Relatività
ragazzi mi potresti aiutare con questo problema: a quale velocità deve avere una navicella perché il suo equipaggio invecchi della metà rispetto al personale di controllo sulla terra? che formula devo applicare?
Risposte
Per quei pochi vaghi ricordi di RR che conservo, se la navicella viaggia di moto rettilineo uniforme non c'è verso che l'equipaggio invecchi più lentamente rispetto a chi sta a terra.
Se indichi con $\Deltat$ la variazione di tempo coordinato, che è quello misurato a terra, e indichi con $\Delta\tau$ la variazione di tempo proprio che è quello misurato a bordo dell'astronave, tra i due tempi sussiste la relazione :
$\Delta t = \gamma*\Delta\tau$
che poi è la formula che esprime il " rallentamento degli orologi in moto" rispetto agli orologi coordinati. Il fattore $\gamma$ è il fatto e di Lorentz : $\gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2) $ , che quindi deve esse uguale a 2 nel tuo esercizio.
Attenzione però! Questo è un terreno minato, è un concetto difficile da capire per i neofiti della Relatività! Solo se l'astronave dopo aver girovagato nello spazio torna a terra, e si confronta l'orologio che ha viaggiato con l'orologio che è rimasto fermo a terra, sempre nello stesso riferimento inerziale (mentre l'astronave necessariamente ne cambia tanti, di riferimenti, che si possono considerare "istantaneamente inerziali" , nel suo giro spaziale…) , si può vedere la differenza. MA in tal caso non basta un solo $\gamma$ …..
$\Delta t = \gamma*\Delta\tau$
che poi è la formula che esprime il " rallentamento degli orologi in moto" rispetto agli orologi coordinati. Il fattore $\gamma$ è il fatto e di Lorentz : $\gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2) $ , che quindi deve esse uguale a 2 nel tuo esercizio.
Attenzione però! Questo è un terreno minato, è un concetto difficile da capire per i neofiti della Relatività! Solo se l'astronave dopo aver girovagato nello spazio torna a terra, e si confronta l'orologio che ha viaggiato con l'orologio che è rimasto fermo a terra, sempre nello stesso riferimento inerziale (mentre l'astronave necessariamente ne cambia tanti, di riferimenti, che si possono considerare "istantaneamente inerziali" , nel suo giro spaziale…) , si può vedere la differenza. MA in tal caso non basta un solo $\gamma$ …..
Sarà che devo ancora prendere confidenza con questo argomento...però vedo che è molto complicato. Ritornando al problema io ho solo quel "=2" di dati noti..poi il rapporto v/c come faccio a calcolarlo non avendo la v e non avendo nemmeno i tempi?
Se il tuo problema si può riformulare equivalentemente inserendo un viaggio andata e ritorno percorso alla stessa velocità (in modulo) sulla falsariga del "paradosso" dei gemelli, \( v \) è la tua incognita e puoi utilizzare il dato che hai e la prima relazione che ti ha dato navigatore per determinare quanto vale la \( \gamma \) adatta al tuo problema (prova a pensarci su) e la seconda relazione scritta da navigatore per ricavare \( v \).
Se il problema è totalmente simmetrico (i.e. nessun viaggio di ritorno) la risposta è indipendente dalla velocità: è impossibile.
Se il problema è totalmente simmetrico (i.e. nessun viaggio di ritorno) la risposta è indipendente dalla velocità: è impossibile.
Grazie mille davvero..domani mattina provo a risolverlo con i tuoi consigli...comunque escludo che è impossibile perchè mi da un risultato numerico che è circa 0,8.
Io non so moltissimi di Relatività chiedo a Nav di correggermi se scrivo castronate.
La traccia di chiede la velocità necessaria che verifichi la seguente relazione: $ \Delta t = 2*\Delta\tau $
E tu sai che :$ \Delta t = \gamma*\Delta\tau $
Quindi la velocità la trovi imponendo $\gamma=2$
quindi si tratta di risolvere la seguente equazione:
$1/sqrt(1-v^2/(9*10^16))=2$
si può riscrivere così:
$sqrt(1-v^2/(9*10^16))=1 /2 => 1-v^2/(9*10^16)= 1/ 4 => -v^2/(9*10^16)=-3/ 4$
E si trova che $v~~ 2.59808*10^8 m/s$
Troviamo quindi che il risultato è circa $v=0.86*c$ (che se non erro è comeil risultato che ti da l'esercizio)
La traccia di chiede la velocità necessaria che verifichi la seguente relazione: $ \Delta t = 2*\Delta\tau $
E tu sai che :$ \Delta t = \gamma*\Delta\tau $
Quindi la velocità la trovi imponendo $\gamma=2$
quindi si tratta di risolvere la seguente equazione:
$1/sqrt(1-v^2/(9*10^16))=2$
si può riscrivere così:
$sqrt(1-v^2/(9*10^16))=1 /2 => 1-v^2/(9*10^16)= 1/ 4 => -v^2/(9*10^16)=-3/ 4$
E si trova che $v~~ 2.59808*10^8 m/s$
Troviamo quindi che il risultato è circa $v=0.86*c$ (che se non erro è comeil risultato che ti da l'esercizio)
"grimx":
La traccia di chiede la velocità necessaria che verifichi la seguente relazione: $ \Delta t = 2*\Delta\tau $
E tu sai che :$ \Delta t = \gamma*\Delta\tau $
Quindi la velocità la trovi imponendo $\gamma=2$
Non l'ho scritto esplicitamente perché avrei preferito che ci arrivasse da sé, è il modo migliore per capire la questione se al momento non gli è chiara (è una questione di impostazione del problema che va al di là della RR o della fisica in generale quella di capire il legame tra il problema e la sua espressione in formule matematiche).
Comunque i calcoli dovrebbero essere giusti.
Angelo, te l'ho detto, la Relativita non è facile da capire. E io non sono neanche d'accordo con certe presentazioni troppo semplificate, che pure fanno certi testi universitari di Fisica 1, e certi professori che ad essi si adeguano.
Per esempio, è abbastanza semplicistico e può essere fuorviante dare un esercizio del genere di quello che hai proposto.
Come ti ha fatto notare anche Epimenide, la storia dell'orologio che viaggia a velocità relativistica e poi torna a terra per essere confrontato con l'orologio terrestre non è agevole da inquadrare subito; questo benedetto "effetto gemelli" , che poi è un effetto relativistico previsto dalla teoria che dipende dal rallentamento degli orologi in moto, fa ancora parlare di sé, dopo cent'anni che la RR è stata prodotta e viene applicata tutti i giorni nei laboratori di Fisica, e viene ancora oggi definito "a torto" un paradosso !
Comunque, per fartela breve : limitati a svolgere l'esercizio che ti è stato dato, per il quale, come ho detto, devi porre: $(\Deltat)/(\Delta\tau) = \gamma =2$ nella formula del fattore di Lorentz, per cui : $ 2 = 1/sqrt(1-(v/c)^2) $ , e ricavare da qui la velocità $v$ . Basta elevare al quadrato e fare un po' di algebra, per ricavare $v/c$ e quindi $v$.
PS : solo ora vedo che grimx ha fatto calcoli : bene ragazzo! Non scusarti , è solo un calcolo matematico che il problema chiedeva, non certo una discussione avanzata di Fisica relativistica….
Per esempio, è abbastanza semplicistico e può essere fuorviante dare un esercizio del genere di quello che hai proposto.
Come ti ha fatto notare anche Epimenide, la storia dell'orologio che viaggia a velocità relativistica e poi torna a terra per essere confrontato con l'orologio terrestre non è agevole da inquadrare subito; questo benedetto "effetto gemelli" , che poi è un effetto relativistico previsto dalla teoria che dipende dal rallentamento degli orologi in moto, fa ancora parlare di sé, dopo cent'anni che la RR è stata prodotta e viene applicata tutti i giorni nei laboratori di Fisica, e viene ancora oggi definito "a torto" un paradosso !
Comunque, per fartela breve : limitati a svolgere l'esercizio che ti è stato dato, per il quale, come ho detto, devi porre: $(\Deltat)/(\Delta\tau) = \gamma =2$ nella formula del fattore di Lorentz, per cui : $ 2 = 1/sqrt(1-(v/c)^2) $ , e ricavare da qui la velocità $v$ . Basta elevare al quadrato e fare un po' di algebra, per ricavare $v/c$ e quindi $v$.
PS : solo ora vedo che grimx ha fatto calcoli : bene ragazzo! Non scusarti , è solo un calcolo matematico che il problema chiedeva, non certo una discussione avanzata di Fisica relativistica….
Chiedo venia 
Sono d'accordissimo! Qualche volta sono troppo felice di scrivere che non penso che dovrei stare zitto!
è una questione di impostazione del problema che va al di là della RR o della fisica in generale quella di capire il legame tra il problema e la sua espressione in formule matematiche
Sono d'accordissimo! Qualche volta sono troppo felice di scrivere che non penso che dovrei stare zitto!
"grimx":
Chiedo venia
Ma no! Non devi scusarti. Potrebbe essere anche il mio un viaggio mentale eccessivo. Penso che il problema di Angelo sia stato di comprensione delle formule dal momento che ha chiesto a navigatore cosa se ne faceva del suo \( 2 \) datogli dal problema anche dopo aver letto \( \Delta t = \gamma \cdot \Delta \tau \), ma oltre al fatto che potrei sbagliarmi, in ogni caso hai fatto benissimo ad intervenire; la mia era un'osservazione, mica un rimprovero. La mia idea era far arrivare Angelo a capire che non solo perché l'argomento non è semplice, una formula come \( \Delta t = \gamma \cdot \Delta \tau \) debba essere trattata diversamente da una come \( \Delta s = v \cdot \Delta t \)
[ot]
"navigatore":
Angelo, te l'ho detto, la Relativita non è facile da capire. E io non sono neanche d'accordo con certe presentazioni troppo semplificate, che pure fanno certi testi universitari di Fisica 1, e certi professori che ad essi si adeguano.
Parole sante.[/ot]
La mia idea era far arrivare Angelo a capire che non solo perché l'argomento non è semplice, una formula come \(
\Delta t = \gamma \cdot \Delta \tau \) debba essere trattata diversamente da una come \( \Delta s = v \cdot \Delta t \)
Sono daccordissimo!
Potrebbe essere anche il mio un viaggio mentale eccessivo
Non credo affato
Grazie mille a tutti per l'aiuto cercherò di approfondire un po' meglio questo argomento in questi giorni. Per quanto riguarda l'utilità di questi tipi di problemi non posso esprimermi perché non ho nessuna esperienza, mi limito a comprenderli e ad eseguirli xD
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