tu potresti prendere la "piu' semplice".
Certo, infatti non sto dicendo questo. io stavo dicendo che: prendo la cella cubica a facce centrate la quale fa parte di un reticolo di bravais costituito da: $a1=(a/2,a/2,0)$, $a2=(a/2,0,a/2)$ e $a3=(0,a/2,a/2)$ vettori primitivi per loro traslazione tramite la formula da te indicata.
La mia idea era prendere una cella a1 x a2 x a3 (inteso come prodotto vettoriale) dei tre vettori, quello che voglio dire è che io posso prendere come cella un volume "racchiuso tra" vettori a1, a2, a3. E' tutto e per tutto una cella in quanto se traslata mi dà l'intero reticolo di bravais 3D. (e mi da lo stesso reticolo che avrei traslando la cella cubica a facce centrate, ma proprio lo stesso! Se fai un disegno con le coordinate che ho indicato lo vedrai)
=> a1 x a2 x a3 è ora una cella (un volume) più semplice della cubica a facce centrate? Sì, perché è più piccola e in realtà è proprio la più piccola cella semplice selezionabile per questo tipo di reticolo. Allora perché di solito per il reticolo che ho preso in considerazione scelgiamo la cubica a facce centrate e non questa minima cella da me indicata? Questo è il punto che non mi è chiaro.
Allora, la cella di cui parli tu e' un tetraedro, siccome ha per vertici $(0,0,0), a_1, a_2, a_3$.
Ogni spigolo ha lunghezza $\sqrt 2$, quindi si tratta di un tetraedro regolare.
E' vero che se si trasla il tetraedro, i vertici del tetraedro corrispondono ai vertici del Bravais e che quindi gli spigoli dei tetraedri corrispondono al reticolo.
Il problema e' tassellare lo spazio, riempire lo spazio con delle copie traslate del solido in modo da non lasciare spazi vuoti.
Con i tetraedri non ci riesci, rimangono dei vuoti. Anche cambiando l'orientazione dei tetraedri, non si riesce a tassellare tutto lo spazio.
Invece ci si riesce con il classico cubo che viene mostrato per la disposizione a facce centrate.
Quando poi si deve calcolare la percentuale di riempimento della cella da parte delle sfere, con la rappresentazione a cubo, si riesce facilmente, mentre e' meno facile e comprensibile con i tetraedri.
Secondo me il motivo e' questo, sempre se ho capito bene cosa intendi tu.
[quote]Veramente qui (https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_cristallino) si legge che e' la cella unitaria.
Tu scrivi il contrario, non capisco come mai.
Il come mai: polysense.poliba.it/wp-content/uploads/2021/03/CAPITOLO-1.-Struttura-Cristallina.pdf
Qui trovera la parte da te citata.[/quote]
E' vero che se si trasla il tetraedro, i vertici del tetraedro corrispondono ai vertici del Bravais e che quindi gli spigoli dei tetraedri corrispondono al reticolo.
Il problema e' tassellare lo spazio, riempire lo spazio con delle copie traslate del solido in modo da non lasciare spazi vuoti.
Credo fosse questa visione geometrica che mi mancava. Ammetto che fatico a figurarmi in 3D il riempimento con tetraedri e quindi mi creava il probelma di non capire.
Però scusa se lasica dei buchi allora non ricrea tutto il reticolo, no? Dovrebbe succedere che mancano dei nodi traslando quei tetraedri.
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