Relativita ristrettà ,formulazione covariante e controvarian

[qadesh1]

ciao a tutti allora il problema è molto semplice (almeno da porre).
Non riesco a capire la differenza tra un quadrivettore tipo: $x_\mu$ e uno del tipo $x^\mu$.
Mi potreste fare qualche esempio semplice?Sto studiando un po qua e la dalle dispense al web ma ho le idee un po confuse.
Ho capito che si tratta del modo di rappresentare grandezze nello spazio di minkowsky(nel caso della relativita speciale almeno)che essendo in quattro dimensioni ci obbliga a lavorare con quadrivettori .Ma proprio non colgo la differenza tra apice e pedice.

[alle.fabbri]

In relatività ristretta la differenza è un meno nella parte spaziale. Se come metrica prendiamo $\text{diag}(1,-1,-1,-1)$ si ha che
\(x^{\mu} = (x^0, \vec x)\)
mentre
\(x_{\mu} = (x^0, - \vec x)\)
cosicchè
\(x_{\mu} x^{\mu} = (x^0)^2 - \vec x^2 \)
cioè la quadridistanza invariante.

[Sk_Anonymous]

La distinzione non ha una valenza fisica, basti pensare che i due quadrivettori hanno la stessa componente temporale e opposte componenti spaziali. Piuttosto, è un'utile notazione matematica mediante la quale costruire degli invarianti, contraendo l'indice superiore del quadrivettore controvariante e l'indice inferiore del quadrivettore covariante. Per fare un esempio, puoi considerare il quadrivettore energia-impulso:

$p^\mu=[(mc)/sqrt(1-v^2/c^2),(mvecv)/sqrt(1-v^2/c^2)]$

$p_\mu=[(mc)/sqrt(1-v^2/c^2),-(mvecv)/sqrt(1-v^2/c^2)]$

$p^\mup_\mu=p^0p_0+p^1p_1+p^2p_2+p^3p_3=p_0^2-vecp*vecp=(m^2c^2)/(1-v^2/c^2)-(m^2v^2)/(1-v^2/c^2)=(m^2c^2(1-v^2/c^2))/(1-v^2/c^2)=m^2c^2$

@alle.fabbri
Mi hai anticipato.