[RELATIVITÀ] Campi magnetici da campi elettrici

[Frostman]

Calcolare il campo magnetico $\vec B$ generato da una corrente $I$ costante, omogenea ed uniforme, in un cilindro rettilineo infinitamente lungo, di raggio $R$, conoscendo la forma del campo elettrico generato da una distribuzione rettilinea, omogenea ed uniforme di cariche elettriche statiche con le stesse caratteristiche geometriche, le leggi di trasformazione dei campi elettromagnetici per boost di Lorentz, e usando opportunamente il principio di sovrapposizione per campi elettromagnetici.

Il campo elettrico generato da una distribuzione rettilinea, omogenea ed uniforme è: $\vec E = \frac 1 {2\pi}\frac{\lambda}{r}\hat r$.
Le leggi di trasformazione sono:
$$
E_x'=E_x\\
E_y'=\gamma(E_y - vB_z)\\
E_z'=\gamma(E_z + vB_y)\\

B_x'=B_x\\
B_y'=\gamma(B_y + vE_z)\\
B_z'=\gamma(B_z - vE_y)\\
$$
Suppongo che in questo caso nel sistema di riferimento in cui andrò a calcolare $\vec B$, il campo elettrico sia nullo in ogni sua componente. Fatto questo devo individuare componente per componente il campo elettrico, ossia:

$E_y = \frac 1 {2\pi}\frac{\lambda y}{y^2+z^2}\hat y$.
$E_z = \frac 1 {2\pi}\frac{\lambda z}{x^2+z^2}\hat z$.

[Lampo1089]

Ciao Frostman,

ti do' un piccolo hint (sperando di azzeccarci stavolta) per metterti sulla retta via:

Suppongo che in questo caso nel sistema di riferimento in cui andrò a calcolare B⃗ , il campo elettrico sia nullo in ogni sua componente.

Prova a scrivere la 4corrente di questo problema e a trasformarla con un generico boost di Lorentz (chiamiamo S' il SRI in moto): così calcoli la 4corrente in S'; utilizzi poi le trasformazioni che hai scritto per ottenere il campo EM in S'.
Poni attenzione alla densità di carica in S'.
Dato che vuoi ottenere il campo magnetico di un filo percorso da corrente (nb in cui rho = 0) dovrai sovrapporre al campo EM in S' il campo elettrico generato da una densità di corrente uguale ed opposta.

[Frostman]

"Lampo1089":Ciao Frostman,

ti do' un piccolo hint (sperando di azzeccarci stavolta) per metterti sulla retta via:

Suppongo che in questo caso nel sistema di riferimento in cui andrò a calcolare B⃗ , il campo elettrico sia nullo in ogni sua componente.

Prova a scrivere la 4corrente di questo problema e a trasformarla con un generico boost di Lorentz (chiamiamo S' il SRI in moto)

Procedo per piccoli step, è il primo esercizio in cui mi si chiede di lavorare con la quadricorrente:

$J^{\alpha}=(\rho, J_x, J_y, J_z)$

Da quello che ho compreso il primo termine rappresenta la densità di carica volumica ($\rho$), noi invece abbiamo una densità di carica lineare ($\lambda$). Mentre supponendo che il filo e il boost siano orientati lungo l'asse-x. La densità di corrente sarà solo data da $J_x$.

$J^{\alpha}=(\rho, J_x, 0, 0)$

Il problema è che ho $\rho$ anziché $\lambda$. Corretto?

[Lampo1089]

Sì è corretto, ma quello che volevo farti notare è che nel sistema S' non è presente solo una (densità di) corrente, ma anche una densità di carica.

Per quanto riguarda la densità di carica lineare vs densità di carica volumica: se proprio è necessario (dico così perché non ci ho riflettuto), rappresenterei la prima utilizzando un'opportuna delta di dirac

[Frostman]

"Lampo1089":Sì è corretto, ma quello che volevo farti notare è che nel sistema S' non è presente solo una (densità di) corrente, ma anche una densità di carica.

Okay, sono d'accordo dato che la trasformazione della quadricorrente è:

$\rho' = \gamma(\rho-vJ_x)$
$J_x' = \gamma(J_x-v\rho)$

"Lampo1089":
Per quanto riguarda la densità di carica lineare vs densità di carica volumica: se proprio è necessario (dico così perché non ci ho riflettuto), rappresenterei la prima utilizzando un'opportuna delta di dirac

Così intendi?
$\lambda(x, t) = \sum_n e_n\delta(x-x_n(t))$
Visto che
$\rho(\vec x, t) = \sum_n e_n\delta^3(\vec x-\vec x_n(t))$

A questo punto come procedo?