Resistenza di un filo

[libo93]

Salve. Sto facendo il seguente esercizio e ho qualche perplessità sullo svolgimento. Il testo dell’esercizio è il seguente:

Un filo conduttore ha sezione circolare S di raggio variabile con la posizione x come $ S=a/(1+| cos((2pix)/L)|) $ ed è lungo L=2m. La resistività del filo è $ 10^-7 $ ohm/m ed è a=5mm^2. Quanto vale la resistenza elettrica del filo?

Per ora ho fatto questo:

$ R=rho L/S=rho L/(a/(1+| cos((2pix)/L)|) )=rho (L(1+| cos((2pix)/L)|)/a) $

$ R=int_(0)^(L) rho (x(1+| cos((2pix)/L)| ))/a) dx =rho /a[int_(0)^(L) x dx +int_(0)^(L) x| cos((2pix)/L)| dx $

Il primo integrale lo so risolvere, mentre il secondo no... So che si fa per parti ma non riesco a farlo!

Il procedimento è corretto?

[RenzoDF]

No, devi andare a "sommare" le resistenze dei tratti infinitesimi di lunghezza dx, e quindi c'è una x di troppo nella tua relazione, ovvero dovresti scrivere

$ R=int_(0)^(L) rho\ (1+| cos((2pix)/L)|) /a \ \text{d}x$

BTW La resistività si misura in $\Omega \cdot m$.

[libo93]

Ma quindi L diventerebbe dx?

[RenzoDF]

Devi integrare la resistenza infinitesima

$\text{d}R=\rho frac{\text{d}x}{S(x)}$

da zero a L, ovvero considerare che la resistenza totale è la somma di infinite resistenze infinitesime di spessore dx, pensa ad un buon salame tagliato a fette sottilissime.

[libo93]

Ah ok! Ora ci sono!!

quindi diciamo che viene l’integrale di 1 sempre tra 0 e L, mentre l’altro viene così (a l’ho portato fuori dall’integrale):

$ | L/(2pi)sen((2pix)/L)| $

sempre tra 0 e L giusto?

[RenzoDF]

Se quello fosse l'integrale cercato, la resistenza del conduttore "ondulato" sarebbe pari a quella corrispondente ad una sezione costante $S=a$, ti sembra possibile?

[libo93]

Non so come risolverlo quell’integrale allora

[RenzoDF]

Prova a disegnare qualitativamente S(x) e ti accorgerai che puoi bypassare quel valore assoluto, andando ad integrare fra 0 e L/4, al fine di determinare R/4.

[libo93]

Ma tutto l’integrale devo farlo tra 0 e L/4 o solo il pezzettino del coseno?
Ok levo il valore assoluto però va bene come ho fatto l’integrale del coseno o è sbagliato anche quello?

[RenzoDF]

Tutto l'integrale; si quell'integrale è corretto.

Hai disegnato l'andamento della sezione?

[CaMpIoN]

Io l'ho svolto in modo diverso, non so se si può fare per questo lo scrivo qui. Siccome l'autore del post non ha ancora risposto lo scrivo sotto spoiler:

Ho applicato prima il metodo della sostituzione di variabile. Ho sostituito
\(\displaystyle \frac{2\pi x}{L}=t \)
Gli estremi di integrazione diventano in questa variabile
\(\displaystyle \frac{2\pi 0}{L}=0\qquad \frac{2\pi L}{L}=2\pi \)
Derivando
\(\displaystyle \frac{2\pi dx}{L}=dt \quad \to \quad dx=\frac{L}{2\pi} dt\)
Poi semplifico un po' l'integrale
\(\displaystyle R=\rho \int_0^L \frac{1+\left|\cos \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|}{a}dx=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho}{a}\int_0^L \left|\cos \left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|dx\)
E quindi applico la sostituzione:
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho}{a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\frac{L}{2\pi}dt=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2\pi a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\;dt \)
A questo punto per la periodicità della funzione trigonometrica coseno, so che posso scrivere
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|\cos t|dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\;dt-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos t\;dt \)
Calcolando dovrebbe essere
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|\cos t|dt=\left[\sin t\right]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}-\left[\sin t\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\left[\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]=2+2=4 \)
E poi sostituisco
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2\pi a}\int_0^{2\pi}|\cos t|\;dt=\frac{\rho}{a}L+\frac{\rho L}{2a\pi}4 \)
Da cui ottengo
\(\displaystyle R=\frac{\rho}{a}L\cdot \left(1+\frac{2}{\pi}\right) \)
L'operazione che mi da dubbi è quella di sostituire l'integrale del valore assoluto del coseno nei due integrali dove il coseno è positivo e dove è negativo, togliendo poi il valore assoluto prendendo il segno del coseno nell'intervallo calcolato. Secondo voi tutto il risultato è giusto?