Relatività - dilatazione del tempo
Salve ragazzi... sto studiando questa roba in inglese e, già é complessa in italiano, figuriamoci in un'altra lingua..
Allora :
Due gemelli viene regalato loro due orologi per il loro compleanno. Poco dopo il gemello a viene rapito dagli alieni che se ne vanno con una velocita di 0.6c.
Il fratello si lamenta e dopo 8 ore di volo gli alieni tornano indietro ad una velocita didi 0.8c.
A) calcolare quanto erano andati lontani dalla terra nel riferimento terrestre.
B) assumendo che il periodo dell accelerazione é quasi instantaneo che differenza ci Sara tra gli orologi dei due gemelli quando si riuniranno sulla terra ?
Allora per a) sapendo che
time=(distanza)/velocità ho usato
$distanza=time* velocità$ anche se il risultato viene tipo 144x$10^8$ secondi.... può andare dite ?
Per la b non ho la minima idea...
Grazie
Allora :
Due gemelli viene regalato loro due orologi per il loro compleanno. Poco dopo il gemello a viene rapito dagli alieni che se ne vanno con una velocita di 0.6c.
Il fratello si lamenta e dopo 8 ore di volo gli alieni tornano indietro ad una velocita didi 0.8c.
A) calcolare quanto erano andati lontani dalla terra nel riferimento terrestre.
B) assumendo che il periodo dell accelerazione é quasi instantaneo che differenza ci Sara tra gli orologi dei due gemelli quando si riuniranno sulla terra ?
Allora per a) sapendo che
time=(distanza)/velocità ho usato
$distanza=time* velocità$ anche se il risultato viene tipo 144x$10^8$ secondi.... può andare dite ?
Per la b non ho la minima idea...
Grazie
Risposte
Suppongo tu stia studiando la teoria della relatività speciale, quindi dovresti aver sentito parlare di fenomeni del tipo dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze e quindi dovresti sapere che il procedimento che hai scritto è completamente sbagliato...(hint: cerca sul libro dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze, il problema poi dovrebbe risultarti immediato)
Si proprio quella. Il problema é che non ho riscontri. Nel libro non ché niente visto che verrà trattata nel secondo semestre e quindi ci Sara un sotto libro. Ho solo le misere slide del prof che dicono tutto e niente...
Mi sono studiato online il discorso della dilatazione del tempo, quindi di DT e DT0 e della relativa equazione in funzione di v e c, ma non capisco come collegarla a questo problema...
Mi sono studiato online il discorso della dilatazione del tempo, quindi di DT e DT0 e della relativa equazione in funzione di v e c, ma non capisco come collegarla a questo problema...
"starsuper":
e dopo 8 ore di volo gli alieni tornano indietro
Proprio perché si tratta di un problema relativistico è fondamentale eliminare dal testo alcune ambiguità che non esisterebbero nel caso non relativistico. Le 8 ore sono misurate sulla terra o nell'astronave degli alieni?
Dammi solo un chiarimento : le $8h$ di volo si intendono di "tempo proprio" degli alieni, giusto?
Non è il tempo trascorso sulla terra, penso...Quindi parto assumendo questa ipotesi.
Hai due valori di velocità, $v_1 = 0.6$ all'andata e $v_2 = 0.8$ al ritorno ( assumo $ c = 1$ , come normalmente si fa in questi calcoli). Quindi hai due valori del coefficiente di Lorentz :
$\gamma_1 = (1-v_1)^-(1/2) = 1.25 = 1/(0.8) $ e $\gamma_2 = (1-v_2)^-(1/2) = 1/0.6 $
Chiamo FIX il gemello che resta a terra, il quale registra il tempo coordinato $t$ , e chiamo MOB il gemello mobile, che registra il tempo proprio $\tau$ . Chiamo $x$ la distanza incognita da determinare.
Tra gli intervalli di tempo coordinato $\Delta t$ e di tempo proprio $ \Delta\tau$ sussiste la nota relazione ( valida a rigore per intervalli di tempi infinitesimi, ma applicabile a intervalli di tempi finiti se la velocità è costante) :
$\Deltat = \gamma *\Delta\tau$
Il gemello Fix calcola che nel viaggio di andata di Mob con gli alieni trascorre il tempo coordinato:
$\Deltat_1 = x/0.6$ -------(1)
e calcola che nel viaggio di ritorno trascorre il tempo coordinato :
$\Deltat_2 = x/0.8$ -------(2)
(NB : ai denominatori ci sono le velocità adimensionali. Il tempo risulta quindi espresso in unità di lunghezza, ad esempio in metri. Tempo in metri? Sissignore. Un metro di tempo non è altro che il tempo impiegato dalla luce a percorrere $1m$ , e vale in unita tradizionali : $1/(3*10^8)s = 3.333...ns$ . La luce impiega poco più di $3ns$ a percorrere $1m$.
Oppure si può esprimere la distanza in ore-luce, o in anni luce, e allora il tempo sarà in ore o anni. Il fattore di conversione è sempre la velocità della luce, come vedrai).
Invece il gemello Mob dice che lo spazio $x$ tra terra e stella si è contratto, quindi vale all'andata : $x/(\gamma_1) = 0.8*x $, per cui con la velocità $v_1 = 0.6$ il suo orologio segna la durata di tempo proprio di andata :
$\Delta\tau_1 = (0.8*x)/0.6$ -------(3)
Al ritorno, lo spazio contratto per Mob misura : $0.6*x$, quindi il suo orologio misura la durata di tempo proprio di ritorno:
$\Delta\tau_2 = (0.6*x)/0.8$ -------(4)
Ora la somma dei due tempi propri vale $8h$ sull'orologio di Mob, per cui sommando (3) e (4) si ha :
$8 = x/(0.48)$, da cui si ricava che : $x = 0.48*8 h = 3.84 h $ .
Queste sono ore-luce. Per trasformarle in $km$ basta moltiplicare per $ c = 1 = 10.8*10^8 (km)/h$ , e si ottiene : $x = 41.472*10^8 km$ .
Questa è la distanza raggiunta dagli alieni.
Per valutare il tempo trascorso sulla terra, misurato da Fix, basta calcolare i due tempi coordinati dati da (1) e (2), che risultano : $\Delta t_1 = 6.4 h$ e $\Deltat_2 = 4.8h$ , la cui somma fa : $\Delta t = 11.2h$.
Questo è il tempo trascorso sulla Terra e misurato da Fix, corrispondente alle $8h$ di tempo proprio misurato da Mob.
EDIT : ho visto in ritardo le altre risposte, e ho capito da quanto hai detto che sei alle prime armi con la RR : e come si fa a risolvere un esercizio come questo, se non si hanno le giuste cososcenze di base della teoria? Ho svolto l'esercizio pensando che avessi studiato una buona dose di RR, ma capisco che non è così ....Mi sembra assurdo. E oltretutto dici che la stai studiando in Inglese.
Percio avevo dato per scontato troppe cose, ma avresti fatto meglio a dirlo subito. Qui c'è da cominciare da zero, non da quest'esercizio, sono sicuro che molti concetti ti risulteranno oscuri.
Comunque, tu prova a guardarlo.
Non è il tempo trascorso sulla terra, penso...Quindi parto assumendo questa ipotesi.
Hai due valori di velocità, $v_1 = 0.6$ all'andata e $v_2 = 0.8$ al ritorno ( assumo $ c = 1$ , come normalmente si fa in questi calcoli). Quindi hai due valori del coefficiente di Lorentz :
$\gamma_1 = (1-v_1)^-(1/2) = 1.25 = 1/(0.8) $ e $\gamma_2 = (1-v_2)^-(1/2) = 1/0.6 $
Chiamo FIX il gemello che resta a terra, il quale registra il tempo coordinato $t$ , e chiamo MOB il gemello mobile, che registra il tempo proprio $\tau$ . Chiamo $x$ la distanza incognita da determinare.
Tra gli intervalli di tempo coordinato $\Delta t$ e di tempo proprio $ \Delta\tau$ sussiste la nota relazione ( valida a rigore per intervalli di tempi infinitesimi, ma applicabile a intervalli di tempi finiti se la velocità è costante) :
$\Deltat = \gamma *\Delta\tau$
Il gemello Fix calcola che nel viaggio di andata di Mob con gli alieni trascorre il tempo coordinato:
$\Deltat_1 = x/0.6$ -------(1)
e calcola che nel viaggio di ritorno trascorre il tempo coordinato :
$\Deltat_2 = x/0.8$ -------(2)
(NB : ai denominatori ci sono le velocità adimensionali. Il tempo risulta quindi espresso in unità di lunghezza, ad esempio in metri. Tempo in metri? Sissignore. Un metro di tempo non è altro che il tempo impiegato dalla luce a percorrere $1m$ , e vale in unita tradizionali : $1/(3*10^8)s = 3.333...ns$ . La luce impiega poco più di $3ns$ a percorrere $1m$.
Oppure si può esprimere la distanza in ore-luce, o in anni luce, e allora il tempo sarà in ore o anni. Il fattore di conversione è sempre la velocità della luce, come vedrai).
Invece il gemello Mob dice che lo spazio $x$ tra terra e stella si è contratto, quindi vale all'andata : $x/(\gamma_1) = 0.8*x $, per cui con la velocità $v_1 = 0.6$ il suo orologio segna la durata di tempo proprio di andata :
$\Delta\tau_1 = (0.8*x)/0.6$ -------(3)
Al ritorno, lo spazio contratto per Mob misura : $0.6*x$, quindi il suo orologio misura la durata di tempo proprio di ritorno:
$\Delta\tau_2 = (0.6*x)/0.8$ -------(4)
Ora la somma dei due tempi propri vale $8h$ sull'orologio di Mob, per cui sommando (3) e (4) si ha :
$8 = x/(0.48)$, da cui si ricava che : $x = 0.48*8 h = 3.84 h $ .
Queste sono ore-luce. Per trasformarle in $km$ basta moltiplicare per $ c = 1 = 10.8*10^8 (km)/h$ , e si ottiene : $x = 41.472*10^8 km$ .
Questa è la distanza raggiunta dagli alieni.
Per valutare il tempo trascorso sulla terra, misurato da Fix, basta calcolare i due tempi coordinati dati da (1) e (2), che risultano : $\Delta t_1 = 6.4 h$ e $\Deltat_2 = 4.8h$ , la cui somma fa : $\Delta t = 11.2h$.
Questo è il tempo trascorso sulla Terra e misurato da Fix, corrispondente alle $8h$ di tempo proprio misurato da Mob.
EDIT : ho visto in ritardo le altre risposte, e ho capito da quanto hai detto che sei alle prime armi con la RR : e come si fa a risolvere un esercizio come questo, se non si hanno le giuste cososcenze di base della teoria? Ho svolto l'esercizio pensando che avessi studiato una buona dose di RR, ma capisco che non è così ....Mi sembra assurdo. E oltretutto dici che la stai studiando in Inglese.
Percio avevo dato per scontato troppe cose, ma avresti fatto meglio a dirlo subito. Qui c'è da cominciare da zero, non da quest'esercizio, sono sicuro che molti concetti ti risulteranno oscuri.
Comunque, tu prova a guardarlo.
Guarda ti ringrazio navigatore per il tempo che mi hai dedicato ma l 80% di quello ch hai scritto non l ho mai visto prima . Ho fatto tre lezioni di relatività in tutto e siamo partiti con i postulati di Einstein,trasformazioni di Galileo, simultaneità, contrazione e dilataZione e la
Dimostrazione del 2 postulato (esperimento del fascio di luce di cui nonni ricordo il nome), ma tre ore in tutto non sono sufficienti.
Il testo in questione l ho preso da un appello piuttosto vecchio quindi probabilmente si erano soffermati di piu.
Nel frattempo ho trovato questo
http://it.m.wikipedia.org/wiki/Paradoss ... #section_2
Domani dopo 4 caffè provo comunque a dargli un'occhiata piu approfondita.
Dimostrazione del 2 postulato (esperimento del fascio di luce di cui nonni ricordo il nome), ma tre ore in tutto non sono sufficienti.
Il testo in questione l ho preso da un appello piuttosto vecchio quindi probabilmente si erano soffermati di piu.
Nel frattempo ho trovato questo
http://it.m.wikipedia.org/wiki/Paradoss ... #section_2
Domani dopo 4 caffè provo comunque a dargli un'occhiata piu approfondita.
L' ho immaginato, dopo aver fatto il lavoro....!
Comunque, se dopo aver capito e appreso i rudimenti della RR, riesci a dare un'occhiata all'esercizio, e qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure, qualcuno ti risponderà.
Nel link che hai messo, c'è la solita fesseria sulla storia della soluzione del paradosso dei gemelli ( che paradosso non è) con la Relatività Generale, e col fatto che le vicende dell'astronauta Mob in viaggio sono diverse da quelle del gemello a terra Fix, perché Mob sente una accelerazione, sia alla partenza da terra che all'arrivo sulla stella,e analogamente nella fase di ritorrno : non è vero niente, l'effetto gemelli si può spiegare benissimo con la sola R. Ristretta, senza tener conto di alcuna accelerazione. Non c'è bisogno di complicarsi la vita con le accelerazioni, per questo.
Se avrò tempo, mi divertirò a fare un disegno e postarlo, con le spiegazioni del caso.
MA ti raccomando: devi capire prima bene che cosa vogliono dire innanzitutto i due postulati su cui si fonda la RR, e poi che cosa essi comportano : relatività della contemporaneità, rallentamento degli orologi in moto, contrazione delle lunghezze. Se guardi nelle mie risposte, trovi parecchi posts con argomento : relatività, ecc. ecc.
Sempre che ti interessi. ciao
Comunque, se dopo aver capito e appreso i rudimenti della RR, riesci a dare un'occhiata all'esercizio, e qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure, qualcuno ti risponderà.
Nel link che hai messo, c'è la solita fesseria sulla storia della soluzione del paradosso dei gemelli ( che paradosso non è) con la Relatività Generale, e col fatto che le vicende dell'astronauta Mob in viaggio sono diverse da quelle del gemello a terra Fix, perché Mob sente una accelerazione, sia alla partenza da terra che all'arrivo sulla stella,e analogamente nella fase di ritorrno : non è vero niente, l'effetto gemelli si può spiegare benissimo con la sola R. Ristretta, senza tener conto di alcuna accelerazione. Non c'è bisogno di complicarsi la vita con le accelerazioni, per questo.
Se avrò tempo, mi divertirò a fare un disegno e postarlo, con le spiegazioni del caso.
MA ti raccomando: devi capire prima bene che cosa vogliono dire innanzitutto i due postulati su cui si fonda la RR, e poi che cosa essi comportano : relatività della contemporaneità, rallentamento degli orologi in moto, contrazione delle lunghezze. Se guardi nelle mie risposte, trovi parecchi posts con argomento : relatività, ecc. ecc.
Sempre che ti interessi. ciao
Mi sono accorto di un piccolo errore nel precedente post e l'ho corretto.
Non faccio un disegno, per l'esempio che segue non occorre. Intendo farti vedere che il cosidetto "paradosso dei gemelli" o degli orologi, che paradosso non è, si può capire anche senza astronavi, gemelli (!) e viaggi spaziali, ma....viaggi terrestri, però a velocità relativistiche.
Immagina allora di avere una lunghissima strada rettilinea , diciamo $100 km $, ai cui estremi ci sono due motociclisti molto spericolati $M_1$ ( a sinistra del disegno) e $M_2$ (a destra del disegno), disposti in modo da viaggiare contromano uno rispetto all' altro.
Su questa lunga strada, fissiamo un tratto $AB$, più o meno in zona centrale, che sia lungo, supponiamo :
$ L = 18km = 18000 m$.
Agli estremi $A$ e $B$ del tratto $L$ vi sono due paletti con due orologi fermi a zero, che misureranno evidentemente il tempo terrestre (tempo coordinato) con lo stesso ritmo, una volta messi in moto. Chi li mette in moto? Una cellula fotoelettrica. Quando ?
Ecco:
Il motococlista $M_1$ ad un certo punto parte, accelera follemente, e prima, molto prima di arrivare a tagliare il palo di partenza $A$ raggiunge la folle velocità costante : $ v_1 = 0.6 *c = 0.6 $
( qui vale il discorso già fatto : la velocità si esprime come frazione della velocità della luce, è adimensionale. La velocità della luce vale : $ c = 3*10^5(km)/s = 1(al)/a = 1(sl)/s ....$ . Cioè , 1 anno-luce all'anno , ovvero un secondo-luce al secondo..... In unità tradizionali, risulta :$ c = (0.3m)/(ns)$, cioe in un nanosecondo la luce percorre $30 cm$ ).
Dunque abbiamo relegato la fase di accelerazione fuori del percorso $AB$ che ci interessa, che si svolge a velocità costante.
Arrivato in $A$ scatta la cellula fotoelettrica che fa partire entrambi gli orologi coordinati in $A$ e in $B$. Nello stesso istante parte l'orologio che $M_1$ porta addosso, e registra il tempo proprio.
Stando agli orologi terrestri, la distanza $L = 18000 m$ è percorsa nel tempo terrestre : $ \Deltat_1 = (18000 m)/0.6 = 30000 m$, e questi sono metri di tempo, che equivalgono in unità tradizionali a : $ \Deltat_1 = (30000m *ns)/(0.3m) = 100000 ns = 100\mus$ . Ma l'orologio di $M_1$, che ha cominciato a battere il tempo proprio quando $M_1$ ha tagliato il palo di partenza, segna alla fine del percorso un tempo proprio minore, per effetto del rallentamento : $ \Delta\tau_1 = 1/\gamma*\Deltat_1 = 0.8*100\mus = 80\mus$.
Ovviamente $M_1$ non nota il rallentamento del suo tempo rispetto al tempo coordinato, non perché sia piccolo, ma perché lui è nel riferimento inerziale della sua moto, e per lui la "vita" in quel riferimento scorre come sempre. $M_1$ noterà che il suo tempo proprio è minore del tempo coordinato trascorso solo quando confronterà il proprio orologio con quello terrestre del palo di arrivo $B$.
Tuttavia, $M_1$ può dire fin dall'inizio quanto durerà il suo tragitto da $A$ a $B$, poiché sa di viaggiare a $v = 0.6$, e ritiene che la lunghezza del percorso sia contratta, cioè nel suo riferimento inerziale risulta : $ (AB)_1 = L_1 = 0.8*18000 m = 14400 m$ , che alla velocità di $0.6$ vengono percorsi nel tempo proprio (espresso in metri) :
$\Delta\tau_1 = 14400/0.6 = 24000 m $ di tempo, quindi in unità tradizionali :
$\Delta\tau_1 = (24000m*ns)/(0.3m) = 80000 ns = 80\mus$
risultato uguale a prima, evidentemente.
E il secondo motociclista $M_2$ a che serve? Qui viene il bello. Anche il secondo motociclista parte da molto lontano verso $B$ (quindi rispetto al disegno si sposta da destra a sinistra), e raggiunge la stessa velocità di $0.6$ molto prima di arrivare in $B$. Perciò il fattore di Lorentz è uguale a prima, il rallentamento dell'orologio di $M_2$ è del tutto uguale a quello di $M_1$, e così pure anche la lunghezza del percorso contratto $(BA)_2$ è uguale per $M_2$ a $14400 m$.
Ora attenzione : le corse sono organizzate in modo che nel preciso istante di tempo coordinato in cui $M_1$ passa per $B$ (e poi prosegue, fin dove nessuno lo sa ma non ci importa) anche $M_2$ passa per $B$ ma nel verso contrario, dirigendosi verso $A$ . E nello stesso istante (si dovrebbe dire: nello stesso evento) in cui $M_2$ passa per $B$ si mette in moto il suo orologio, che registra dunque la stessa durata di tempo proprio di quello di $M_1$, per il tragitto $(BA)_2$.
Perciò sarà : $\Delta\tau_2 = 80000 ns = 80\mus$
E anche la durata di tempo terrestre del percorso di $M_2$ da $B$ ad $A$ sarà uguale a $\Deltat_1 = 100 \mus$.
In conclusione : l'orologio terrestre in $A$ dal passaggio di $M_1$ diretto a destra fino al passaggio di $M_2$ ( che poi prosegue ma non ci importa fin dove) verso sinistra ha registrato un tempo totale :
$ \Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 200\mus$
Invece, la somma dei tempi propri delle corse dei motociclisti è : $ \Delta\tau = \Delta\tau_1 + \Delta\tau_2 = 160 \mus$
Qualcuno, per rendere più incisivo l'esempio, dice : quando $M_1$ ed $M_2$ si trovano entrambi nell'evento $B$ il primo lancia il suo orologio al secondo, che lo afferra e lo riporta quindi indietro: è naturalmente la stessa cosa di prima. MA serve per sottolineare che l'orologio che va più lentamente è l'orologio in moto, rispetto agli orologi fissi sui traguardi $A$ e $B$ .
E questo non è altro che il famoso "paradosso dei gemelli" , o effetto gemelli, o degli orologi in moto, per il quale non occorre la Relatività Generale, e non occorre dire che "l'accelerazione ha causato la dissimmetria tra il gemello fisso e quello mobile" . Qui si sono usati tre riferimenti inerziali : il riferimento terrestre col suo tempo coordinato, il riferimento di $M_1$ e quello di $M_2$.
Non faccio un disegno, per l'esempio che segue non occorre. Intendo farti vedere che il cosidetto "paradosso dei gemelli" o degli orologi, che paradosso non è, si può capire anche senza astronavi, gemelli (!) e viaggi spaziali, ma....viaggi terrestri, però a velocità relativistiche.
Immagina allora di avere una lunghissima strada rettilinea , diciamo $100 km $, ai cui estremi ci sono due motociclisti molto spericolati $M_1$ ( a sinistra del disegno) e $M_2$ (a destra del disegno), disposti in modo da viaggiare contromano uno rispetto all' altro.
Su questa lunga strada, fissiamo un tratto $AB$, più o meno in zona centrale, che sia lungo, supponiamo :
$ L = 18km = 18000 m$.
Agli estremi $A$ e $B$ del tratto $L$ vi sono due paletti con due orologi fermi a zero, che misureranno evidentemente il tempo terrestre (tempo coordinato) con lo stesso ritmo, una volta messi in moto. Chi li mette in moto? Una cellula fotoelettrica. Quando ?
Ecco:
Il motococlista $M_1$ ad un certo punto parte, accelera follemente, e prima, molto prima di arrivare a tagliare il palo di partenza $A$ raggiunge la folle velocità costante : $ v_1 = 0.6 *c = 0.6 $
( qui vale il discorso già fatto : la velocità si esprime come frazione della velocità della luce, è adimensionale. La velocità della luce vale : $ c = 3*10^5(km)/s = 1(al)/a = 1(sl)/s ....$ . Cioè , 1 anno-luce all'anno , ovvero un secondo-luce al secondo..... In unità tradizionali, risulta :$ c = (0.3m)/(ns)$, cioe in un nanosecondo la luce percorre $30 cm$ ).
Dunque abbiamo relegato la fase di accelerazione fuori del percorso $AB$ che ci interessa, che si svolge a velocità costante.
Arrivato in $A$ scatta la cellula fotoelettrica che fa partire entrambi gli orologi coordinati in $A$ e in $B$. Nello stesso istante parte l'orologio che $M_1$ porta addosso, e registra il tempo proprio.
Stando agli orologi terrestri, la distanza $L = 18000 m$ è percorsa nel tempo terrestre : $ \Deltat_1 = (18000 m)/0.6 = 30000 m$, e questi sono metri di tempo, che equivalgono in unità tradizionali a : $ \Deltat_1 = (30000m *ns)/(0.3m) = 100000 ns = 100\mus$ . Ma l'orologio di $M_1$, che ha cominciato a battere il tempo proprio quando $M_1$ ha tagliato il palo di partenza, segna alla fine del percorso un tempo proprio minore, per effetto del rallentamento : $ \Delta\tau_1 = 1/\gamma*\Deltat_1 = 0.8*100\mus = 80\mus$.
Ovviamente $M_1$ non nota il rallentamento del suo tempo rispetto al tempo coordinato, non perché sia piccolo, ma perché lui è nel riferimento inerziale della sua moto, e per lui la "vita" in quel riferimento scorre come sempre. $M_1$ noterà che il suo tempo proprio è minore del tempo coordinato trascorso solo quando confronterà il proprio orologio con quello terrestre del palo di arrivo $B$.
Tuttavia, $M_1$ può dire fin dall'inizio quanto durerà il suo tragitto da $A$ a $B$, poiché sa di viaggiare a $v = 0.6$, e ritiene che la lunghezza del percorso sia contratta, cioè nel suo riferimento inerziale risulta : $ (AB)_1 = L_1 = 0.8*18000 m = 14400 m$ , che alla velocità di $0.6$ vengono percorsi nel tempo proprio (espresso in metri) :
$\Delta\tau_1 = 14400/0.6 = 24000 m $ di tempo, quindi in unità tradizionali :
$\Delta\tau_1 = (24000m*ns)/(0.3m) = 80000 ns = 80\mus$
risultato uguale a prima, evidentemente.
E il secondo motociclista $M_2$ a che serve? Qui viene il bello. Anche il secondo motociclista parte da molto lontano verso $B$ (quindi rispetto al disegno si sposta da destra a sinistra), e raggiunge la stessa velocità di $0.6$ molto prima di arrivare in $B$. Perciò il fattore di Lorentz è uguale a prima, il rallentamento dell'orologio di $M_2$ è del tutto uguale a quello di $M_1$, e così pure anche la lunghezza del percorso contratto $(BA)_2$ è uguale per $M_2$ a $14400 m$.
Ora attenzione : le corse sono organizzate in modo che nel preciso istante di tempo coordinato in cui $M_1$ passa per $B$ (e poi prosegue, fin dove nessuno lo sa ma non ci importa) anche $M_2$ passa per $B$ ma nel verso contrario, dirigendosi verso $A$ . E nello stesso istante (si dovrebbe dire: nello stesso evento) in cui $M_2$ passa per $B$ si mette in moto il suo orologio, che registra dunque la stessa durata di tempo proprio di quello di $M_1$, per il tragitto $(BA)_2$.
Perciò sarà : $\Delta\tau_2 = 80000 ns = 80\mus$
E anche la durata di tempo terrestre del percorso di $M_2$ da $B$ ad $A$ sarà uguale a $\Deltat_1 = 100 \mus$.
In conclusione : l'orologio terrestre in $A$ dal passaggio di $M_1$ diretto a destra fino al passaggio di $M_2$ ( che poi prosegue ma non ci importa fin dove) verso sinistra ha registrato un tempo totale :
$ \Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = 200\mus$
Invece, la somma dei tempi propri delle corse dei motociclisti è : $ \Delta\tau = \Delta\tau_1 + \Delta\tau_2 = 160 \mus$
Qualcuno, per rendere più incisivo l'esempio, dice : quando $M_1$ ed $M_2$ si trovano entrambi nell'evento $B$ il primo lancia il suo orologio al secondo, che lo afferra e lo riporta quindi indietro: è naturalmente la stessa cosa di prima. MA serve per sottolineare che l'orologio che va più lentamente è l'orologio in moto, rispetto agli orologi fissi sui traguardi $A$ e $B$ .
E questo non è altro che il famoso "paradosso dei gemelli" , o effetto gemelli, o degli orologi in moto, per il quale non occorre la Relatività Generale, e non occorre dire che "l'accelerazione ha causato la dissimmetria tra il gemello fisso e quello mobile" . Qui si sono usati tre riferimenti inerziali : il riferimento terrestre col suo tempo coordinato, il riferimento di $M_1$ e quello di $M_2$.
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