Relatività ristretta
Sono alle prese col seguente problema.
Una stella si trova a distanza $9*10^20 m$ dalla Terra; esplodendo produce un protone che viaggia quasi alla velocità della luce. Nel sistema di riferimento del protone il tempo tra l'esplosione e l'arrivo del protone sul nostro pianeta corrisponde a $30 s$. Calcolare lo spazio percorso nel sistema di riferimento del protone.
Ho provato a risolverlo applicando le trasformazioni di Lorentz, ma non riesco a venirne fuori. Potreste darmi un input?
Una stella si trova a distanza $9*10^20 m$ dalla Terra; esplodendo produce un protone che viaggia quasi alla velocità della luce. Nel sistema di riferimento del protone il tempo tra l'esplosione e l'arrivo del protone sul nostro pianeta corrisponde a $30 s$. Calcolare lo spazio percorso nel sistema di riferimento del protone.
Ho provato a risolverlo applicando le trasformazioni di Lorentz, ma non riesco a venirne fuori. Potreste darmi un input?
Risposte
Di relatività non so quasi niente però mi verrebbe da dire $s=ct=300.000(km)/s*30s=9.000.000km$
Avrò detto l'ennesima cavolata del giorno?
Avrò detto l'ennesima cavolata del giorno?
Non credo che sia così semplice...
immagino che per spazio percorso si intenda lo spazio che il protone vede percorrere dalla terra che gli viene addosso
io agirei in due step
1- trova la velocità con cui il protone vede avvicinarsi la terra;
2- lega questa velocità alla distanza L che è quella a cui la terra vede il protone;
1- per la velocità chiama P_1 l'evento 'nascita del protone' e P_2 l'evento 'il protone attraversa la terra'. Scrivi P_1 e P_2 nei due sistemi di riferimento protone e terra e legale con Lorenz (attento all'origine degli assi può essere necessaria una traslazione!). Da quelle equazioni tiri fuori v.
2- cerca di mimare i ragionamenti che portano al fenomeno di contrazione delle lunghezze... oppure applica la formula che conosci
io agirei in due step
1- trova la velocità con cui il protone vede avvicinarsi la terra;
2- lega questa velocità alla distanza L che è quella a cui la terra vede il protone;
1- per la velocità chiama P_1 l'evento 'nascita del protone' e P_2 l'evento 'il protone attraversa la terra'. Scrivi P_1 e P_2 nei due sistemi di riferimento protone e terra e legale con Lorenz (attento all'origine degli assi può essere necessaria una traslazione!). Da quelle equazioni tiri fuori v.
2- cerca di mimare i ragionamenti che portano al fenomeno di contrazione delle lunghezze... oppure applica la formula che conosci
"matths87":
Non credo che sia così semplice...
Si dice che la velocità del protone è molto vicina a quella della luce. Vista l'enorme distanza percorsa in soli 30 secondi (secondo il tempo proprio del protone) direi che la velocità del protone è moltissimo vicina a quella della luce. Dunque l'ho approssimata proprio uguale a c (credo di sbagliare di pochissimo).
Allora il mio ragionamento è il seguente: se il protone va a velocità circa uguale a quella della luce rispetto alla terra, anche la terra va alla stessa velocità c (uguale e in verso contrario) rispetto al protone. Dunque nel sistema di riferimento del protone la terra gli viene incontro circa alla velocità della luce che è una costante universale. Poiché il protone misura in 30 secondi il tempo nel quale la terra lo raggiunge, ecco la ragione per la quale ho scritto la mia semplicissima formula. Se il ragionamento è giusto il calcolo è ottimamente approssimato. Se invece nel ragionamento c'è una falla allora spiegamela.
Ciao
nota:
Il calcolo rigoroso della velocità del protone sarebbe questo.
Detto T il tempo che il protone ci mette a raggiungere la terra, L la distanza e v la velocità del protone (in ottica terrestre) ho $T=L/v$
Detto t il tempo in ottica protone, essendo v sempre la velocità relativa di traslazione dei due sistemi che è la medesima per entrambi, ho $t=T\sqrt(1-(v/c)^2)$
Sapendo che $t=30$ e $L=9*10^20$, ricavo v che con questi numeri è talmente vicino a c che si può certamente approssimarlo a c. Da cui il semplice calcolo $l=ct$, con l distanza in ottica protone.
yah 
.......... vogliamo una soluzione al primo ordine non banale ora
in ogni caso si portano alla fine i conti anche esattamente... e non credo sia inutile.... in fondo un errore percentuale piccolo può portare a differenze di parecchi chilometri....
.......... vogliamo una soluzione al primo ordine non banale ora in ogni caso si portano alla fine i conti anche esattamente... e non credo sia inutile.... in fondo un errore percentuale piccolo può portare a differenze di parecchi chilometri....
"Thomas":
yah
in ogni caso si portano alla fine i conti anche esattamente... e non credo sia inutile.... in fondo un errore percentuale piccolo può portare a differenze di parecchi chilometri....
Vabbè, ci provo anche se mi pare fatica sprecata.
Per essere precisi allora occorre esserlo anche sulla velocità della luce.
Su Wikipedia trovo c=299.792.458 m/s (ma ho il sospetto che manchino i decimali...)
Calcolo approssimato:
v=c=299.792.458 m/s
l=8.993.773.740 m
Calcolo esatto (almeno con la precisione della calcolatrice di windows)
v=299.792.457,99999999999998503110977 m/s
l=8.993.773.739,999999999999550933293 m
Continuo a credere che non ne valesse la pena...
"Falco5x":
Continuo a credere che non ne valesse la pena...
Sono d'accordo con te: anch'io pervenivo al medesimo risultato (usando un altro metodo equivalente). Però nel punto successivo mi viene chiesto di trovare la massa della stella convertita in energia cinetica per produrre il protone. Devo desumere che tale massa è 'indefinitamente grande'?
Falco5x, hai contato fino a infinito 2 volte! 
"Falco5x":
[quote="Thomas"]yah
in ogni caso si portano alla fine i conti anche esattamente... e non credo sia inutile.... in fondo un errore percentuale piccolo può portare a differenze di parecchi chilometri....
Vabbè, ci provo anche se mi pare fatica sprecata.
Per essere precisi allora occorre esserlo anche sulla velocità della luce.
Su Wikipedia trovo c=299.792.458 m/s (ma ho il sospetto che manchino i decimali...)
Calcolo approssimato:
v=c=299.792.458 m/s
l=8.993.773.740 m
Calcolo esatto (almeno con la precisione della calcolatrice di windows)
v=299.792.457,99999999999998503110977 m/s
l=8.993.773.739,999999999999550933293 m
Continuo a credere che non ne valesse la pena...
[/quote]non ho inserito i numeri nel risultato esatto e quindi non so se quei numeri sono corretti, ma se dici le cose così non si capisce da dove tu li abbia tirati fuori... certo una discrepanza tanto piccola penso vada addirittura oltre 'la risoluzione' della relatività ristretta...... o forse no ci devo pensare....
tagliando la testa al toro, la domanda di mathhs87 richiede andare oltre questa approssimazione, come lui stesso fa notare....
"matths87":
[quote="Falco5x"]
Continuo a credere che non ne valesse la pena...
Sono d'accordo con te: anch'io pervenivo al medesimo risultato (usando un altro metodo equivalente). Però nel punto successivo mi viene chiesto di trovare la massa della stella convertita in energia cinetica per produrre il protone. Devo desumere che tale massa è 'indefinitamente grande'?[/quote]
Non direi.
sapendo che il rapporto tra massa relativistica e massa a riposo è $\frac{1}{\sqrt {1 - ( \frac{v}{c} )^2}}$, nel nostro caso questo fattore vale $\frac{1}{\sqrt {1 - ( \frac{v}{c} )^2}}=100069228559,44561487267801088344$.
Allora sapendo che l'energia cinetica fornita al protone è la differenza di massa (massa relativistica - massa a riposo) moltiplicata per la velocità della luce al quadrato si ha:
$T = m_0( \frac{1}{\sqrt {1 - ( \frac{v}{c} )^2}} - 1 )c^2$
Detta M la massa di stella che si deve trasformare in energia per fornire al protone l'energia cinetica suddetta si ha:
$M=T/c^2=m_0( \frac{1}{\sqrt {1 - ( \frac{v}{c} )^2}} - 1 )$
Su Wikipedia trovo per la massa del protone $m_0=1,6726231*10^(-27) kg$ da cui:
$M=1,6726231*10^(-27)*(100069228559,44561487267801088344-1)=1,6737810328603583552974479986563*10^(-16)kg$
Nemmeno tanta, in fondo!
va bè te la sei cavata anche questa volta ma secondo me è solo fortuna 
anyway se proprio non volete trovare la velocità esatta risolvendo una banale equazione di secondo grado non fatelo
ciao ciao
anyway se proprio non volete trovare la velocità esatta risolvendo una banale equazione di secondo grado non fatelo
ciao ciao
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