Regola di derivazione utile in termodinamica

[Marco831]

In svariate dimostrazioni di termodinamica si incontrano relazioni del tipo:

$(\frac{\partial T}{\partial h})_p(\frac{\partial p}{\partial T})_h(\frac{\partial h}{\partial p})_T=-1$

mi ricordo che la cosa fu dimostrata nel corso di fisica tecnica, ma non riesco piu' a trovare tale dimostrazione.

Qualche anima pia potrebbe illuminarmi?

[Eredir]

Abbiamo una funzione di stato $F(x,y,z)=0$ che lega le tre variabili $x,y,z$.
Consideriamo le due funzioni $x=x(y,z)$ e $y=y(x,z)$ ed i rispettivi differenziali $dx = ((\delx)/(\dely))_zdy + ((\delx)/(\delz))_ydz$ e $dy = ((\dely)/(\delx))_zdx + ((\dely)/(\delz))_xdz$.
Eliminando $dy$ dalla prima otteniamo $[((\delx)/(\dely))_z ((\dely)/(\delx))_z - 1]dx + [((\delx)/(\dely))_z ((\dely)/(\delz))_x + ((\delx)/(\delz))_y]dz = 0$, da cui segue che entrambi i coefficienti sono uguali a zero.
Abbiamo quindi le relazioni $((\delx)/(\dely))_z = 1/(((\dely)/(\delx))_z)$ e $((\delx)/(\dely))_z ((\dely)/(\delz))_x = - ((\delx)/(\delz))_y$.
Poichè possiamo ripetere il ragionamento per qualsiasi coppia di variabili abbiamo anche $((\delx)/(\delz))_y = 1/(((\delz)/(\delx))_y)$, per cui sostituendo nella seconda otteniamo $((\delx)/(\dely))_z ((\dely)/(\delz))_x ((\delz)/(\delx))_y = - 1$.

[Marco831]

Grazie!