Rete di condensatori
Ciao!
Devo risolvere un esercizio di Fisica 2 sui condensatori. Prima di farlo vorrei capire come interpretare i condensatori sferici concentrici dal punto di vista circuitale.
L'immagine dell'esercizio è la seguente:
Il conduttore 2 è collegato al conduttore 4; il conduttore 3 è a potenziale nullo.
Se i conduttori non fossero collegati tra loro quale sarebbe il circuito? Io direi che, avendo la stessa carica, sono collegati in serie. Ma potrei sbagliare.
In questo caso, invece, il conduttore 2 è collegato al conduttore 4; ergo hanno lo stesso potenziale, cioè sono collegati in parallelo. Ma poi? Come dovrei procedere?
Devo risolvere un esercizio di Fisica 2 sui condensatori. Prima di farlo vorrei capire come interpretare i condensatori sferici concentrici dal punto di vista circuitale.
L'immagine dell'esercizio è la seguente:
Il conduttore 2 è collegato al conduttore 4; il conduttore 3 è a potenziale nullo.
Se i conduttori non fossero collegati tra loro quale sarebbe il circuito? Io direi che, avendo la stessa carica, sono collegati in serie. Ma potrei sbagliare.
In questo caso, invece, il conduttore 2 è collegato al conduttore 4; ergo hanno lo stesso potenziale, cioè sono collegati in parallelo. Ma poi? Come dovrei procedere?
Risposte
Chiamando C3 il condensatore tra R3 e R2, C4 quello tra R3 e R4 e C2 quello tra R2 e R1, si ha che il condensatore composito ha R1 collegato al generatore e R3 collegato a massa.
Questo condensatore composto è costituito, partendo dal generatore e quindi da R1, dal condensatore C2 connesso al parallelo di C3 e C4, entrambi collegati a massa.
Quindi la capacità complessiva è:
$C_(eq)=(C2(C3+C4))/(C2+C3+C4)$
Questo condensatore composto è costituito, partendo dal generatore e quindi da R1, dal condensatore C2 connesso al parallelo di C3 e C4, entrambi collegati a massa.
Quindi la capacità complessiva è:
$C_(eq)=(C2(C3+C4))/(C2+C3+C4)$
Io direi che la configurazione è la seguente
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 65 40 80 40 0
LI 80 40 80 70 0
LI 80 70 65 70 0
LI 40 55 40 70 0
LI 95 55 100 55 0
TY 60 19 4 3 0 1 0 * 1
TY 60 37 4 3 0 1 0 * 2
TY 68 53 4 3 0 1 0 * 3
LI 40 55 65 55 0
TY 74 30 4 3 0 0 0 * C12
TY 48 44 4 3 0 0 0 * C23
TY 49 62 4 3 0 0 0 * C34
TY 84 42 4 3 0 0 0 * C40
TY 61 72 4 3 0 1 0 * 4
MC 40 70 0 0 040
MC 100 55 0 0 040
LI 65 25 65 32 0
LI 60 32 70 32 0
LI 60 35 70 35 0
LI 65 35 65 40 0
LI 65 40 65 47 0
LI 60 47 70 47 0
LI 60 50 70 50 0
LI 65 50 65 55 0
LI 65 55 65 62 0
LI 60 62 70 62 0
LI 60 65 70 65 0
LI 65 65 65 70 0
LI 95 55 88 55 0
LI 88 50 88 60 0
LI 85 50 85 60 0
LI 85 55 80 55 0[/fcd]
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 65 40 80 40 0
LI 80 40 80 70 0
LI 80 70 65 70 0
LI 40 55 40 70 0
LI 95 55 100 55 0
TY 60 19 4 3 0 1 0 * 1
TY 60 37 4 3 0 1 0 * 2
TY 68 53 4 3 0 1 0 * 3
LI 40 55 65 55 0
TY 74 30 4 3 0 0 0 * C12
TY 48 44 4 3 0 0 0 * C23
TY 49 62 4 3 0 0 0 * C34
TY 84 42 4 3 0 0 0 * C40
TY 61 72 4 3 0 1 0 * 4
MC 40 70 0 0 040
MC 100 55 0 0 040
LI 65 25 65 32 0
LI 60 32 70 32 0
LI 60 35 70 35 0
LI 65 35 65 40 0
LI 65 40 65 47 0
LI 60 47 70 47 0
LI 60 50 70 50 0
LI 65 50 65 55 0
LI 65 55 65 62 0
LI 60 62 70 62 0
LI 60 65 70 65 0
LI 65 65 65 70 0
LI 95 55 88 55 0
LI 88 50 88 60 0
LI 85 50 85 60 0
LI 85 55 80 55 0[/fcd]
"RenzoDF":
Io direi che la configurazione è la seguente
Può essere che in un certo senso tu abbia ragione, però il tuo C40 mi pare un condensatore nullo.
Intanto noto che è in parallelo a C23 e C34, quindi il loro parallelo è assimilabile al mio C3+C4, e poi quale sarebbe il suo dielettrico? nel disegno originario compaiono solo 3 dielettrici.
Si potrebbe immaginare che il dielettrico fosse tutto lo spazio compreso tra la sfera R4 e la massa, però se il condensatore è inizialmente scarico, come immagino, quando si carica la sua carica netta è nulla, dunque per il teorema di Gauss il campo al di fuori della sfera R4 è nullo, dunque quella sfera nei confronti della massa ha capacità nulla.
Almeno così mi pare eh!
"Falco5x":
... però il tuo C40 mi pare un condensatore nullo.
Forse vuoi dire la capacità di C40, ma non vedo perché dovrebbe essere nulla, un conduttore presenta comunque una capacità rispetto all'infinito.
"Falco5x":
... Intanto noto che è in parallelo a C23 e C34, quindi il loro parallelo è assimilabile al mio C3+C4,
Certo, li ho solo chiamati in modo diverso per rendere più evidenti le due coppie di conduttori alle quali si riferiscono.
"Falco5x":
... e poi quale sarebbe il suo dielettrico? nel disegno originario compaiono solo 3 dielettrici.
Non capisco la tua domanda, ogni condensatore avrà il suo dielettrico ... anche se non vedo dove siano indicati nel disegno.
"Falco5x":
... Si potrebbe immaginare che il dielettrico fosse tutto lo spazio compreso tra la sfera R4 e la massa,
Si, il condensatore C40 ha per dielettrico quello presente, esternamente, fra guscio 4 e l'infinito (o la terra).
"Falco5x":
... però se il condensatore è inizialmente scarico, come immagino, quando si carica la sua carica netta è nulla,
Scusa ma tutto dipende da come lo carichiamo quel "sistema"; se per esempio colleghiamo un generatore fra guscio 1 e terra, avremo che la capacità del condensatore equivalente sarà
$C_{eq}=C_{10}= C_{12}(C_{23}+C_{34}+C_{40})/(C_{12}+C_{23}+C_{34}+C_{40})$
e in questa ipotesi il condensatore $C_{40}$ sarà sottoposto alla stessa tensione comune a $C_{23}$ e $C_{34}$.
"Falco5x":
... dunque per il teorema di Gauss il campo al di fuori della sfera R4 è nullo, dunque quella sfera nei confronti della massa ha capacità nulla.
La capacità fra guscio 4 e terra non sarà mai nulla; la capacità è una proprietà geometrica; potrà essere nulla la sua carica Q e quindi la sua tensione V, ma non la capacità.
Quel tuo condensatore C40 mi incuriosisce assai, secondo me se esistesse e fosse inserito nella configurazione da te disegnata creerebbe un paradosso.
Vediamo se riesco a spiegarmi.
Assumiamo il condensatore complessivo costituito dal condensatore C12 in serie col condensatore equivalente $Ceq= C23+C34+C40$.
Si avrà il condensatore complessivo di capacità totale $Ct=(C12Ceq)/(C12+Ceq)$, che possiamo pensare inizialmente scarico.
Pensiamo adesso di collegare un generatore di tensione E tra il punto 1 e terra.
Ai capi del condensatore Ceq ci sarà dunque una tensione $Veq=E(C12)/(C12+Ceq)$.
La Veq risulta così essere non nulla anche ai capi di C40. però siccome abbiamo detto che all'esterno del guscio R4 non c'è campo (legge di Gauss), il potenziale del guscio R4 deve essere nullo, uguale al potenziale di terra. Dunque mi sembra ci sia un paradosso: il guscio R4 secondo un certo calcolo deve avere potenziale non nullo, secondo un altro punto di vista deve avere potenziale nullo.
Ti dico tutto ciò solo per spiegarti i miei dubbi, non perché io sia sicuro di quanto sostengo, eh!
Vediamo se riesco a spiegarmi.
Assumiamo il condensatore complessivo costituito dal condensatore C12 in serie col condensatore equivalente $Ceq= C23+C34+C40$.
Si avrà il condensatore complessivo di capacità totale $Ct=(C12Ceq)/(C12+Ceq)$, che possiamo pensare inizialmente scarico.
Pensiamo adesso di collegare un generatore di tensione E tra il punto 1 e terra.
Ai capi del condensatore Ceq ci sarà dunque una tensione $Veq=E(C12)/(C12+Ceq)$.
La Veq risulta così essere non nulla anche ai capi di C40. però siccome abbiamo detto che all'esterno del guscio R4 non c'è campo (legge di Gauss), il potenziale del guscio R4 deve essere nullo, uguale al potenziale di terra. Dunque mi sembra ci sia un paradosso: il guscio R4 secondo un certo calcolo deve avere potenziale non nullo, secondo un altro punto di vista deve avere potenziale nullo.
Ti dico tutto ciò solo per spiegarti i miei dubbi, non perché io sia sicuro di quanto sostengo, eh!
"Falco5x":
... Ai capi del condensatore Ceq ci sarà dunque una tensione ... non nulla anche ai capi di C40.
Non c'è ombra di dubbio.
"Falco5x":
... però siccome abbiamo detto che all'esterno del guscio R4 non c'è campo (legge di Gauss), ...
Lo hai detto tu, non io, che ho invece cercato di spiegare che esternamente a R4 ci troviamo internamente a C40 e quindi il campo esternamente a R4 c'è e sarà presente in tutto lo spazio da R4 all'infinito.
"Falco5x":
... il potenziale del guscio R4 deve essere nullo, uguale al potenziale di terra.
Assolutamente no, la carica sulla superficie esterna del guscio R4 sarà
$Q_{40}=C_{40}V_{40}=C_{40}V_{eq}\ne 0$
"RenzoDF":
[quote="Falco5x"]... però siccome abbiamo detto che all'esterno del guscio R4 non c'è campo (legge di Gauss), ...
Lo hai detto tu, non io, che ho invece cercato di spiegare che esternamente a R4 ci troviamo internamente a C40 e quindi il campo esternamente a R4 c'è e sarà presente in tutto lo spazio da R4 all'infinito.
[/quote]
Questo è il punto.
Noi abbiamo un corpo (rete di condensatori, ovvero la sfera composita del nostro problema) inizialmente scarico, con due fili che escono, uno è collegato al guscio R3, l'altro è collegato al guscio R1.
Il filo collegato a R3 lo attacco a terra, come nel disegno, il filo collegato a R1 lo attacco al polo positivo di una batteria di tensione E, mentre il polo negativo della batteria lo collego a terra.
Il condensatore complessivo si carica alla tensione E.
In questo processo di carica tanta è la carica positiva che entra (convenzionalmente) dal filo R1 quanta la carica negativa che entra dal filo R3, come sempre quando una batteria carica un condensatore.
Dirò di più, possiamo anche immaginare la batteria situata dentro il guscio R1, dunque siamo sicuri che la carica netta totale del corpo sferico rimane zero. Dunque se la carica netta del corpo sferico è nulla, come può all'esterno del guscio R4 esserci campo?
"Falco5x":
... Noi abbiamo un corpo (rete di condensatori, ovvero la sfera composita del nostro problema) inizialmente scarico, con due fili che escono, uno è collegato al guscio R3, l'altro è collegato al guscio R1.
ok
"Falco5x":
...Il filo collegato a R3 lo attacco a terra, come nel disegno, il filo collegato a R1 lo attacco al polo positivo di una batteria di tensione E, mentre il polo negativo della batteria lo collego a terra.
Ok
"Falco5x":
... Il condensatore complessivo si carica alla tensione E.
Non c'è ombra di dubbio.
"Falco5x":
... In questo processo di carica tanta è la carica positiva che entra (convenzionalmente) dal filo R1 quanta la carica negativa che entra dal filo R3, come sempre quando una batteria carica un condensatore..
No, qui non ci siamo, la carica q1 che entra nel filo che collega il positivo del generatore a R1 non è la stessa che esce dal collegamento di R3 a terra q2, ti stai dimenticando di un altro "collegamento"; le cariche che escono sono due: q2 e q3 e ovviamente
$q_1=q_2+q_3$
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 65 40 80 40 0
LI 80 40 80 70 0
LI 80 70 65 70 0
LI 40 55 40 70 0
LI 95 55 100 55 0
TY 60 19 4 3 0 1 0 * 1
TY 60 37 4 3 0 1 0 * 2
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LI 40 55 65 55 0
TY 74 30 4 3 0 0 0 * C12
TY 48 44 4 3 0 0 0 * C23
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TY 84 42 4 3 0 0 0 * C40
TY 61 72 4 3 0 1 0 * 4
MC 40 70 0 0 040
MC 100 60 0 0 040
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LI 65 65 65 70 0
LI 95 55 88 55 0
LI 88 50 88 60 0
LI 85 50 85 60 0
LI 85 55 80 55 0
MC 20 40 0 0 450
MC 20 60 0 0 040
LI 20 40 20 25 0
LI 20 25 65 25 0
MC 40 30 0 0 074
MC 35 65 1 0 074
MC 103 57 1 0 074
LI 100 55 100 60 0
TY 32 28 4 3 0 1 2 * q1
TY 101 50 4 3 0 1 11 * q3
TY 32 57 4 3 0 1 11 * q2[/fcd]
"Falco5x":
... Dirò di più, possiamo anche immaginare la batteria situata dentro il guscio R1, dunque siamo sicuri che la carica netta totale del corpo sferico rimane zero.
No, scusa, ma dentro il guscio non ci può stare proprio, almeno una "gamba", il generatore, deve averla fuori .
"Falco5x":
... Dunque se la carica netta del corpo sferico è nulla,
No, per quanto detto sopra.
"Falco5x":
... come può all'esterno del guscio R4 esserci campo?
Spero di averti convinto che il campo c'è.
Ah beh, adesso mi è più chiara la tua tesi, e non ho difficoltà a riconoscere che a rigore hai ragione... però evidentemente il fatto che tu ragioni da fisico e io da ingegnere ci predispone "geneticamente" a vedere le cose da punti di vista differenti. 
E' evidente che un'armatura sotto tensione di un condensatore (la R4 nel nostro caso) ha una capacità verso il resto dell'universo, che bypassa, anche se in minima parte, la corrente principale del condensatore principale. Qualunque circuito presenta delle capacità "spurie", che non vengono mai disegnate, tra i fili in tensione e la "terra". Se dovessimo considerare tutte queste capacità i nostri circuiti elettrici diventerebbero dei mostri ingestibili. Non le disegniamo mai perché l'ordine di grandezza delle correnti che drenano ha significato solo ad altissime frequenze. In questo modo, trascurando queste dispersioni, la corrente entrante nel filo A di qualsiasi condensatore siamo abituati a considerarla sempre uguale alla corrente uscente dal filo B. Anche se a rigore ciò non è vero.
In questo caso ragionando in questi termini pratici la C40 è di diversi ordini di grandezza inferiore alle altre capacità in gioco, dunque l'ho considerata "nulla" mentre a rigore non lo è.
La correttezza delle tue considerazioni è fuori di dubbio, intendiamoci, però allora in parallelo a qualunque condensatore anche più semplice di questo, sferico, cilindrico o ad armature piane che sia, andrebbe disegnato un C40 di "dispersione" verso terra. Di solito non si fa. Probabilmente in questo caso, che è un esercizio di fisica e non un circuito di elettrotecnica, sarebbe più giusto indicarlo anche se la sua influenza fosse minima, mentre in altri casi la presenza di questi condensatori collaterali è sempre sottintesa e raramente esplicitata, tanto che si rischia di dimenticarla come ho fatto io qui.
A questo punto ti ringrazio per la bella discussione e mi pare che la questione sia stata sviscerata a sufficienza.
E' evidente che un'armatura sotto tensione di un condensatore (la R4 nel nostro caso) ha una capacità verso il resto dell'universo, che bypassa, anche se in minima parte, la corrente principale del condensatore principale. Qualunque circuito presenta delle capacità "spurie", che non vengono mai disegnate, tra i fili in tensione e la "terra". Se dovessimo considerare tutte queste capacità i nostri circuiti elettrici diventerebbero dei mostri ingestibili. Non le disegniamo mai perché l'ordine di grandezza delle correnti che drenano ha significato solo ad altissime frequenze. In questo modo, trascurando queste dispersioni, la corrente entrante nel filo A di qualsiasi condensatore siamo abituati a considerarla sempre uguale alla corrente uscente dal filo B. Anche se a rigore ciò non è vero.
In questo caso ragionando in questi termini pratici la C40 è di diversi ordini di grandezza inferiore alle altre capacità in gioco, dunque l'ho considerata "nulla" mentre a rigore non lo è.
La correttezza delle tue considerazioni è fuori di dubbio, intendiamoci, però allora in parallelo a qualunque condensatore anche più semplice di questo, sferico, cilindrico o ad armature piane che sia, andrebbe disegnato un C40 di "dispersione" verso terra. Di solito non si fa. Probabilmente in questo caso, che è un esercizio di fisica e non un circuito di elettrotecnica, sarebbe più giusto indicarlo anche se la sua influenza fosse minima, mentre in altri casi la presenza di questi condensatori collaterali è sempre sottintesa e raramente esplicitata, tanto che si rischia di dimenticarla come ho fatto io qui.
A questo punto ti ringrazio per la bella discussione e mi pare che la questione sia stata sviscerata a sufficienza.
"Falco5x":
... però evidentemente il fatto che tu ragioni da fisico e io da ingegnere ci predispone "geneticamente" a vedere le cose da punti di vista differenti.
Io, ingegnere come te, parlo da "fisico" perché mi trovo in un Forum di Fisica ed è chiaro che se passiamo dalla teoria alla pratica non possiamo più affrontare un problema come quello in oggetto se non via calcolo agli elementi finiti, magari se trovo un po' di tempo libero provo a simulare la geometria con FEMM.
Se vogliamo parlare da "ingegneri" tanto per cominciare potremo discutere sul termine "terra", su sfera isolata ecc ecc, ma non sarebbe più finita.
"Falco5x":
... In questo caso ragionando in questi termini pratici la C40 è di diversi ordini di grandezza inferiore alle altre capacità in gioco, dunque l'ho considerata "nulla" mentre a rigore non lo è.
Questo è un'altro discorso, come dicevo questo è un forum di
" Fisica , Fisica Matematica, Fisica applicata ... " e quindi qui si deve parlare da "fisici"
"Falco5x":
... A questo punto ti ringrazio per la bella discussione e mi pare che la questione sia stata sviscerata a sufficienza.
Sono io che ringrazio te, alla prossima
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