Relatività ristretta: moto circolare uniforme visto da un altro sistema di riferimento
(Problema da me inventato, per pura curiosità).
Supponiamo che vedo una particella muoversi con la seguente legge oraria (nel mio riferimento)
$x(t) = 2\cos t$
$y(t)=2\sin t$
Il moto è circolare uniforme, con periodo $T=2\pi$ s.
Domanda 1). Quanto tempo sarà passato per un osservatore solidale alla particella (tempo proprio)?
RISPOSTA. Modulo della velocità: $v^2=1$
Applichiamo l'invarianza della metrica. Poiché v non dipende da t, non occorre farlo con l'integrale:
$c^2\tau^2 = c^2 T^2 - T^2$, da cui
$\tau = 2\pi\sqrt(1-(1)/c^2)$
Domanda 2) (La più interessante!) Scrivere la traiettoria della pallina vista da un osservatore in moto con velocità $(\sqrt(1/2),sqrt(1/2),0)$ m/s rispetto all'origine.
Supponiamo che vedo una particella muoversi con la seguente legge oraria (nel mio riferimento)
$x(t) = 2\cos t$
$y(t)=2\sin t$
Il moto è circolare uniforme, con periodo $T=2\pi$ s.
Domanda 1). Quanto tempo sarà passato per un osservatore solidale alla particella (tempo proprio)?
RISPOSTA. Modulo della velocità: $v^2=1$
Applichiamo l'invarianza della metrica. Poiché v non dipende da t, non occorre farlo con l'integrale:
$c^2\tau^2 = c^2 T^2 - T^2$, da cui
$\tau = 2\pi\sqrt(1-(1)/c^2)$
Domanda 2) (La più interessante!) Scrivere la traiettoria della pallina vista da un osservatore in moto con velocità $(\sqrt(1/2),sqrt(1/2),0)$ m/s rispetto all'origine.
Risposte
Risoluzione.
Intanto scriviamo l'equazione del moto visto da un sistema di riferimento ruotato di 45 gradi (la stessa direzione della velocità del nuovo sistema di riferimento
$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos 45 & -\sin 45\\\sin 45 & \cos 45\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt 2(\cos t -\sin t)\\\sqrt 2 (\cos t+\sin t\end{pmatrix}$$
DUBBIO a). Intuitivamente, un cerchio dovrebbe essere mandato in un cerchio...cos'è quella curva strana?
Adesso applichiamo alle nuove coordinate le trasf. di Lorentz
$$\begin{pmatrix}CT'\\ X'\\Y'\\Z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & \gamma\beta & 0 & 0\\\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} CT\\X\\Y\\Z\end{pmatrix}$$
Sostituendo, trovo i seguenti
$X'=\sqrt 2\gamma (\cos t-\sin t + t)$
$Y' = \sqrt 2 (\cos t + \sin t)$
$T' = \gamma t +(\gamma\beta)/c X$
Intanto scriviamo l'equazione del moto visto da un sistema di riferimento ruotato di 45 gradi (la stessa direzione della velocità del nuovo sistema di riferimento
$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos 45 & -\sin 45\\\sin 45 & \cos 45\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt 2(\cos t -\sin t)\\\sqrt 2 (\cos t+\sin t\end{pmatrix}$$
DUBBIO a). Intuitivamente, un cerchio dovrebbe essere mandato in un cerchio...cos'è quella curva strana?
Adesso applichiamo alle nuove coordinate le trasf. di Lorentz
$$\begin{pmatrix}CT'\\ X'\\Y'\\Z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & \gamma\beta & 0 & 0\\\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} CT\\X\\Y\\Z\end{pmatrix}$$
Sostituendo, trovo i seguenti
$X'=\sqrt 2\gamma (\cos t-\sin t + t)$
$Y' = \sqrt 2 (\cos t + \sin t)$
$T' = \gamma t +(\gamma\beta)/c X$
Se volessimo trovare la legge oraria nel nuovo riferimento dovremmo sostituire t con t', e questo è un problema. Tuttavia nulla ci vieta di usare T come parametro, al posto di T'. Se vogliamo trovare la "forma" della curva, questo basta e avanza.
Intanto, se $x=A(\cos t-\sin t),y=A(\cos t +\sin t)$ è un cerchio (perché è il cerchio ruotato di 45 gradi), la figura $(X',Y')$ deve essere un ellisse, perché la componente X è contratta di un fattore gamma. All'ellisse va aggiunto un vettore $(\sqrt 2\gamma t,0)$, ovvero la componente Y rimane la stessa dell'ellisse, mentre la componente x cresce linearmente Se gli assi del nuovo sistema di riferimento rimangono della stessa orientazione di prima, occorre ruotare la figura di -45 gradi. Faccio il disegno di cosa vede, secondo me, l'osservatore in moto,
Che ne pensate? Vi fila il ragionamento?
Intanto, se $x=A(\cos t-\sin t),y=A(\cos t +\sin t)$ è un cerchio (perché è il cerchio ruotato di 45 gradi), la figura $(X',Y')$ deve essere un ellisse, perché la componente X è contratta di un fattore gamma. All'ellisse va aggiunto un vettore $(\sqrt 2\gamma t,0)$, ovvero la componente Y rimane la stessa dell'ellisse, mentre la componente x cresce linearmente Se gli assi del nuovo sistema di riferimento rimangono della stessa orientazione di prima, occorre ruotare la figura di -45 gradi. Faccio il disegno di cosa vede, secondo me, l'osservatore in moto,
Che ne pensate? Vi fila il ragionamento?
up
Newton,
lo vedi il mio avatar ? L'ho messo quando ho scritto questo messaggio . L'ho preso dal sito di Hamilton . Rappresenta una ruota di carretta che trasla sul piano orizzontale con velocità pari a $0.87c$ , per cui $\gamma = 2$ circa.
Il diametro parallelo al moto si contrae secondo la nota formula di Lorentz, quello perpendicolare al moto no. Per cui viene fuori una ellisse. Ma come evidenzia Hamilton, quello che si vede è diverso da quello che si misura . È una questione di fotoni che arrivano sulla retina nello stesso momento dell'osservatore, che non è lo stesso momento in cui sono partiti.
Nel sito trovi altri begli esempi di oggetti in moto relativistico, la cui apparenza è diversa da quanto ci si aspetterebbe. Ci sono pure delle ruote di carro colorate.
Per quanto riguarda il tuo problema, non mi convincono le trasformazioni di Lorentz da te impiegate, e cioè il modo in cui le hai usate. Le TL si applicano tra riferimenti inerziali in moto relativo, e non mi pare che un punto che si muove su una circonferenza sia in m.r.u. Quindi non mi pronunzio al riguardo.
Per trovare le velocità trasformate dei punti di una circonferenza , il cui centro trasla a velocità relativistica rispetto a un osservatore, devi prendere un punto , scomporre la sua velocità in due componenti secondo $x$ e secondo $y$ (è un problema bidimensionale infatti) , e fare la composizione relativistica di ciascuna componente con la velocità di traslazione . Ti bastano 4 punti credo, diametralmente opposti.
Sulla composizione relativistica delle velocità quando gli assi non sono paralleli avevo detto qualcosa in questo post
e anche qui
lo vedi il mio avatar ? L'ho messo quando ho scritto questo messaggio . L'ho preso dal sito di Hamilton . Rappresenta una ruota di carretta che trasla sul piano orizzontale con velocità pari a $0.87c$ , per cui $\gamma = 2$ circa.
Il diametro parallelo al moto si contrae secondo la nota formula di Lorentz, quello perpendicolare al moto no. Per cui viene fuori una ellisse. Ma come evidenzia Hamilton, quello che si vede è diverso da quello che si misura . È una questione di fotoni che arrivano sulla retina nello stesso momento dell'osservatore, che non è lo stesso momento in cui sono partiti.
Nel sito trovi altri begli esempi di oggetti in moto relativistico, la cui apparenza è diversa da quanto ci si aspetterebbe. Ci sono pure delle ruote di carro colorate.
Per quanto riguarda il tuo problema, non mi convincono le trasformazioni di Lorentz da te impiegate, e cioè il modo in cui le hai usate. Le TL si applicano tra riferimenti inerziali in moto relativo, e non mi pare che un punto che si muove su una circonferenza sia in m.r.u. Quindi non mi pronunzio al riguardo.
Per trovare le velocità trasformate dei punti di una circonferenza , il cui centro trasla a velocità relativistica rispetto a un osservatore, devi prendere un punto , scomporre la sua velocità in due componenti secondo $x$ e secondo $y$ (è un problema bidimensionale infatti) , e fare la composizione relativistica di ciascuna componente con la velocità di traslazione . Ti bastano 4 punti credo, diametralmente opposti.
Sulla composizione relativistica delle velocità quando gli assi non sono paralleli avevo detto qualcosa in questo post
e anche qui
infatti il sistema è in moto relativo con velocità uniforme $V= (1/\sqrt(2), 1/\sqrt(2))$... a me in realtà torna..
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