Relatività ristretta: invarianza di $d^3 p/E$

[Newton_1372]

Come da titolo, vorrei dimostrare che per una particella la quantità $(d^3 p)/E$ è invariante per trasformazioni di Lorentz.
Per prima cosa considero lo Jacobiano della trasformazione che manda $p_i \mapsto p_i'$ (restrizione a componenti SPAZIALI. Essa ha determinante $\gamma(V)$ dove V è la velocità del boost.
Quindi si avrebbe
$d^3 p_i' = \gamma(V) d^3 p_i$

Ora mi manca da mostrare che $\gamma(V)=(E')/E$. Come faccio?

[redlex91-votailprof]

Che \(\frac{d^3\vec{p}}{2E_{\vec{p}}}\) è la "misura" invariante di Lorentz lo si mostra trasformandolo in una delta di Dirac del quadrimomento (assumo metrica con segnatura \((1,-1,-1,-1)\)).

\begin{align}
\int d^4p\,\delta(p^2-m^2)\theta(p_0)&=\int d^3\vec{p}dp_0\,\delta(-\vec{p}^2+p_0^2-m^2)\theta(p_0)\\
&=\int d^3\vec{p}dp_0\,\delta\left[\left(p_0-\sqrt{\vec{p}^2+m^2}\right)\left(p_0+\sqrt{\vec{p}^2+m^2}\right)\right]\theta(p_0)\\
&=\int d^3\vec{p}dp_0\,\frac{1}{2p_0}\left[\delta\left(p_0-\sqrt{\vec{p}^2+m^2}\right)+\delta\left(p_0+\sqrt{\vec{p}^2+m^2}\right)\right]\theta(p_0)\\
&=\int \frac{d^3\vec{p}}{2E_{\vec{p}}}
\end{align}

La L-inv. segue dal fatto che, rispetto a ogni trasformazione (di Lorentz propria ortocrona)
\begin{align}
&\Lambda\in\mathcal{L}^\uparrow_+\\
&\Lambda\colon p\longmapsto p'
\end{align}
si ha
\begin{align}
&\int d^4p'=\int d^4p\lvert\det\Lambda\rvert=\int d^4p\\
&\theta(p_0')=\theta(p_0)
\end{align}
in quanto la condizione di mass-shell impone al quadrimomento di stare sull'iperboloide di massa e ovviamente \(\delta(p^2-m^2)\) è pure invariante.